Matemáticas II Tema 1: Matrices y Determinantes 2002

Jul 14, 2026

Subir por Aurora

Conjunto de problemas resueltos de Matemáticas II (Andalucía 2002) sobre el tema “Matrices y Determinantes”. Incluye ejercicios de Opción A y Opción B y reservas, centrados en matrices simétricas, cálculo de matrices inversas, potencias de matrices y condiciones de conmutación. También aborda el uso de propiedades de determinantes para evaluar expresiones sin desarrollos, y relaciones con traspuestas en productos matriciales para hallar incógnitas.

IdiomaSpanish

CategoríaExamen

FormatoPDF

Páginas7

Tiempo de lectura11 min

AccesoGratis para descargar

Tabla de contenidos

Tema 1: Matrices y Determinantes

Junio, Ejercicio 3

Reserva 1, Ejercicio 3

Reserva 2, Ejercicio 4

Reserva 3, Ejercicio 3

Reserva 4, Ejercicio 3

PROBLEMAS RESUELTOSSELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2004 MATEMÁTICAS II TEMA 1: MATRICES Y DETERMINANTES 􀁸 Junio, Ejercicio 3 , Opción A 􀁸 Junio, Ejercicio 3 , Opción B 􀁸 Reserva 1 , Ejercicio 3 , Opción B 􀁸 Reserva 2 , Ejercicio 4 , Opción B 􀁸 Reserva 3, Ejercicio 3 , Opción B 􀁸 Reserva 4, Ejercicio 3, Opción B [http://emestrada. wordpress.com](http://emestrada. wordpress.com) | Determina una matriz A simétrica (A coincide con su traspuesta) sabiendo que: | | | | | --- | --- | --- | --- | | det ( A) = − 7 | 􀀁
y A ⋅ 􀀄
􀀆 | 2
− 1 | 6􀀂 􀀁 −4 − 12􀀂−3 􀀇􀀅 = 􀀄􀀆􀀄􀀆 1 3 􀀇􀀅 | | MATEMÁTICAS II. 2002. JUNIO. EJERCICIO 3. OPCIÓN A. | | | | R E S O L U C I Ó N 􀀁a b 􀀂 Como A es una matriz simétrica tiene que ser cuadrada de orden 2 y de la forma A = 􀀆􀀄 b c 􀀇􀀅 A = = ac −b 2 = 7 a b b c 􀀁a b 􀀂 􀀁 2 6 􀀂 􀀁−4 −12 􀀂 􀀁2a −b 6a −3b 􀀂 􀀁−4 −12 􀀂 􀀉2a −b = −4 􀀄 􀀅⋅ 􀀄 􀀅 = 􀀄 􀀅 ⇒ 􀀄 􀀅 = 􀀄 􀀅 ⇒ 􀀌 􀀆b c 􀀇 􀀆 −1 −3 􀀇 􀀆 1 3 􀀇 􀀆2b − c 6b −3c 􀀇 􀀆 1 3 􀀇 􀀍2b − c = 1 ac −b 2 = −7􀀎 􀀏 Resolviendo el sistema 2a −b = −4 􀀐 , obtenemos que a = − 1;b = 2; c = 3 2b − c = 1 􀀑􀀏 􀀁−1 2 􀀂 Luego la matriz pedida es A = 􀀄 􀀅 􀀆 2 3 􀀇 | Determina la matrizX que verifica la ecuación A·X = X―B, siendo: | | | | | | --- | --- | --- | --- | --- | | 􀀂
􀀄
A = 􀀄
􀀄
􀀊 | 0 0
0 0 − 1 0 | 1􀀃 􀀂 1 0 􀀅 y B = 􀀄 0 0􀀋􀀅 􀀄􀀊􀀄􀀊 0 | 0 1
− 1 | 1􀀃􀀅
1 􀀅− 1 􀀋􀀅 | | MATEMÁTICAS II. 2002. JUNIO. EJERCICIO 3. OPCIÓN B. | | | | | R E S O L U C I Ó N 􀀂 0 􀀄 􀀄 0 􀀊􀀄 −1 0 0 0 1 􀀃 􀀂 a 0 􀀅 ⋅ 􀀄 d 0 􀀋􀀅 􀀄􀀊g b c e f h i 􀀃 􀀂 a 􀀅 􀀄 􀀅 = 􀀄 d 􀀅 􀀄 􀀋 􀀊g b c e f h i 􀀃 􀀂1 􀀅 􀀄 􀀅 − 􀀄 0 􀀋􀀅 􀀄􀀊0 0 1 −1 1􀀃 􀀂 g 􀀅 􀀄 1 􀀅 ⇒ 􀀄 0 −1 􀀋􀀅 􀀄􀀊 −a h 0 −b i 􀀃 􀀂a −1 􀀅 􀀄 0 􀀅 = 􀀄 d 􀀅 􀀄−c 􀀋 􀀊 g 􀀂 1 􀀄 2 Resolviendo el sistema que se obtiene al igualar las dos matrices, tenemos: X = 􀀄 0 􀀄 − 1 􀀊 2 b e −1 h + 1 1 − 2 1 1 − 2 c −1 􀀃 􀀅 f −1 􀀅 i + 1 􀀋􀀅 􀀃 0 􀀅􀀅 1 􀀅􀀅 −1 􀀅 􀀋 | 􀀂 0
Considera las matrices: A = 􀀄 0 􀀄􀀆􀀄􀀆 1 | 0 1
0 | 1􀀃 􀀂 0 0 􀀅 ; B = 􀀄 x 0􀀇􀀅 􀀄􀀆􀀄􀀆 y | 0 1
