Problemas de Selectividad de Matemáticas II (Resueltos) – Comunidad de Madrid, 2012

Jul 14, 2026

Subir por Himbo

Conjunto de problemas resueltos de Matemáticas II de la Selectividad de la Comunidad de Madrid (modelo 2012, opción A y B). Incluye ejercicios de geometría analítica y del espacio (lugar geométrico de puntos equidistantes, planos, rectas y condiciones de continuidad con distancia), además de sistemas lineales con discusión según parámetros. Se abordan también integrales usando la relación entre funciones y primitivas, y se plantean tareas sobre continuidad de funciones definidas por expresiones distintas y determinación de polinomios mediante condiciones de extremos y rectas tangentes.

IdiomaSpanish

CategoríaExamen

FormatoPDF

Páginas25

Tiempo de lectura39 min

AccesoGratis para descargar

Tabla de contenidos

Capítulo 13

Modelo 2012 - Opción A

Problemas 13.1.1 a 13.1.4

Modelo 2012 - Opción B

Problemas 13.2.1 a 13.2.4

Problemas de Selectividad de Matem􀀓aticas II Comunidad de Madrid (Resueltos) Isaac Musat Herv􀀓as 22 de mayo de 2013 Cap􀀓􀀐tulo 13 A~no 2012 13.1. Modelo 2012-Opci􀀓on A Problema 13.1.1 (3 puntos) Dados los puntos A(1; 􀀀1; 2), B(2; 0 ; 􀀀1), C(0; 1 ; 3), se pide: a) (2 puntos) . Hallar todos los puntos que equidistan de A, B y C. >Cuales de ellos pertenecen al plano 􀀙 : 2x + 2y + 2z + 1 = 0? b) (1 punto) . Hallar la ecuacion del plano que pasa por A, B y C. Soluci􀀓on: a) El lugar geom􀀓etrico de los puntos que equidistan de A, B y C ser􀀓a la recta en la que se cortan los planos mediadores de􀀌nidos entre A y B , entre A y C y entre B y C. Calculando dos de ellos ser􀀓a su􀀌ciente. Plano mediador entre A y B: q (x 􀀀 1)2 + (y + 1)2 + (z 􀀀 2)2 = q (x 􀀀 2)2 + y2 + (z + 1)2 =) 2x+2y􀀀6z+1 = 0 Plano mediador entre A y C: q (x 􀀀 1)2 + (y + 1)2 + (z 􀀀 2)2 = qx2 + (y 􀀀 1)2 + (z 􀀀 3)2 =) x􀀀2y􀀀z+2 = 0 r : ( 2x + 2y 􀀀 6z + 1 = 0 x 􀀀 2y 􀀀 z + 2 = 0 8 >> > 8 u!􀀀r = (7 ; 2 ; 3) >=) r : <: Pr 􀀒􀀀1; 12 ; 0􀀓 =) r : >> : x = 􀀀1 + 7􀀕 1 y = + 2􀀕 2 z = 3􀀕 Sustituimos en el plano 􀀙: 2(􀀀1 + 7􀀕) + 2 􀀒 12 + 2􀀕􀀓 + 2(3􀀕) + 1 = 0 =) 􀀕 = 0 El 􀀓unico punto es el 􀀐􀀀1; ~~1~~2 ; 0􀀑 . b) La ecuaci􀀓on del plano que contiene a los puntos A, B y C vendr􀀓a determinada por: >8 = (1 ; 1 ; 􀀀3) 􀀌 􀀙0 : < = (􀀀1; 2 ; 1) =) 􀀙0 : 􀀌:> A(1; 􀀀1; 2) 􀀌 1 1 􀀀3 􀀀1 x 􀀀 1 2 y + 1 1 z 􀀀 2 􀀌􀀌 􀀌 􀀌 = 0 =) 7x+2y+3z􀀀11 = 0 􀀌 􀀌 Problema 13.1.2 (3 puntos) Dado el sistema lineal de ecuaciones: 8 > < > : x+ y+ 2z = 2 􀀀3x+ 2y+ 3z = 􀀀2 2x+ my 􀀀 5z = 􀀀4 se pide: a) (2 puntos) . Discutir el sistema seg􀀓un los valores de m. b) (1 punto) Resolverlo para m = 1 . Soluci􀀓on: a) 0 1 1 2 2 1 A = B 􀀀3 2 3 􀀀2 C =) jAj = 􀀀9m 􀀀 27 = 0 =) m = 􀀀3 @ 2 m 􀀀5 􀀀4 A Si m 3 =) jAj 0 =) Rango(A) = 3 =Rango(A) = no de inc􀀓ognitas =) Sistema compatible determinado. Si m = 3: 0 1 1 2 2 1 􀀌 1 1 􀀌 A = @B 􀀀 32 23 􀀀 35 􀀀24 AC =) jAj = 0 ; 􀀌 􀀀3 2 􀀌 = 5 0 =) Rango(A) = 2 . 