[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"detail-sidebar-cat-0-pt-112":3,"doc-seo-216272-112":49,"doc-detail-216272-pt":124},{"code":4,"msg":5,"data":6},0,"success",[7,13,17,21,25,29,33,37,41,45],{"id":8,"doc_module":4,"doc_module_name":9,"category_name":10,"show_sort_weight":11,"slug":12},26,"Document","Contos e Romances",60,"story-novel",{"id":14,"doc_module":4,"doc_module_name":9,"category_name":15,"show_sort_weight":11,"slug":16},46,"Estilo de Vida","lifestyle",{"id":18,"doc_module":4,"doc_module_name":9,"category_name":19,"show_sort_weight":11,"slug":20},28,"Exames","exam",{"id":22,"doc_module":4,"doc_module_name":9,"category_name":23,"show_sort_weight":11,"slug":24},47,"Geral","general",{"id":26,"doc_module":4,"doc_module_name":9,"category_name":27,"show_sort_weight":11,"slug":28},29,"Histórias em Quadrinhos","comic",{"id":30,"doc_module":4,"doc_module_name":9,"category_name":31,"show_sort_weight":11,"slug":32},27,"Literatura","literature",{"id":34,"doc_module":4,"doc_module_name":9,"category_name":35,"show_sort_weight":11,"slug":36},32,"Pesquisa e Relatórios","research-report",{"id":38,"doc_module":4,"doc_module_name":9,"category_name":39,"show_sort_weight":11,"slug":40},33,"Religião e Espiritualidade","religion-spirituality",{"id":42,"doc_module":4,"doc_module_name":9,"category_name":43,"show_sort_weight":11,"slug":44},31,"Saúde e Cuidados","healthcare",{"id":46,"doc_module":4,"doc_module_name":9,"category_name":47,"show_sort_weight":11,"slug":48},45,"Tecnologia","technology",{"code":4,"msg":50,"data":51},"ok",{"site_id":52,"language":53,"slug":54,"title":55,"keywords":56,"description":57,"schema_data":58,"social_meta":117,"head_meta":119,"extra_data":121,"updated_unix":123},112,"pt","geometry-potitopmat-ufpr-level-3-3rd-edition","Geometria - POTI/TOPMAT UFPR Nível 3 - 3ª edição","","Material de treinamento do POTI/TOPMAT da Universidade Federal do Paraná (UFPR) voltado ao estudo aprofundado de geometria para estudantes do Ensino Fundamental e Médio. Apresenta fundamentos teóricos e aplicações práticas para apoiar o treinamento em matemática olímpica, com foco em noções primitivas, figuras geométricas, ângulos, propriedades e classificações. Estrutura a aprendizagem desde conceitos como ponto, reta e plano, até tópicos como ângulos, triângulos, congruência, semelhança e resultados clássicos.",{"@graph":59,"@context":116},[60,77,99],{"@type":61,"itemListElement":62},"BreadcrumbList",[63,68,71,74],{"item":64,"name":65,"@type":66,"position":67},"https://docshare.wps.com","Home","ListItem",1,{"item":69,"name":9,"@type":66,"position":70},"https://docshare.wps.com/pt/document/",2,{"item":72,"name":19,"@type":66,"position":73},"https://docshare.wps.com/pt/document/exames/",3,{"item":75,"name":55,"@type":66,"position":76},"https://docshare.wps.com/pt/document/geometry-potitopmat-ufpr-level-3-3rd-edition/216272/",4,{"url":75,"name":55,"@type":78,"image":79,"author":84,"headline":55,"publisher":87,"fileFormat":90,"inLanguage":53,"description":57,"dateModified":91,"datePublished":92,"encodingFormat":90,"isAccessibleForFree":93,"interactionStatistic":94},"DigitalDocument",{"url":80,"@type":81,"width":82,"height":83},"https://docshare.wps.com/thumbnails/geometry-potitopmat-ufpr-level-3-3rd-edition/216272.png","ImageObject",300,407,{"name":85,"@type":86},"Aurelia","Person",{"url":64,"name":88,"@type":89},"DocShare","Organization","application/pdf","2026-09-30","2026-09-07",true,{"@type":95,"interactionType":96,"userInteractionCount":98},"InteractionCounter",{"@type":97},"ViewAction",5,{"@type":100,"mainEntity":101},"FAQPage",[102,108,112],{"name":103,"@type":104,"acceptedAnswer":105},"A