Teorema de los cuatro colores - Material didáctico sobre el problema de colorear mapas

Aug 27, 2026

Subido por Fahsai

El documento presenta el teorema de los cuatro colores a partir de un problema de enunciado simple: colorear regiones de un mapa con colores distintos para regiones vecinas, evitando igual color en fronteras compartidas. Explica conceptos clave como región, frontera y puntos de encuentro, y aclara por qué el contacto en un único punto no obliga a usar colores diferentes. Incluye ejemplos, analiza mapas con 3, 4 y más colores, y discute extensiones como el mapa exterior y la proyección estereográfica para el globo terráqueo.

IdiomaSpanish

CategoríaInvestigación e Informes

FormatoPDF

Páginas5

Tiempo de lectura8 min

AccesoGratis para descargar

Tabla de contenidos

El problema del teorema de los cuatro colores

Planteamiento y ejemplos de mapas

Conceptos: región, frontera y punto de encuentro

Colorear mapas acotados y la región exterior

Corolario: mapas en el globo terráqueo

Proyección estereográfica

A primera vista parece que cuanto máscomplicado sea un mapa, más coloresnecesitaremos, pero sorprendentementeesto NO es así. Cuando coloreamos un mapa lo hacemos para diferenciar los países, queremos que los estados vecinos sean de distinto color. ¿Cuántos coloresnecesitaremos para colorear el mapacompleto con esterequisito tan simple? EL TEOREMA DE LOS CUATRO COLORES El problema del que vamos a hablar es poco más que un juegode colorear, tiene un enunciado sencillo, fácil de comprender incluso sin conocimientos matemáticos. Pero os sorprenderá saber que durante más de 100 años nadie fue capaz de resolverlo… Bélgica Alemania Luxemburgo Francia Bélgica Nuestro mapamundi por ejemplo está coloreado utilizando 4 colores. Pero, ¿podríamos haberlo hecho solo con 3? Es fácil comprobar que hacen falta 4. Por ejemplo, si nos fijamos en Luxemburgo, Francia, Bélgica y Alemania, cada uno de estos cuatro países tiene frontera con los otros tres y por tanto necesitamos 4 colores para estos 4 países. 1 Este mapa,, por ejemplo, fue propuesto por el conocido divulgador y mago americano Martin Gardner ( 1914-2010 ) como ejemplode mapa que necesita 5 colores. Pero se trataba de una .pequeña broma pues también puede colorearsecon tan solo 4 colores.¿Os atrevéis a intentarlo? . Archimedes’ Tub La solución al problema de los 4 colores consiste precisamente en responder esta pregunta : ¿Puede cualquier mapa colorearsecon un máximo de 4 colores deforma que regiones vecinas tengan colores diferentes? Antes de sumergirnos en la curiosa historia de este apasionante problemavamos a formalizar algunos conceptos que necesitaremos. PUNTO DE ENCUENTRO REGIÓN FRONTERA En un mapa cualquiera distinguiremos tres elementos: Las regiones, que son subconjuntos del plano con extensión y perímetro finitos. Las fronteras son líneas formadas por puntos que están en el límite de exactamente dos regiones. Los puntos de encuentro son puntos que pertenecen a la frontera de 3 o más regiones. Un detalle importante es que dos regionesque están en contacto por tan solo un puntode encuentro no son fronterizas y pueden colorearse del mismo color. Esto podemos verlo, por ejemplo, en el mapade los Estados Unidos de América. Los estados de Utah, Colorado, Arizona y Nuevo México confluyen en un punto de encuentro, pero tanto Utah y Nuevo México como Colorado y Arizona no son fronterizos ypueden colorearse con el mismo color. Sii esto no fuese así podríamos construirfácilmente mapas que necesitaran tantos colores como quisiéramos. Por ejemplo, en este mapa de 8 regiones,, todas tienen un punto de encuentro común. Sii las consideráramos fronterizas ¡necesitaríamos 8 colores! Pero como hemos dicho estos puntos de encuentro no se consideran fronterizos yeste mapa puede ser coloreado, dehecho, con tan solo 2 colores. Otro mapa familiar que requiere tan solo dos colores es el tablero de ajedrez para el que se utilizan comúnmente los colores blanco y negro. Archimedes’ Tub Algunos detalles importantes a teneren cuenta: En el mapamundi Estados unidos incluye a Alaska, que no está conectada con el resto del país. En la práctica, en nuestro problemade los 4 colores, dos regiones no conectadas han de ser diferentes. De nuevo, si esto no fuese así podráimos encontrarfácilmente mapas que no satisfacen la condiciónde los 4 colores. Por ejemplo, el siguientemapa constade 5 regionespues hay dos regionesnumeradas con un 1. 4 1 Las regiones 2, 3, 4 y 5 estánen contacto entre ellas y por tantonecesitamos un color diferente para cada una de ellas. | | | | | | | --- | --- | --- | --- | --- | |
4 1
| | | | | Pero tambiénobservamosque la región 1 tiene frontera con las otras 4 ¡Y por tantonecesitaríamos un quinto color! 4 1 3 Archimedes’ Tub | Si podemos colorear todo mapa plano acotado con 4 colores, también podemos colorear un mapa y la región exterior con 4 colores

Preguntas frecuentes

¿Por qué en un mapa solo se exigen colores distintos para regiones vecinas?

Porque las regiones se consideran vecinas cuando comparten una frontera; en ese caso deben tener colores diferentes. El documento señala que si solo se tocan en un punto de encuentro, no son fronterizas y pueden llevar el mismo color.

¿Cuántos colores son necesarios para el ejemplo del mapamundi mencionado?

El texto indica que el mapamundi está coloreado con 4 colores y que no podría hacerse con solo 3. Razona que ciertos países (Luxemburgo, Francia, Bélgica y Alemania) forman fronteras entre sí y requieren 4 colores.

¿Qué ocurre con la región exterior al colorear un mapa plano acotado?

La región exterior puede tratarse como una región extra con forma de anillo. El documento plantea la cuestión de si debe colorearse y destaca que, al extender el criterio, se mantiene la posibilidad de usar 4 colores.

Aug 27, 2026

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