ENEM em fascículos 2012 - Matemática e suas Tecnologias - Função Quadrática - Fascículo 8

Q: Como identificar máximos e mínimos na função quadrática?

A concavidade define o tipo de extremo: se a>0, o vértice corresponde a um mínimo; se a<0, corresponde a um máximo. O valor extremo é dado por yV=-∆/(4a) e a abscissa do vértice por xV=-b/(2a), conforme a condição pedida na questão.

Sep 5, 2026

Carregar por Ava Thompson

Material didático do ENEM em fascículos (2012) dedicado à Matemática e suas Tecnologias, com foco no conceito e nas aplicações da função quadrática. Apresenta a definição de f(x)=ax²+bx+c, interpretações geométricas e o papel das raízes e do discriminante na determinação da quantidade de soluções reais. Explica concavidade, vértice, máximos e mínimos, e mostra como usar a forma fatorada para modelar situações do contexto social, mercado, engenharia e otimização, com exemplo prático de construção e cálculo da função.

IdiomaPortuguese

CategoriaExames

FormatoPDF

Páginas20

Tempo de leitura31 min

AcessoDownload gratuito

Índice

Função Quadrática

Objeto do conhecimento

Raízes da função quadrática e fórmula de Bhaskara

Interpretação do discriminante

Resumo gráfico: concavidade e coordenadas do vértice

Forma fatorada

Exemplo aplicado (arco parabólico)

Máximos e mínimos em função quadrática

Observação sobre como identificar extremos em questões

GOSTARIA DE BAIXAR TODAS AS LISTAS DO PROJETO MEDICINA DE UMA VEZ? CLIQUE AQUI ACES SE WWW . PROJETOMEDICINA . COM . BR/PRODUTOS ENEM EM FASCÍCULOS-2012 Fo MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS CARO ALUNO, A necessidade de compreender o comportamento defenômenos, descrever regularidades, estabelecer relações de interdependência, qualiﬁcar, quantiﬁcar e generalizar conduziu, gradualmente, a humanidade ao moderno conceito de função. Tal conceito é uma forma mais precisa ede maior utilidade do que a noção comum de “fórmula matemática”. Neste fascículo, abordaremos algumas das principais funções matemáticas: função quadrática, funções exponenciais, funções logarítmicase as trigonométricas. Bom estudo para você! Olá, querido estudante, As aplicações da função quadrática abrangem situações do meio social, relações de mercado e capital, engenharia, economia, saúde, transportes, indústrias, artes, energia, problemas de otimização etc. OBJETO DO CONHECIMENTO Função Quadrática Toda função f: R → R deﬁnida por f(x) = ax2 + bx + c, em que a, b e c são números reais e a ≠ 0, recebe o nome de função quadrática. Pode-se interpretar a função quadrática como sendouma transformação do número real x no número real ax2 + bx + c. Em símbolos: x ax2 + bx + c Raízes da função quadrática As raízes de uma função são os valores que a variável x pode assumir de modo que f(x) = 0. Geometricamente, as raízes de uma função representam as abscissas das coordenadas dos pontos nos quais o gráﬁco da funçãointersecta o eixo-x . Uma função quadrática, cujo gráﬁco é uma parábola, pode possuir até duas raízes reais, geralmente designadas por x1 e x2. Seus valores podem ser obtidos atravésda fórmula de Bhaskara. x = −b± ∆ 2a x1 x2 −b+ ∆= 2a −b − ∆= 2a O valor de ∆ = b2 – 4ac determina, portanto, o númerode raízes reais de uma equação do 2º grau e, por esse motivo,é chamado discriminante da equação. Interpretação do discriminante 1º caso: se ∆ > 0, então haverá duas raízes reais diferentes. 2º caso: se ∆ = 0, então as duas raízes serão reais e iguais. 3º caso: se ∆ < 0, então não haverá raízes reais. Resumo gráﬁco Com a > 0 (nesse caso, dizemos que a parábola possuiconcavidade voltada “para cima”) . Com a < 0 (nesse caso, dizemos que a parábola possuiconcavidade voltada “para baixo”) . Para o traçado do gráﬁco de funções quadráticas, éútil lembrar que as coordenadas do vértice da parábola sãodadas por: Vértice = 􀀞􀀝􀀜 −2~~ ~~,~~ ~~~~ ~~ 􀀛􀀚􀀙 Enem em fascículos 2012 Forma fatorada 1º caso: a > 0 Se os valores x1 e x2 representam as raízes de uma funçãoquadrática y = ax2 + bx + c, então podemos reescrevê-la na forma fatorada: y = a·(x – x1)·(x – x2), em que a é denominado coeﬁ ciente dominante. Essa forma é especialmente útil paradeterminar a função quadrática em estudo quando possuímos as suas raízes. Determinar as relações de interdependência entre as variáveis é uma das habilidades mais cobradas pelo Enem. Acompanhe no exemplo como utilizar a forma fatorada para a > 0 ponto ~~ ~~~~ ~~ mínimo obter a função quadrática desejada. Exemplo: A ﬁ gura mostra um arco parabólico ACB de altura CM = 16 cm, sobre uma base AB de 40 cm. M é o pontomédio de AB. C A M B Tomando o ponto A como origem de um sistema cartesiano, teremos a ﬁgura abaixo: A (0, 0) M (20, 0) B (40, 0) Assim, as raízes de tal função são 0 e 40. Dessa forma, pode-se aplicar a forma fatorada: y = a(x – x1) (x – x2) ⇒ y = a(x – 0) (x – 40) ⇒ y = a(x2 – 40x) . Como f(20) = 16, temos: 1 16 = a(202 – 40 · 20) ⇒ 16 = – 400a ⇒ a = − 25 Logo, a função procurada é: y = −125 . (x2 − 40x) ⇒ −x2 8x y = + 25 5 Máximos e mínimos em função quadrática Para a função f(x) = ax2 + bx + c, temos dois casos aconsiderar com relação ao coeﬁciente a. Nesse caso, como a concavidade da parábola está voltada para cima, seu vértice V = ~~ ~~−2~~ ~~,~~ ~~~~ ~~ 􀀛􀀚􀀙 representa um ponto demínimo, o ponto mais baix

Perguntas frequentes

O que é uma função quadrática e como ela é definida?

É toda função f: R → R definida por f(x)=ax²+bx+c, com a,b,c reais e a≠0. A função transforma o valor de x no valor ax²+bx+c.

Como o discriminante ∆ determina o número de raízes reais?

Se ∆>0, há duas raízes reais diferentes; se ∆=0, duas raízes reais e iguais; e se ∆<0, não há raízes reais.

Como identificar máximos e mínimos na função quadrática?

A concavidade define o tipo de extremo: se a>0, o vértice corresponde a um mínimo; se a<0, corresponde a um máximo. O valor extremo é dado por yV=-∆/(4a) e a abscissa do vértice por xV=-b/(2a), conforme a condição pedida na questão.

Sep 5, 2026

Carregar por Ava Thompson