Geometria Básica - Exercícios Resolvidos - Exercício 1 a Exercício 9

Sep 7, 2026

Coleção de exercícios de Geometria Básica com resoluções passo a passo. O material aborda interseções de retas e contagem de pontos em arranjos com retas distintas; relações angulares envolvendo bissetrizes externas e internas; paralelas que permitem uso de ângulos correspondentes; propriedades de triângulos (isosceles e equilátero) para determinar medidas; polígonos regulares com cálculo do número de lados via ângulos internos. Inclui também um problema de construção geométrica por paralelas em um triângulo com cálculo de perímetro e questões sobre quadriláteros convexos e polígonos regulares com diagonais.

IdiomaPortuguese

CategoriaExames

FormatoPDF

Páginas27

Tempo de leitura42 min

AcessoDownload gratuito

Índice

Exercícios Resolvidos

Exercício 1

Exercício 2

Exercício 3

Exercício 4

Exercício 5

Exercício 6

Exercício 7

Exercício 8

Exercício 9

Exerc´ıcios Resolvidos Exerc´ıcio 1: Cinco retas distintas em um plano cortam-se em n pontos. Determine o maior valor que n pode assumir. Solu¸c˜ao: Considere a1 , a2 , a3 , a4 e a5 as cinco retas. Como queremos o maior valor que n pode assumir, ent˜ao a segunda reta deve cortar aprimeira. Observe a ﬁgura ao lado: A terceira reta deve cortar as duas primeiras e assim por diante. Da´ı, temos que o n´umero de pontos ser´a : 1 + 2 + 3 + 4 = 10 Exerc´ıcio 2: As bissetrizes de dois ˆangulos adjacentes A ˆOB e B ˆOC s˜ao, respectivamente, OM e ON. A bissetriz do ˆangulo M ˆON forma 50o com OC. Se a medida do ˆangulo A ˆOB ´e 80o , determine o valor da medida do ˆangulo B ˆOC. Solu¸c˜ao: Considere os ˆangulos adjacentes A ˆOB e B ˆOC e a s bissetrizes OM e ON de A ˆOB e B ˆOC, respectivamente. A medida do ˆangulo A ˆOB ´e 80o , ou seja, m(A ˆOB)=80o . Denomine m(B ˆOC)=2a. Achando a bissetriz de M ˆON, temos que esta faz 50o com OC. a + 40o o o o o o Da´ı, temos que a + 2 = 50 ⇒ 2a + a + 40 = 100 ⇒ 3a = 60 ⇒ a = 20 Logo m(B ˆOC)=2a = 2 · 20o = 40o . Geometria B´asica Exerc´ıcios Resolvidos 254 Exerc´ıcio 3: Considere a reta r paralela a reta s , r k s, na ﬁgura abaixo. Determine α + β . Solu¸c˜ao: Considere a ﬁgura dada e r k s. Seja A, B, C, D, E, F, G e H na ﬁgura dada. Seja a reta t k r passando por A e F ∈ t. Temos que: DˆBE = α = BˆAF (ˆangulos correspondentes) GˆCH = β = FˆAC (ˆangulos correspondentes) Da´ı α + β = 110o Fundac¸˜ao CECIERJ Cons´orcio CEDERJ Geometria B´asica Exerc´ıcios Resolvidos 255 Exerc´ıcio 4: Seja a ﬁgura ao lado e considere: AB = AC, m(EˆBD)=60o , m(B ˆCE)=50o e m(D ˆCE)=30o . Determine a medida do ˆangulo B ˆDE. Solu¸c˜ao: Considere a ﬁgura dada e que AB = AC, m(EˆBD) = 60o , m(B ˆCE) = 50o em(D ˆCE) = 30o . Como AB = AC, ent˜ao m(A ˆBC) = m(A ˆCB)=80o Temos que ∆CBD ´e is´osceles, j´a que m(BˆDC) = 80o . Ent˜ao BC = BD. Temos que ∆BCE ´e is´osceles, j´a que m(BˆEC) = 50o . Ent˜ao BC = BE. Logo BD = BE e m(DˆBE) = 60o , ent˜ao ∆BED ´e equil´atero, j´a que se X = m(BˆDE) = m(BˆED) . Temos que X + X + 60o = 180o ⇒ X = 60o Logo m(BˆDE)=60o | Exerc´ıcio 5:
Na ﬁgura ao lado, P ´e a interse¸c˜ao das bissetrizes externas em B e C. Calcule a medida do ˆangulo BˆPC, sabendo que a medidado ˆangulo ˆA ´e 70o . | | | --- | --- | | Exerc´ıcio 6: Num pol´ıgono regular convexo ABCDE... , o ˆangulo BˆAD mede 18◦ . Calcule o n´umerode lados do pol´ıgono.
Solu¸c˜ao: Seja o pol´ıgo no regular convexo ABCDE. .. e considere m(BˆAD) = 18◦ .
Temos que AB = BC = CD = a e que ∆ ABC = ∆ BCD pois :

