Exámenes de selectividad resueltos de matemáticas II (Comunidad de Madrid) 2004

Jul 14, 2026

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Conjunto de problemas resueltos de Matemáticas II de Selectividad para la Comunidad de Madrid, centrado en el modelo del año 2004. Incluye desarrollo detallado de límites y composición de funciones mediante regla de la cadena, estudio del dominio y continuidad de funciones por tramos, y análisis de sistemas lineales con parámetro (compatibilidad e incompatibilidad según su valor). También aborda paralelismo y planos que contienen rectas, así como obtención de rectas perpendiculares mediante planos asociados y cálculo de ecuaciones y distancias.

IdiomaSpanish

CategoríaExamen

FormatoPDF

Páginas25

Tiempo de lectura39 min

AccesoGratis para descargar

Tabla de contenidos

Problema 5.1.1

Límite de sucesión y composición de funciones

Problema 5.1.2

Dominio y continuidad de una función a trozos

Problema 5.1.3

Sistema lineal con parámetro: compatibilidad y resolución

Problema 5.1.4

Plano y alineación de puntos con rectas

Modelo 2004 - Opción B

Problema 5.2.1

Paralelismo de rectas y plano que las contiene

Problema 5.2.2

Recta perpendicular y ecuaciones paramétricas

Problema 5.2.3

Función y estudio de su expresión

Problemas de Selectividad de Matem􀀓aticas II Comunidad de Madrid (Resueltos) Isaac Musat Herv􀀓as 22 de mayo de 2013 Cap􀀓􀀐tulo 5 A~no 2004 5.1. Modelo 2004-Opci􀀓on AProblema 5.1.1 (2 puntos) a) (1 punto) Calcular el l􀀓􀀐mite de la sucesi􀀓on cuyo t􀀓ermino general es 􀀒 3n3~~ ~~1 􀀓 2n. b) (1 punto) Sean las funciones F(x) = Z1x q5 + et4 dt, g (x) = x2 . Calcular (F(g(x)))0 . Soluci􀀓on: a) x 􀀒 3n3~~ ~~1 􀀓 2n = [11] = e􀀕 􀀕 = x 2n 􀀒 3n3~~ ~~1 􀀀 1􀀓 = x 2nn = 􀀀 23 x 􀀒 3n3~~ ~~1 􀀓 2n = e􀀀2=3 b) F0 (x) = q5 + ex4 ; g0 (x) = 2x Por la regla de la cadena: (F(g(x)))0 = F0 (g(x)) 􀀁 g0 (x) = 2xq5 + ex8 Problema 5.1.2 (2 puntos) Dada la funci􀀓on 8 >> f (x) = <> > : ex 􀀀 1 x2 􀀀 x a si x 0 si x = 0 a) (1 punto) Determinar su dominio, y calcular los l􀀓􀀐mites laterales cuando x 􀀀! 1. b) (1 punto) Estudiar su continuidad, y hallar el valor de a para el que f es continua en x = 0 . Soluci􀀓on: a) x2 􀀀x = 0 =) x = 0; x = 1 =) Dom(f ) = R􀀀f1g en x = 0 f (0) = a Los l􀀓􀀐mites laterales pedidos son: ex 􀀀 1 l􀀓􀀐m ~~ ~~ = +1 x􀀀! 1+ x2 􀀀 x ex 􀀀 1 l􀀓􀀐m = 􀀀1 x􀀀! 1 􀀀 x2 􀀀 x b) En x = 1 hay una discontinuidad inevitable por el apartado anterior. En x = 0: xm!0 exx2~~ ~~􀀀~~ ~~1x = 􀀔 00􀀕 = xm!0 2xe~~ ~~1 = 􀀀1 Para que f sea continua en ese punto a = 􀀀1. Problema 5.1.3 (3 puntos) Discutir seg􀀓un los valores del par􀀓ametro 􀀕, y resolver en los casos que sea posible el sistema: Soluci􀀓on: 0 A = B @ 6 􀀕 5 4 1 3 2􀀕 􀀀1 3 2 2 2􀀕 >8 6x+ 4y+ 2􀀕z = 2 < 􀀕x+ y 􀀀 z = 2 :> 5x+ 3y+ 3z = 2􀀕 1 C ; jAj = 2(3􀀕2 􀀀 11􀀕 + 8) = 0 =) 􀀕 = 1; 􀀕 = 8=3 A Si 􀀕 1 y 􀀕 3 =) jAj 0 =) Rango(A) =Rango(A) = 3 = no de inc􀀓ognitas y el sistema es compatible determinado, es decir, tiene soluci􀀓on 􀀓unica. Si 􀀕 = 1: 􀀌􀀌 􀀌􀀌 􀀌􀀌 􀀌 􀀌 􀀌 􀀌 􀀌 􀀌 4 1 3 6 1 2 􀀀1 3 A 4 􀀌 􀀌 1 􀀌 2 2 2 0 = B @ 6 1 