T´opicos de Mecˆanica Cl´assica - Livro - Introdu¸c˜ao a t´opicos centrais de mecˆanica

Sep 22, 2026

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T´opicos de Mecˆanica Cl´assica organiza fundamentos e t´ecnicas da mecˆanica anal´ıtica e hamiltoniana, partindo da formula¸c˜ao determin´ıstica de Newton, passando pelo grupo de Galileu e pelo estudo do movimento e de sistemas de part´ıculas. Inclui o problema de Kepler, os formalismos variacionais (Fermat, Euler-Lagrange, Hamilton, Maupertuis), transforma¸c˜oes canˆonicas e estruturas simpl´eticas, al´em de integrabilidade via Hamilton-Jacobi e Teorema de Arnold-Liouville. Finaliza com estabilidade, teoria de perturba¸c˜ao e o teorema KAM, com aplica¸c˜oes em astronomia.

IdiomaPortuguese

CategoriaPesquisa e Relatórios

FormatoPDF

Páginas357

Tempo de leitura9 h 10 min

AcessoDownload gratuito

Índice

Pref´acio

Agradecimentos

Mecˆanica Newtoniana

Exerc´ıcios

As Equa¸c˜oes de Euler-Lagrange

V´ınculos e graus de liberdade

O princ´ıpio de D’Alembert

Lagrangiana para a for¸ca de Lorentz

Exerc´ıcios

Princ´ıpios Variacionais

O princ´ıpio de Fermat

O m´etodo variacional de Euler-Lagrange

O princ´ıpio de Hamilton

Multiplicadores de Lagrange

Coordenadas c´ıclicas e leis de conserva¸c˜ao

Sobre a unicidade da lagrangiana

Propriedades da A¸c˜ao

O princ´ıpio de Maupertuis

O teorema de Morse

Causalidade e integrais de caminho de Feynman

Exerc´ıcios

As Equa¸c˜oes de Hamilton

A transformada de Legendre

As equa¸c˜oes de Hamilton

Hamiltoniana versus Energia

O Princ´ıpio de Hamilton Modificado

Nota¸c˜ao simpl´etica

Espa¸co de Fases e Superf´ıcie de Energia

Exerc´ıcios

Transforma¸c˜oes Canˆonicas

Fun¸c˜oes Geratrizes

Exemplos de Transforma¸c˜oes Canˆonicas

Formula¸c˜ao Simpl´etica

O Grupo Simpl´etico

Transforma¸c˜oes Infinitesimais e a Identidade de Jacobi

Equa¸c˜oes de Movimento e Leis de Conserva¸c˜ao

Se¸c˜oes de Poincar´e

Invariantes Canˆonicos

Os Colchetes de Poisson

O invariante de Poincar´e-Cartan

O teorema de Liouville

O teorema de Liouville para sistemas gerais

O teorema de recorrˆencia de Poincar´e

Exerc´ıcios

Integrabilidade

Equa¸c˜ao de Hamilton-Jacobi

Hamilton-Jacobi independente do tempo

Interpreta¸c˜ao geom´etrica

Limite Semicl´assico

Teorema de Arnold-Liouville

Vari´aveis de A¸c˜ao e ˆAngulo

Super-integrabilidade

O teorema de Bertrand

Exerc´ıcios

Estabilidade

Pontos de Equil´ıbrio

Pontos fixos nas Se¸c˜oes de Poincar´e

O rotor chutado e o mapa padr˜ao

Variedades Est´aveis e Inst´aveis

Exerc´ıcios

Teoria de Perturba¸c˜ao

Um grau de liberdade

Dois ou mais graus de liberdade

Preˆambulo

O Caso n˜ao-ressonante

O Caso ressonante

Estruturas fractais

Exerc´ıcios

O Teorema KAM

Perturba¸c˜oes singulares

Fra¸c˜oes continuadas

O teorema de Kolmogorov-Arnold-Moser

Aplica¸c˜oes em astronomia

T´opicos de Mecˆanica Cl´assica Marcus A. M. de Aguiar 29 de maio de 2026 ii Conte´udo Pref´acio ix Agradecimentos xi 1 Mecˆanica Newtoniana 1 1.1 O princ´ıpio determin´ıstico de Newton .............. 5 1.2 O grupo de Galileo ........................ 6 1.3 Exemplos elementares ...................... 8 1.4 Movimento de uma part´ıcula ................... 12 1.5 Movimento em uma dimens˜ao .................. 16 1.5.1 Osciladores anarmˆonicos ................. 17 1.6 Sistemas de part´ıculas ...................... 20 1.7 O problema de Kepler ...................... 25 1.7.1 Equa¸c˜oes de movimento e quantidades conservadas .. 25 1.7.2 Solu¸c˜ao da equa¸c˜ao radial ................ 29 1.7.3 A equa¸c˜ao da elipse .................... 32 1.7.4 As trˆes leis de Kepler ................... 34 1.8 Exerc´ıcios ............................. 36 2 As Equa¸c˜oes de Euler-Lagrange 41 2.1 V´ınculos e graus de liberdade .................. 41 2.2 O princ´ıpio de D’Alembert: caso est´atico ............ 43 2.3 O princ´ıpio de D’Alembert e as equa¸c˜oes de Lagrange ..... 46 2.4 Lagrangiana para a for¸ca de Lorentz .............. 55 2.5 Exerc´ıcios ............................. 58 3 Princ´ıpios Variacionais 65 3.1 O princ´ıpio de Fermat ...................... 65 iv CONTE´UDO 3.2 O m´etodo variacional de Euler-Lagrange ............ 