Mathe 1 Cheatsheet - Für Modulklausur - Lineare Algebra - Diskrete Strukturen - Komplexe Zahlen

Oct 14, 2026

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Mathe 1 Cheatsheet für die Modulklausur mit kompakten Formeln und Merksätzen zu Lineare Algebra, Basiswechsel, Transformationen, Determinanten und dem Gram-Schmidt-Verfahren. Enthalten sind Kriterien für Injektivität, Surjektivität und Bijektivität, Zusammenhänge zwischen Kern, Rang und Defekt sowie Details zur Diagonalisierbarkeit und Eigenwertberechnung. Ergänzend folgen Themen zu diskreten Strukturen wie Square-and-Multiply und RSA, sowie Grundlagen komplexer Zahlen inkl. Polardarstellung und Rechenregeln.

LanguageGerman

CategoryPaper Templates

FormatPDF

Pages3

Reading Time1 min

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Lineare Algebra

Lineare Abbildung, Kern und Rang

Eigenwerte, Eigenräume und Diagonalisierung

Basiswechsel und Transformationen

Determinanten und Invertierbarkeit

Gram-Schmidt-Verfahren

Diskrete Strukturen

Square and Multiply

RSA PublicKey-Krypto

Komplexe Zahlen

Definition, Grundrechenarten und Konjugation

Polarkoordinaten und Exponentialschreibweise

Mathe 1 Cheatsheet F¨ur Modulklausur (Ganter, Noack) Lineare Algebra • Lineare Abbildung ist injektiv, wenn Kern nurden Nullvektor enth¨alt, A⃗x = ⃗0 hat nur triviale L¨osung), jede Spalte von A ist Pivotspalte • Lineare Abbildung ist surjektiv, wenn Abbildungsmatrix vollen Zeilenrang hat (Jede Zeilevon A enth¨alt eine Pivotposition), A⃗x = ⃗b ist f¨ur jedes x l¨osbar. Anzahl an Zeilen, die nicht 0 sind, ist Zeilenrang. • ¨Ahnliche Matrizen: A und B ¨uber K sind ¨ahnlich, wenn es eine Matrix P gibt mit B = P −1AP, ¨aquivalent wenn es eine Matrix gibt mit PB = AP • Lineare Abbildung ist bijektiv, wenn invertierbar / • Isomorphimus: Bijektiv und linear • Homomorphismus: Linear • Dimension: Anzahl linear unabh¨angiger Spalten • Spaltenrang / Rang = Dimension des Spaltenraums, d. h. Anzahl Pivotspalten. Errechnen mit Gauss. • Kern einer Abbildung: Alle Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden • Defekt: Dimension des Kerns einer Matrix • Rangsatz / Dimensionssatz f¨ur eine Abbildung V → W: dim V = rang (f) + def(f), • Charakteristische Polynom: Determinante der (Matrix- λ mal Eigenwert) (auf der Diagonalen), Nullstellen sind Eigenwerte der Matrix. Algebraische Vielfachheit der Eigenwerte gibt an, wie oft der gleiche Eigenwert vorkommt (F¨ur alle Eigenwerte aufstellen) . Geometrische Vielfachheit eines Eigenwertes ist gr¨oßer oder gleich 1 und stets kleiner oder gleich seiner algebraischen Vielfachheit. • Eigenvektor: Matrix * Vektor ergibt den Vektor mal Faktor (Linear abh¨angig) • Nachweis von Linearit¨at: f ist homogen: f (ax) = af (x), f ist additiv: f (x + y) = f(x) + f(y) • Bestimmung von Eigenvektoren (F¨ur jeden Eigenwert): (Matrix - λ ∗ E = 0) l¨osen (Kern berechnen), dann parametrische Vektorform, Spannraum daraus ist Eigenraum EA (λ) . Die Dimension davon ist die geometrische Vielfachheit