5 4 1 3 2 􀀀1 3 2 2 2 1 C A = 2 0 =) Rango(A) = 2 􀀌􀀌 􀀌 ~~ ~~ 􀀌 = 􀀀12 0 =) Rango(A) = 3 􀀌 􀀌 Luego el sistema es incompatible. Si 􀀕 = 8=3: 0 6 4 16=3 2 1 A = B 8=3 1 􀀀1 2 C @ 5 3 3 16=3 A 􀀌 6 4 􀀌 14 􀀌 􀀌 = 􀀀 0 =) Rango(A) = 2 􀀌 8=3 1 􀀌 3 􀀌 4 16=3 2 􀀌 􀀌 􀀌 268 􀀌 13 􀀀 13 16=23 􀀌 = 􀀀 9 0 =) Rango(A) = 3 Luego el sistema es incompatible. S􀀓olo es compatible en los casos 􀀕 1 y 􀀕 3, resolvemos por Cramer: 􀀌 2 4 2􀀕 􀀌􀀌 􀀌 􀀌 2 1 􀀀1 􀀌􀀌 􀀌 􀀌 2􀀕 3 3 􀀌 2(􀀕2 􀀀 􀀕 + 3) x = ~~ ~~ = 􀀀 ~~ ~~ 2(3􀀕2 􀀀 11􀀕 + 8) 3􀀕2 􀀀 11􀀕 + 8 􀀌 6 2 2􀀕 􀀌􀀌 􀀌 􀀌 􀀕 2 􀀀1 􀀌􀀌 􀀌 􀀌 5 2􀀕 3 􀀌 2􀀕3 􀀀 7􀀕 + 13 y = ~~ ~~ = ~~ ~~ 2(3􀀕2 􀀀 11􀀕 + 8) 3􀀕2 􀀀 11􀀕 + 8 􀀌 6 4 2 􀀌􀀌 􀀌 􀀌 􀀕 1 2 􀀌􀀌 􀀌 􀀌 5 3 2􀀕 􀀌 4􀀕2 􀀀 9􀀕 + 3 z = ~~ ~~ = 􀀀 ~~ ~~ 2(3􀀕2 􀀀 11􀀕 + 8) 3􀀕2 􀀀 11􀀕 + 8 Problema 5.1.4 (3 puntos) Dado el plano: 􀀙 : x + y + az + 1 = 0 y las rectas 8 > r : <> : x = 1 >8 x = 2 >8 y = t r0 : < y = 2t r00 : < z = t :> z = t :> x = 3 y = 3t z = t Se pide: a) Calcular el valor de a para que los puntos de corte del plano 􀀙 con las rectas r , r0 y r00 est􀀓en alineados (1,5 puntos) . b) Calcula las ecuaciones de la recta que pasa por esos tres puntos (0,75 puntos) . c) Calcula la distancia de dicha recta al origen (0,75 puntos) . Soluci􀀓on: a) Sea A el punto de corte de r con 􀀙: 1 + t + at + 1 = 0 =) t = 􀀀 a~~ ~~~~ ~~1 =) A 􀀒 1 ; 􀀀 a~~ ~~~~ ~~1 ; 􀀀 a~~ ~~~~ ~~1 􀀓 Sea A0 el punto de corte de r0 con 􀀙: 2 + 2t + at + 1 = 0 =) t = 􀀀 a~~ ~~~~ ~~2 =) A0 􀀒 2 ; 􀀀 a~~ ~~~~ ~~2 ; 􀀀 a~~ ~~~~ ~~2 􀀓 Sea A00 el punto de corte de r00 con 􀀙: 3 + 3t + at + 1 = 0 =) t = 􀀀 a~~ ~~~~ ~~3 =) A00 􀀒 3 ; 􀀀 a~~ ~~3 ; 􀀀 a~~ ~~~~ ~~3 􀀓 !0 = 􀀒 1 ; 􀀀 ~~ ~~(a~~ ~~+4a1)+(a ; 􀀀 ~~ ~~(a~~ ~~+a1(a1~~ ~~+~~ ~~2) 􀀓 0!00 = 􀀒 1 ; 􀀀 ~~ ~~(a~~ ~~+6a3)+(a ; 􀀀 ~~ ~~(a~~ ~~+a3(a1~~ ~~+~~ ~~2) 􀀓 Para que est􀀓en alineados los tres puntos: !0 = 0!00 =) (a~~ ~~+4a1)+(a = (a~~ ~~+6a3)+(a =) a = 0 a = 1 Si a = 0: 􀀀􀀀! 􀀀􀀀􀀀! AA0 = (1 ; 􀀀1; 1=2) A0 A00 = (1 ; 􀀀1; 􀀀1=6) Esta soluci􀀓on no vale. a = 1: 􀀀􀀀! 􀀀􀀀􀀀! AA0 = (1 ; 􀀀1; 0) = A0

Preguntas frecuentes

Cómo se calcula el límite de la sucesión en el Problema 5.1.1a?

Se reexpresa el término general para transformarlo en una forma equivalente a una exponencial constante y obtener el límite al considerar el comportamiento del exponente. El resultado final es el valor indicado en la solución.

Qué procedimiento se sigue en el Problema 5.1.2 para hallar el dominio y los límites laterales?

Se analizan los valores que anulan denominadores o determinan cambios de expresión para fijar el dominio. Luego se calculan los límites laterales al acercarse a los puntos problemáticos, obteniendo los valores a izquierda y a derecha.

Cómo se determina la compatibilidad del sistema del Problema 5.1.3 según el parámetro?

Se estudia el rango de la matriz de coeficientes y del sistema ampliado (determinantes o condiciones equivalentes) para cada caso del parámetro. Según si los rangos coinciden o no, se concluye compatibilidad determinada, incompatibilidad o ausencia de solución, resolviendo solo en los valores compatibles.

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