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Enthalten sind Kriterien für Injektivität, Surjektivität und Bijektivität, Zusammenhänge zwischen Kern, Rang und Defekt sowie Details zur Diagonalisierbarkeit und Eigenwertberechnung. Ergänzend folgen Themen zu diskreten Strukturen wie Square-and-Multiply und RSA, sowie Grundlagen komplexer Zahlen inkl. 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Anzahl an Zeilen, die nicht 0 sind, ist Zeilenrang.  \n• ¨Ahnliche Matrizen: A und B ¨uber K sind ¨ahnlich, wenn es eine Matrix P gibt mit B = P −1AP, ¨aquivalent wenn es eine Matrix gibt mit PB = AP  \n• Lineare Abbildung ist bijektiv, wenn invertierbar /  \n• Isomorphimus: Bijektiv und linear  \n• Homomorphismus: Linear  \n• Dimension: Anzahl linear unabh¨angiger Spalten  \n• Spaltenrang / Rang = Dimension des Spaltenraums, d. h. Anzahl Pivotspalten. Errechnen mit Gauss.  \n• Kern einer Abbildung: Alle Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden  \n• Defekt: Dimension des Kerns einer Matrix  \n• Rangsatz / Dimensionssatz f¨ur eine Abbildung V → W: dim V = rang (f) + def(f),  \n• Charakteristische Polynom: Determinante der (Matrix- λ mal Eigenwert) (auf der Diagonalen), Nullstellen sind Eigenwerte der Matrix. Algebraische Vielfachheit der Eigenwerte gibt an, wie oft der gleiche Eigenwert vorkommt (F¨ur alle Eigenwerte aufstellen) . Geometrische Vielfachheit eines Eigenwertes ist gr¨oßer oder gleich 1 und stets kleiner oder gleich seiner algebraischen Vielfachheit.  \n• Eigenvektor: Matrix * Vektor ergibt den Vektor mal Faktor (Linear abh¨angig)  \n• Nachweis von Linearit¨at: f ist homogen: f (ax) = af (x), f ist additiv: f (x + y) = f(x) + f(y)  \n• Bestimmung von Eigenvektoren (F¨ur jeden Eigenwert): (Matrix - λ ∗ E = 0) l¨osen (Kern berechnen), dann parametrische Vektorform, Spannraum daraus ist Eigenraum EA (λ) . Die Dimension davon ist die geometrische Vielfachheit von λ .  \n• Matrix ist diagonalisierbar, wenn alle Eigenr¨aume aufstellbar sind und die algebraischen Vielfachheiten der Eigenwerte die Spaltenanzahl sind (algebraische Vielfachheit = geometrische Vielfachheit f¨ur jeden Eigenwert) und alle Eigenwerte reell sind  \n• Diagonalisierung einer Matrix A: n Eigenwerte berechnen, alle Eigenr¨aume aufstellen (Basen) . Wenn die Anzahl der Vektoren in den Basen nentsprechen, bilden alle als Spalten die Matrix  \nP. Ansonsten nicht diagonalisierbar. Ist A diagonalisierbar, so ist A = P ∗ D ∗ P −1 . In D sitzen die die Eigenwerte auf der Diagonalen, ansonstenist sie leer.  \n• Abbildungsmatrix aufstellen (beispielhaft f¨ur Abbildung von R3 → R2 ):  \n􀀒x −2y z 􀀓 )  \nWird zu:  \n􀀒 21  \n−3  \n−2  \n01􀀓  \n• Abbildungsmatrix aufstellen, wenn zwei Werte bekannt sind: Abbildungsmatrix multipliziert mit Urbild ergibt Bild, d. h.  \nBasiswechsel  \nBasiswechsel / Transformation von einer Basis A nach Basis B WAB: Vektoren der Basis A werden als Linearkombination der Vektoren der Basis B dargestellt. Die Faktoren in einer Zeile sind dann je die Spalten der Basiswechselmatrix.  \nUm Vektor von einer Basis in eine andere zu ¨uberf¨uhren, diesen in Koordinatenform der ersten Basis ausdr¨ucken, mit der Basiswechselmatrix multiplizieren und mit der neuen Basis multiplizieren.  \nTransformationen  \n• Rotation: 􀀒cossinαα −sicosnβα􀀓􀀒xy􀀓  \n• Scherung: 􀀒10 s1􀀓􀀒xy􀀓  \n• Skalierung: 􀀒 a0 0b􀀓  \nDeterminante  \nDeterminante bei 4x4-Matrizen mit Matrixentwicklungssatz berechnen (nach einer Spalte / Zeile), bei 2x2 Matrizen mit der Formel  \ndet 􀀌 ac bd 􀀌 = ad − bc Bei 3x3-Matrizen Satz von Sarruz.  \n• Determinante nicht 0: Quadratische Matrix invertierbar  \n• Determinante ist Produkt aller Eigenwerte.  \nGram Schmidt-Verfahren  \n• Dient der Bildung einer Orthogonalbasis (nicht orthonormal) aus einer anderen Basis  \n• Bildung aus Basis w 1 , ..., w2 : v 1 = w 1 , v2 = w2 − vv~~1~~1,,wv~~2~~1 ∗v1 , v3 = w3 − ~~ ~~vv~~1~~1,,wv~~3~~1 ∗v1 − ~~ ~~vv~~2~~2,,wv~~3~~2 ∗v2 ;  \n[d. h.](d. h. vn = wn)[ v](d. h. vn = wn)[n](d. h. vn = wn)[ =](d. h. vn = wn)[ w](d. h. vn = wn)[n](d. h. vn = wn) − vv~~1~~1,,w~","cbCaim3skU8ZLsCq","https://ap.wps.com/l/cbCaim3skU8ZLsCq","pdf",200424,"German","en","# Lineare Algebra\n## Lineare Abbildung, Kern und Rang\n## Eigenwerte, Eigenräume und Diagonalisierung\n## Basiswechsel und Transformationen\n## Determinanten und Invertierbarkeit\n## Gram-Schmidt-Verfahren\n# Diskrete Strukturen\n## Square and Multiply\n## RSA PublicKey-Krypto\n# Komplexe Zahlen\n## Definition, Grundrechenarten und Konjugation\n## Polarkoordinaten und Exponentialschreibweise","[{\"question\":\"Woran erkennt man, ob eine lineare Abbildung injektiv, surjektiv oder bijektiv ist?\",\"answer\":\"Injektiv gilt, wenn der Kern nur den Nullvektor enthält. 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