􀀌 1 1 2 􀀌 􀀌 􀀌 􀀌 􀀀3 2 􀀀2 􀀌 = 􀀀44 0 =) Rango(A) = 3 􀀌 􀀌 􀀌 2 3 􀀀4 􀀌 Como Rango(A) Rango(A) =) el sistema es incompatible. b) Para m = 1: 8 > < > : x+ 􀀀3x+ 2x+ y+ 2z = 2 >8 2y+ 3z = 􀀀2 =) < y 􀀀 5z = 􀀀4 :> x = 1 y = 􀀀1 z = 1 Problema 13.1.3 (2 puntos) Halla el valor de 􀀕 para que la funci􀀓on 8 >> >> f (x) = <> >> > : e􀀕 x 2 􀀀 1 3x2 sin 2xx si x > 0 si x 􀀔 0 sea continua. Razonar la respuesta. Soluci􀀓on: l􀀓􀀐mx􀀀! 0+ f (x) = x􀀓􀀐m! 0+ e􀀕~~ ~~x32x~~ ~~1 = 􀀔 00􀀕 = x􀀓􀀐m! 0+ 2􀀕x6ex􀀕~~ ~~x~~ ~~2 = 􀀔 00􀀕 = 2􀀕(e􀀕 x 2 + 2􀀕x2 e􀀕 x 2 ) 􀀕 l􀀓􀀐m ~~ ~~ = ~~ ~~ x􀀀! 0+ 6 3 x􀀓􀀐m! 0 􀀀 f (x) = x􀀓􀀐m! 0 􀀀 sinx2x = 􀀔 00􀀕 = x􀀓􀀐m! 0 􀀀 2~~ ~~co1s~~ ~~2x = 2 Para que f sea continua en x = se tiene que cumplir: l􀀓􀀐m f (x) = l􀀓􀀐m f (x) = f(0) x􀀀! 0+ x􀀀! 0 􀀀 Luego 􀀕 = 2 =) 􀀕 = 6 3 Problema 13.1.4 (2 puntos) Dado el polinomio P(x) = x3 + ax2 + bx + c, obtener los valores de a, b y c de modo que se veri􀀌quen las condiciones siguientes: El polinomio P (x) tenga extremos relativos en los puntos de abscisas x = 􀀀1=3, x = 􀀀1. La recta tangente a la gr􀀓a􀀌ca de P (x) en el punto (0; P (0)) sea y = x + 3. Soluci􀀓on: P (x) = x3 + ax2 + bx + c =) P0 (x) = 3x2 + 2ax + b 8 >> >> >> > < >> >> >> > : P0 􀀒 􀀀 13􀀓 = 0 =) 13 􀀀 2a3 + b = 0 P0 (􀀀1) = 0 =) 3 􀀀 2a + b = 0 P0 (0) = 1 pendiente de y = x + 3 =) b = 1 =) ( a = 2 b = 1 El punto (0; P (0)) tambi􀀓en pertenece a la recta y = x + 3 luego para x = 0 =) y = 3 =) P (0) = 3 =) c = 3 El polinomio buscado es P (x) = x3 + 2x2 + x + 3 . 13.2. Modelo 2012-Opci􀀓on B Problema 13.2.1 (3 puntos) Sabiendo que la funcion F (x) tiene derivadaf (x) continua en el intervalo cerrado [2 ; 5], y, ademas, que: F (2) = 1; F (3) = 2; F (4) = 6; F (5) = 3; f(3) = 3 y f(4) = 􀀀1; Hallar: a) (0,5 puntos). Z25 f (x) dx b) (1 punto). Z23 (5f(x) 􀀀 7) dxc) (1,5 puntos). Z24 F (x)f (x) dx. Soluci􀀓on: a) Z25 f (x) dx = F

Preguntas frecuentes

¿Qué condición garantiza la continuidad de una función definida a trozos en x=0?

Se exige que el límite por la izquierda y por la derecha coincidan y además que coincidan con el valor de la función en x=0. Con esa igualdad se despeja el parámetro que ajusta las expresiones para que la función sea continua.

Jul 14, 2026

Subir por Himbo