68 3.2.1 A caten´oide ........................ 72 3.2.2 A braquist´ocrona ..................... 74 3.3 O princ´ıpio de Hamilton ..................... 78 3.4 Multiplicadores de Lagrange ................... 79 3.5 Coordenadas c´ıclicas e leis de conserva¸c˜ao ........... 86 3.5.1 Conserva¸c˜ao dos momentos linear e angular ...... 87 3.5.2 Conserva¸c˜ao da energia .................. 90 3.6 Sobre a unicidade da lagrangiana ................ 91 3.7 Propriedades da A¸c˜ao ....................... 93 3.8 O princ´ıpio de Maupertuis .................... 95 3.9 O teorema de Morse ....................... 97 3.9.1 Varia¸c˜ao segunda da a¸c˜ao para sistemas simples .... 100 3.9.2 Demonstra¸c˜ao do teorema de Morse ........... 103 3.10 Causalidade e as integrais de caminho de Feynman ...... 106 3.11 Exerc´ıcios ............................. 109 4 As Equa¸c˜oes de Hamilton 113 4.1 A transformada de Legendre ................... 113 4.2 As equa¸c˜oes de Hamilton ..................... 115 4.3 Hamiltoniana versus Energia ................... 119 4.4 O Princ´ıpio de Hamilton Modificado .............. 122 4.5 Nota¸c˜ao simpl´etica ........................ 124 4.6 Espa¸co de Fases e Superf´ıcie de Energia ............. 125 4.7 Exerc´ıcios ............................. 133 5 Transforma¸c˜oes Canˆonicas 137 5.1 Fun¸c˜oes Geratrizes ........................ 138 5.1.1 A representa¸c˜ao de coordenadas ............. 139 5.1.2 A representa¸c˜ao dos momentos ............. 141 5.2 Exemplos de Transforma¸c˜oes Canˆonicas ............. 144 5.3 Formula¸c˜ao Simpl´etica ...................... 147 5.4 O Grupo Simpl´etico ........................ 151 5.5 Transforma¸c˜oes Infinitesimais e a Identidade de Jacobi .... 152 5.6 Equa¸c˜oes de Movimento e Leis de Conserva¸c˜ao ......... 154 5.7 Se¸c˜oes de Poincar´e ........................ 157 5.8 Invariantes Canˆonicos ....................... 159 5.8.1 Os Colchetes de Poisson ................. 159 CONTE´UDO v 5.8.2 O invariante de Poincar´e-Cartan ............. 160 5.9 O teorema de Liouville ...................... 166 5.10 O teorema de Liouville para sistemas gerais .......... 172 5.11 O teorema de recorrˆencia de Poincar´e .............. 173 5.12 Exerc´ıcios ............................. 177 6 Integrabilidade 181 6.1 Equa¸c˜ao de Hamilton-Jacobi ................... 182 6.2 Solu¸cao formal de Hamilton-Jacobi ............... 186 6.3 Hamilton-Jacobi independente do tempo ............ 187 6.4 Interpreta¸c˜ao geom´etrica ..................... 189 6.5 Limite Semicl´assico ..

Perguntas frequentes

Quais s˜ao os principais temas cobrados em Mecˆanica Newtoniana?

O conte´udo aborda o princ´ıpio determin´ıstico de Newton, o grupo de Galileu e exemplos de movimento de part´ıculas. Tamb´em trata movimento em uma dimens˜ao, sistemas de part´ıculas e o problema de Kepler, com equa¸c˜oes de movimento e leis de Kepler.

Como o livro conecta formula¸c˜oes variacionais e as equa¸c˜oes do movimento?

S˜ao apresentados os princ´ıpios variacionais e a forma¸c˜ao via Euler-Lagrange, incluindo D’Alembert, Hamilton e Maupertuis. A discuss˜ao inclui multiplicadores de Lagrange, coordenadas c´ıclicas, conserva¸c˜ao e o teorema de Morse.

O que significa integrabilidade e como ela aparece no contexto de Hamilton-Jacobi e Arnold-Liouville?

A integrabilidade ´e desenvolvida a partir da equa¸c˜ao de Hamilton-Jacobi e suas solu¸c˜oes, incluindo casos dependentes e independentes do tempo. O texto culmina no teorema de Arnold-Liouville e no uso de vari´aveis de a¸c˜ao e ˆangulo, al´em de discutir super-integrabilidade e o teorema de Bertrand.

Como a teoria de perturba¸c˜ao leva ao teorema KAM e suas aplica¸c˜oes?

A teoria de perturba¸c˜ao ´e estruturada para sistemas com um ou mais graus de liberdade, distinguindo casos n˜ao-ressonante e ressonante e discutindo estruturas fractais. Em seguida, o livro apresenta o teorema KAM, incluindo o m´etodo superconvergente de Newton, fra¸c˜oes continuadas e aplica¸c˜oes em astronomia como o problema de trˆes corpos e falhas em estruturas orbitais.

Sep 22, 2026

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