0 | 1􀀃􀀅
0 􀀅 0􀀇􀀅 | | --- | --- | --- | --- | --- | | a) Calcula la matriz inversa de A.
b) Calcula A127 y A128.
c) Determina x e y tal que A ⋅B = B ⋅A .
MATEMÁTICAS II. 2002. RESERVA 1. EJERCICIO 3. OPCIÓN B. | | | | | R E S O L U C I Ó N 􀀂 0 0 −1 􀀃 t 􀀂 0 0 −1 􀀃 􀀄 0 −1 0 􀀅 􀀄 0 −1 0 􀀅 􀀄 􀀅 􀀄 􀀅 􀀂0 a) Sabemos que: A−1 = ~~ ~~(AdA)t~~ ~~ = 􀀆−10~~ ~~00~~ ~~1~~ ~~0~~ ~~􀀇~~ ~~ = 􀀆−1~~ ~~−01~~ ~~0~~ ~~􀀇 = 􀀄 0 0 1 0 􀀆􀀄 1 1 0 0 􀀂0 􀀄 b) A = 􀀄 0 􀀆􀀄 1 0 1 0 1 􀀃 􀀅 0 􀀅 0 􀀇􀀅 􀀂0 A 2 = A⋅ A = 􀀄 0 􀀆􀀄 1 0 1 0 1 􀀃 􀀂0 0 􀀅 ⋅ 􀀄 0 0 􀀇􀀅 􀀄􀀆1 0 1 0 1 􀀃 􀀂1 􀀅 􀀄 0 􀀅 = 􀀄 0 0 􀀇􀀅 􀀄􀀆0 0 1 0 0 􀀃 􀀅 0 􀀅 = I 1 􀀇􀀅 A 3 = A 2 ⋅ A = I ⋅ A = APor inducción vemos que: 􀀂0 A127 = 􀀄 0 􀀆􀀄 1 􀀂1 A128 = 􀀄 0 􀀆􀀄 0 0 1 0 0 1 0 1 􀀃 􀀅 0 􀀅 = A 0 􀀇􀀅 0 􀀃 􀀅 0 􀀅 = I 1 􀀇􀀅 􀀂0 􀀄 c) 􀀄 0 􀀆􀀄 1 0 1 0 1 􀀃 􀀂0 0 􀀅 ⋅ 􀀄 x 0 􀀇􀀅 􀀄􀀆y 0 1 0 1 􀀃 􀀂0 􀀅 􀀄 0 􀀅 = 􀀄 x 0 􀀇􀀅 􀀆􀀄 y 0 1 0 1 􀀃 􀀂0 0 􀀅 ⋅ 􀀄 0 0 􀀇􀀅 􀀆􀀄 1 0 1 0 1 􀀃 􀀂 y 􀀅 􀀄 0 􀀅 ⇒ 􀀄 x 0 􀀇􀀅 􀀆􀀄 0 0 1 0 0 􀀃 􀀂1 􀀅 􀀄 0 􀀅 = 􀀄 0 1 􀀇􀀅 􀀆􀀄 0 Luego, vemos que: x = 0, y = 1 0 1 0 0 1 0 1 􀀃 􀀅 0 􀀅 0 􀀇􀀅 0 􀀃 􀀅 x 􀀅 y 􀀇􀀅 | 􀀅 1
Considera la matrizA = 􀀇 a 􀀇􀀉􀀇􀀉 2 | 0 0
−− 1 | a 􀀆
− 1 􀀈 .
1 􀀊􀀈 | | --- | --- | --- | | a) Halla los valores de a para los que la matriz 3 A tiene inversa.
b) Calcula, si es posible, la inversa de la matriz A2 para a = 0. MATEMÁTICAS II. 2002. RESERVA 2. EJERCICIO 4. OPCIÓN B. | | | R E S O L U C I Ó N a) Para que la matriz 3 A tenga inversa, su determinante tiene que ser distinto de cero y como 3⋅ A = 33 ⋅ A , entonces el determinante de A tiene que ser distinto de cero. 1 0 a A = a 0 −1 = − a 2 −1 = 0 ⇒ No existe ningún valor. Por lo tanto, la matriz 3 A tiene inversa 2 −1 1 para todos los valores de a. 􀀅1 0 0 􀀆 b) Para a = 0, la matriz A es: 􀀇 0 0 −1 􀀈 􀀉􀀇 2 −1 1 􀀊􀀈 􀀅1 0 0 􀀆 􀀅1 0 0 􀀆 􀀅 1 0 0 􀀆 Calculamos

Preguntas frecuentes

¿Cómo se determina una matriz simétrica a partir de su determinante?

Se impone que la matriz sea simétrica, lo que restringe su forma a una matriz cuadrada con dos variables independientes. Luego se usa la expresión del determinante en función de esas variables y se resuelve el sistema resultante.

¿Qué estrategia permite calcular un determinante sin desarrollarlo?

Se descompone el determinante usando la propiedad de que si una fila contiene sumas, el determinante se expresa como suma de determinantes con los sumandos por separado. Tras ello, se comprueba la nulidad de los determinantes resultantes por proporcionalidad de columnas.

¿Cómo se emplean traspuestas y productos de matrices para hallar una matriz desconocida?

Se calculan primero productos como (AB)^t y se sustituyen en la ecuación dada (por ejemplo, 12X + (AB)^t = C). Finalmente se despeja X a partir de la relación entre matrices y sus traspuestas.

Jul 14, 2026

Subir por Aurora