von λ . • Matrix ist diagonalisierbar, wenn alle Eigenr¨aume aufstellbar sind und die algebraischen Vielfachheiten der Eigenwerte die Spaltenanzahl sind (algebraische Vielfachheit = geometrische Vielfachheit f¨ur jeden Eigenwert) und alle Eigenwerte reell sind • Diagonalisierung einer Matrix A: n Eigenwerte berechnen, alle Eigenr¨aume aufstellen (Basen) . Wenn die Anzahl der Vektoren in den Basen nentsprechen, bilden alle als Spalten die Matrix P. Ansonsten nicht diagonalisierbar. Ist A diagonalisierbar, so ist A = P ∗ D ∗ P −1 . In D sitzen die die Eigenwerte auf der Diagonalen, ansonstenist sie leer. • Abbildungsmatrix aufstellen (beispielhaft f¨ur Abbildung von R3 → R2 ): 􀀒x −2y z 􀀓 ) Wird zu: 􀀒 21 −3 −2 01􀀓 • Abbildungsmatrix aufstellen, wenn zwei Werte bekannt sind: Abbildungsmatrix multipliziert mit Urbild ergibt Bild, d. h. Basiswechsel Basiswechsel / Transformation von einer Basis A nach Basis B WAB: Vektoren der Basis A werden als Linearkombination der Vektoren der Basis B dargestellt. Die Faktoren in einer Zeile sind dann je die Spalten der Basiswechselmatrix. Um Vektor von einer Basis in eine andere zu ¨uberf¨uhren, diesen in Koordinatenform der ersten Basis ausdr¨ucken, mit der Basiswechselmatrix multiplizieren und mit der neuen Basis multiplizieren. Transformationen • Rotation: 􀀒cossinαα −sicosnβα􀀓􀀒xy􀀓 • Scherung: 􀀒10 s1􀀓􀀒xy􀀓 • Skalierung: 􀀒 a0 0b􀀓 Determinante Determinante bei 4x4-Matrizen mit Matrixentwicklungssatz berechnen (nach einer Spalte / Zeile), bei 2x2 Matrizen mit der Formel det 􀀌 ac bd 􀀌 = ad − bc Bei 3x3-Matrizen Satz von Sarruz. • Determinante nicht 0: Quadratische Matrix invertierbar • Determinante ist Produkt aller Eigenwerte. Gram Schmidt-Verfahren • Dient der Bildung einer Orthogonalbasis (nicht orthonormal) aus einer anderen Basis • Bildung aus Basis w 1 , ..., w2 : v 1 = w 1 , v2 = w2 − vv~~1~~1,,wv~~2~~1 ∗v1 , v3 = w3 − ~~ ~~vv~~1~~1,,wv~~3~~1 ∗v1 − ~~ ~~vv~~2~~2,,wv~~3~~2 ∗v2 ; [d. h.](d. h. vn = wn)[ v](d. h. vn = wn)[n](d. h. vn = wn)[ =](d. h. vn = wn)[ w](d. h. vn = wn)[n](d. h. vn = wn) − vv~~1~~1,,w~

FAQs

Woran erkennt man, ob eine lineare Abbildung injektiv, surjektiv oder bijektiv ist?

Injektiv gilt, wenn der Kern nur den Nullvektor enthält. Surjektiv gilt bei vollem Zeilenrang der Abbildungsmatrix, also wenn jede Zeile eine Pivotposition hat. Bijektiv bedeutet invertierbar, also sowohl injektiv als auch surjektiv.

Wie hängen Dimension, Rang und Defekt einer Abbildung zusammen?

Für eine Abbildung V → W gilt der Rangsatz/Dimensionssatz: dim V = rang(f) + def(f). Defekt ist dabei die Dimension des Kerns.

Wie löst man RSA in der im Cheatsheet beschriebenen Reihenfolge?

Alice wählt Primzahlen p und q, berechnet n = pq und m = (p−1)(q−1) sowie eine zu m teilerfremde Zahl a. Den privaten Schlüssel erhält sie als b = a^{-1} mod m, der öffentliche Schlüssel ist (n, a). Bob verschlüsselt mit y = x^a mod n, und Alice entschlüsselt mit x = y^b mod n.

Oct 14, 2026

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