Mapas, colores y números - la conjetura de 4 colores y la fórmula de Euler - presentación

Aug 23, 2026

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Presentación sobre el problema del 4-coloreado en mapas geográficos y sus fundamentos matemáticos. Incluye una línea temporal con los hitos históricos desde la formulación inicial (1852) y avances posteriores hasta las demostraciones asistidas por ordenador. Explica la conjetura de que bastan cuatro colores para colorear un mapa plano sin colores repetidos en países con frontera común, junto con condiciones topológicas como la no-intersección en un único punto. Presenta además la equivalencia entre mapas planos y esféricos mediante proyección estereográfica y desarrolla la fórmula de Euler para poliedros y mapas.

IdiomaSpanish

CategoríaInvestigación e Informes

FormatoPDF

Páginas99

Tiempo de lectura2 h 32 min

AccesoGratis para descargar

Tabla de contenidos

Fechas importantes

Orígenes y desarrollos (1852-1913)

Avances del método y demostraciones con ordenador (1960-1995)

¿Qué dice la conjetura?

Coloreado de mapas planos

Condiciones topológicas

Equivalencia para mapas esféricos

La propiedad fundamental: la fórmula de Euler

Fórmula de Euler para poliedros

Fórmula de Euler para mapas

Mapas, colores y números La Laguna y Las Palmas, 10 y 11 octubre 2006 Fechas importantes • 1852: Francis Guthrie plantea el problema a su hermano Frederick y éste a Augustus de Morgan. • 1878 : Arthur Cayley publica el enunciado de la conjetura. • 1879 : Sir Alfred Bray Kempe publica su demostración. • 1890: Percy Heawood descubre un error insalvable en la demostración de Kempe. • 1913 : George Birkhoff formula la noción de configuración reducible. Fechas importantes • 1960: El método de descarga. • 1969: Avances de Heinrich Heesch en reducibilidad yobtención de conjuntos inevitables de configuraciones. • 1976 : Ken Appel y Wolfgang Haken prueban con ayudade un ordenador que sus 1.482 configuraciones son reductibles (50 días de cálculo) . • 1995: Robertson, Sanders, Seymour y Thomas mejoran la demostración con ayuda de ordenador (sólo 633 configuraciones) y automatizan la prueba de lainevitabilidad. ¿Qué dice la conjetura? Bastan 4 colores para colorear un mapa geográfico plano sin que dos países con frontera común tengan el mismo color. Un mapa es conexo y cada una de sus regiones es conexa, es decir no se admite una figura como la adjunta. ¿Qué dice la conjetura? Dos regiones no pueden tocarse sólo en un punto, y así, se pueden ignorar regiones con una única línea frontera. Es un problema topológico: no importa la forma de las regiones, sino como están colocadas las unas respecto a las otras. Equivalencia para mapas esféricos La conjetura de 4-coloreado sobre mapas planos equivale a la conjeturade 4-coloreado sobre mapas esféricos… basta con proyectar estereográficamente. La propiedad fundamental: la fórmula de Euler Se puede pasar de poliedros a mapas del siguientemodo: se infla el poliedro sobre una esfera, se proyectaestereográficamente y se tiene el poliedro proyectado sobre el plano. La propiedad fundamental: la fórmula de Euler La fórmula de Euler para poliedros: Núm(caras)– Núm(aristas) + Núm(vértices) = 2 La propiedad fundamental: la fórmula de Euler Puede hablarse de la fórmula de Euler para mapas (sinolvidarse de la región exterior): Núm(regiones)– Núm(líneas frontera) + Núm(puntos encuentro) = 2 7-15 +10 = 2

Preguntas frecuentes

¿Cuál es la afirmación central de la conjetura de los cuatro colores?

Bastan cuatro colores para colorear un mapa geográfico plano de modo que dos países con frontera común no tengan el mismo color.

¿Por qué el problema se considera topológico?

Porque no importa la forma exacta de las regiones, sino cómo están colocadas unas respecto a las otras.

¿Cómo se relacionan la fórmula de Euler para poliedros y para mapas?

La presentación muestra la versión para poliedros N(caras)-N(aristas)+N(vértices)=2 y una versión para mapas usando regiones, líneas frontera y puntos de encuentro: N(regiones)-N(líneas frontera)+N(puntos encuentro)=2.

Aug 23, 2026

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