quem se destina o material Geometria do POTI/TOPMAT?","Question",{"text":106,"@type":107},"Destina-se a estudantes do Ensino Fundamental e Médio que desejam aprofundar-se em temas abordados nas olimpíadas matemáticas nacionais.","Answer",{"name":109,"@type":104,"acceptedAnswer":110},"O que é o POTI/TOPMAT e qual é seu objetivo?",{"text":111,"@type":107},"É um programa da UFPR que oferece embasamento teórico e prático para o treinamento em matemática olímpica, integrando universidade e educação básica.",{"name":113,"@type":104,"acceptedAnswer":114},"Quais conteúdos de geometria estão no sumário deste material?",{"text":115,"@type":107},"O sumário inclui introdução, noções primitivas (ponto, segmento, reta, plano), conceitos de retas e segmentos, ângulos e tópicos de triângulos como classificação, congruência e semelhança.","https://schema.org",{"og:url":75,"og:type":118,"og:title":55,"og:site_name":88,"og:description":57},"article",{"robots":120,"canonical":75},"index,follow",{"doc_id":122,"site_id":52},216272,1788811733,{"code":4,"msg":5,"data":125},{"doc_id":122,"user_id":126,"nickname":85,"user_avatar":127,"doc_module":4,"category_id":18,"category_name":19,"doc_title":55,"doc_description":57,"doc_content":128,"file_id":129,"file_url":130,"file_type":131,"file_size":132,"view_count":98,"is_deleted":4,"is_public":67,"is_downloadable":67,"audit_status":67,"page_count":133,"language":134,"language_code":53,"site_id":52,"html_lang":53,"table_of_contents":135,"faqs":136,"seo_title":137,"seo_description":57,"update_tm":123,"read_time":138},1099514068365,"https://ap-avatar.wpscdn.com/avatar/10000253d8d9f28188e?_k=1776742907772140068","Geometria  \nPOTI/TOPMAT UFPR Nível 3  \n3 ª edição  \n2024  \nUNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA  \nPROGRAMA DE FORMAÇÃO EMMATEMÁTICA OLÍMPICA  \nCoordenador Geral: Prof. Dr. José Carlos Corrêa Eidam  \nCoordenadores: Fernanda de Oliveira de Jesus  \nLeonardo Knelsen  \nMahmut Telles Cansiz  \nSite: [http://poti.ufpr.br/](http://poti.ufpr.br/)  \nE-mail: [poti@ufpr.br](poti@ufpr.br)  \n[Capa: Luciana Laroca](Capa: Luciana Laroca)  \n[Impress](Impress)ã[o:](o:) Imprensa UFPR  \nCuritiba, janeiro de 2024 .  \nApresentação  \nPrezado Estudante,  \nÉ com grande satisfação que apresentamos a terceira edição do material de treinamento do POTI/TOPMAT-Programa de Formação em Matemática Olímpica da Universidade Federal do Paraná(UFPR) .  \nO POTI/TOPMAT, que conta com o apoio do Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada (IMPA), do Departamento de Matemática da UFPR (DMAT/UFPR) e da Pró-Reitoria de Graduaçãoda UFPR (PROGRAD/UFPR), envolvendo docentes do DMAT ealunos de graduação e pós-graduação da UFPR, é um projeto que visa fornecer embasamento teórico e prático para os estudantes de Ensino Fundamental e Médio que desejam se aprofundar nos interessantes temas abordados nas olimpíadas matemáticas nacionais. Este projeto constitui-se em uma experiência única para todos os envolvidos e também oportuniza a aproximação e interlocução da Universidade com a Educação Básica.  \nA iniciativa do projeto POTI, capitaneada pelo IMPA em todo oterritório nacional, teve seu início na UFPR em 2016 e, desde então, nosso polo, sediado no campus Centro Politécnico da UFPR, em Curitiba, tem crescido bastante e impactado positivamente todos os envolvidos. Em particular, envolve de forma intensa os estudantes de graduação da UFPR, especialmente do Curso de Matemática, que atuam como professores e monitores das disciplinas do programa.  \nO programa TOPMAT iniciou em 2019, com o intuito de pro-  \nduzir material de formação adequado para treinamento em matemática olímpica. A princípio, o material inicial foi produzido para formação de professores e posteriormente passamos ao trabalho deredação do material de formação para os alunos. Este material foisendo aperfeiçoado ao longo do tempo, a partir da experiência didática dos estudantes, e o resultado é o que temos hoje em mãos. Em resumo, o presente material foi desenvolvido pelos professores atuantes no programa e servirá como base para todas as atividades desenvolvidas durante o treinamento.  \nPor fim, gostaria de agradecer de forma expressiva aos estudantes de graduação da UFPR envolvidos neste projeto pelo afinco e esmero na realização deste árduo trabalho. Sem a participação de cada um deles, este projeto não seria possível.  \nBons estudos!  \nProf. Dr. José Carlos Eidam  \nCoordenador do POTI/TOPMAT - 2024 Departamento de Matemática - UFPR Janeiro de 2024  \nSumário  \nApresentação 3  \nIntrodução 11  \n1 Introdução 13  \n1.1 Noções Primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13  \n1.1. 1 Ponto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13  \n1.1.2 Abertura entre Pontos . . . . . . . . . . . . . 14  \n1.1.3 Segmento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15  \n1.1.4 Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16  \n1.1.5 Plano ou Superfície . . . . . . . . . . . . . . . 17  \n1.2 Retas Paralelas e Retas Concorrentes . . . . . . . . . 18  \n1.3 Colinearidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  \n1.3. 1 Pontos colineares . . . . . . . . . . . . . . . . 19  \n1.3.2 Segmentos (de reta) colineares ........ 20  \n1.4 Congruência de Segmentos ............... 20  \n1.5 Adição de Segmentos .................. 21  \n1.6 Ponto Médio de um Segmento ............. 22  \n1.7 Perpendicularidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  \n1.8 Projeção de um Ponto sobre uma Reta . . . . . . . . 22  \n1.9 Medição de Segmentos . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  \n1.9. 1 Distância Geométrica . . . . . . . . . . . . . 23  \n1. 10 Coordenadas Cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . 23  \n1.10.1 Distância entre Pon","cbCainQMhvr4C2Fc","https://ap.wps.com/l/cbCainQMhvr4C2Fc","pdf",9402650,217,"Portuguese","# Introdução\n## Noções Primitivas\n## Ângulos\n## Triângulos\n## Elementos do Triângulo\n## Classificação dos Triângulos\n## Congruência de Triângulos\n## Semelhança de Triângulos","[{\"question\":\"A quem se destina o material Geometria do POTI/TOPMAT?\",\"answer\":\"Destina-se a estudantes do Ensino Fundamental e Médio que desejam aprofundar-se em temas abordados nas olimpíadas matemáticas nacionais.\"},{\"question\":\"O que é o POTI/TOPMAT e qual é seu objetivo?\",\"answer\":\"É um programa da UFPR que oferece embasamento teórico e prático para o treinamento em matemática olímpica, integrando universidade e educação básica.\"},{\"question\":\"Quais conteúdos de geometria estão no sumário deste material?\",\"answer\":\"O sumário inclui introdução, noções primitivas (ponto, segmento, reta, plano), conceitos de retas e segmentos, ângulos e tópicos de triângulos como classificação, congruência e semelhança.\"}]","Geometria - POTI/TOPMAT UFPR Nível 3 - 3ª edição | PDF",334]