􀀸 AB = CD
􀀼 BC comum (LAL)
􀀺 m(A ˆBC) = m(B ˆCD) (ˆangulo interno do pol´ıgono) | | Fundac¸˜ao CECIERJ Cons´orcio CEDERJ Geometria B´asica Exerc´ıcios Resolvidos 256 | Solu¸c˜ao:
Seja a ﬁgura dada e considere P a interse¸c˜ao das bissetrizes
externas em B e em C e m(ˆA) = 70o .
Seja m(DˆBP) = a , m(P ˆCE) = b e m(BˆPC) = x. Ent˜ao
􀀸􀀼􀀺
a + b + x = 180o 180o − 2a + 180o − 2b + 70o = 180o
De (2) vem: 250o = 2a + 2b ⇒ a + b = 125o Substituindo (3) em (1) vem,
125o + x = 180o ⇒ x = 55o Portanto m(BˆPC)= 55◦ .
(1)
(2)
(3) | | | --- | --- | | ent˜ao, AC = BD
Temos ainda que ∆ ABD = ∆ ACD, pois
􀀸 AB = CD
􀀼 AC = BD (LLL)
􀀺 AD comum

ent˜ao m(A ˆDC) = m(BˆAD) = 18◦ ⇒ m(B ˆCD) = 162◦ (ˆangulo interno do pol´ıgono) . Da´ı
162 = 180(nn−~~ ~~2) ⇒ 162n = 180n − 360 ⇒ 18n = 360 ⇒ n = 20 Logo o n´umero de lados ´e 20.
| | | Exerc´ıcio 7: Os lados de um triˆangulo medem, respectivamente 8 cm, 9 cm e 10 cm. Calcule oper´ımetro do triˆangulo que se obt´em tra¸cando-se pelos v´ertices desse triˆangulo paralelas aos ladosopostos.
Solu¸c˜ao:
Seja o triˆangulo ABC de lados 8 cm, 9 cm e 10 cm. Tra¸cando pelos v´ertices desse triˆangulo paralelas aos lados opostos, construimos o novo triˆangulo que vamos denotar por DEF.
Como BC k AD ⇒ DˆAB = A ˆBC e A ˆCB = CˆAE (alternos internos)
AC k BD ⇒ BˆAC =

Perguntas frequentes

Como determinar o maior valor de n quando cinco retas distintas geram n pontos de interseção?

Verifica-se que para maximizar o número de pontos a segunda reta deve cortar a primeira, a terceira deve cortar as duas anteriores e assim por diante. Somando 1 + 2 + 3 + 4 obtém-se n = 10.

Como resolver o problema com bissetrizes em ângulos adjacentes AÔB e BÔC?

Usa-se que AÔB mede 80° e que a bissetriz do ângulo entre as bissetrizes forma 50° com OC. Define-se m(BÔC)=2a e relaciona-se com os ângulos formados para obter a=20° e, portanto, m(BÔC)=40°.

De que modo calcular o número de lados de um polígono regular quando um ângulo BÂD mede 18°?

Transforma-se o dado em medida de ângulo interno do polígono por meio das relações geométricas nos triângulos congruentes. Conclui-se que o ângulo interno é 162° e então aplica-se a fórmula do ângulo interno para resolver 162n = 180n − 360, resultando n = 20.

Sep 7, 2026

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