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Le problème est résolu lorsque le dessin est 4-connexe, notion formalisée dans le texte, avec une description d’un algorithme produisant un brodage utilisant la quantité minimale de fil attendue. Des exemples illustrent ensuite des configurations non 4-connexes, accompagnées de contre-exemples et d’une analyse de leurs particularités.",{"@graph":51,"@context":100},[52,68,83],{"@type":53,"itemListElement":54},"BreadcrumbList",[55,59,62,65],{"item":56,"name":57,"@type":58,"position":9},"https://docshare.wps.com","Home","ListItem",{"item":60,"name":10,"@type":58,"position":61},"https://docshare.wps.com/fr/template/",2,{"item":63,"name":27,"@type":58,"position":64},"https://docshare.wps.com/fr/template/général/",3,{"item":66,"name":47,"@type":58,"position":67},"https://docshare.wps.com/fr/template/combinatoire-du-point-de-croix-4-connected-cross-stitch-minimal-thread-length/204991/",4,{"url":66,"name":47,"@type":69,"author":70,"headline":47,"publisher":73,"fileFormat":76,"inLanguage":45,"description":49,"dateModified":77,"datePublished":77,"encodingFormat":76,"isAccessibleForFree":78,"interactionStatistic":79},"DigitalDocument",{"name":71,"@type":72},"\tWilliam","Person",{"url":56,"name":74,"@type":75},"DocShare","Organization","application/pdf","2026-09-05",true,{"@type":80,"interactionType":81,"userInteractionCount":4},"InteractionCounter",{"@type":82},"ViewAction",{"@type":84,"mainEntity":85},"FAQPage",[86,92,96],{"name":87,"@type":88,"acceptedAnswer":89},"Comment l’article mesure-t-il la longueur de fil et pourquoi l’envers est central ?","Question",{"text":90,"@type":91},"L’étude néglige les longueurs de fil hors de la zone brodée, et souligne que la longueur sur l’endroit dépend seulement du nombre de cases. 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Nous nous intéressons ensuite à la question de minimiser la longueur de filutilisée pour broder un dessin donné et résolvons le problème lorsque le dessin est 4-connexe (notion définie dans le texte) . Nous décrivons également un algorithme qui brode le dessin avec la quantité minimale de fil attendue. Enfin, dans une dernièrepartie, nous étudions plusieurs exemples de dessins qui ne sont pas 4-connexes. Mots-clés : géométrie discrète, optimisation, combinatoire  \nTable des matières  \n1 Position du problème 1  \n1.1 Le point de croix .............................. 1  \n1.2 Configurations brodables et fortement brodables .............. 3  \n2 Configurations 4-connexes 4  \n2. 1 Définitions et énoncé du théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4  \n2.2 Schémas de piquage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5  \n2.3 Démonstration du théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8  \n2.4 Un algorithme pour broder ......................... 10  \n2.5 L’algorithme et les configurations non 4-connexes ............. 11  \n3 Exemples et contre-exemples 13  \n3.1 Les configurations « escalier » ....................... 13  \n3.2 Récapitulatif : un diagramme d’implications ................ 20  \n1 Position du problème  \n1.1 Le point de croix  \nLe point de croix est une technique de broderie consistant à reproduire le dessin d’une grille sur un tissu à trame régulière, à l’aide (comme son nom d’indique) de points en  \n􀀃 Élève de l’ÉNS Cachan, antenne de Bretagne  \n†Chercheur au CNRS, affecté à l’Université Indépendante de Moscou  \nforme de croix. Pour les lecteurs qui ne connaîtraient pas le principe de la broderie, voici quelques précisions. On dispose d’un fil enfilé dans une aiguille, que l’on fait passer à travers les trous (disposés régulièrement le long d’un quadrillage) du tissu, alternativement de l’envers vers l’endroit du tissu et de l’endroit vers l’envers. Pour broder un point de croix, le fil doit ainsi passer deux fois sur l’endroit du tissu : une fois selon l’une des diagonales, une fois selon l’autre diagonale (voir figure 1 ; la partie de fil plus foncéereprésente la dernière diagonale brodée) .  \nFIGURE 1 – Le point de croix  \nLorsqu’il y a plusieurs cases à broder, l’ordre et le sens dans lequel on brode chaque diagonale ne doit obéir qu’à une seule condition : la diagonale qui passe par dessus l’autredoit être la même 1 pour toutes les cases. Par exemple, pour broder deux cases côte-à-côte, les deux méthodes présentées sur la figure 2 sont acceptables.  \nMéthode 1 Méthode 2  \nFIGURE 2 – Deux méthodes pour broder deux cases  \nComme vous pouvez le constater sur la figure, ces deux méthodes donnent le même motif, et la condition sur les diagonales est respectée. Cependant, si les deux méthodes produisent le même résultat sur l’endroit du tissu, en revanche, sur l’envers de celui-ci, les fils ne sont pas disposés de la même façon, comme on peut le voir sur la figure 3 .  \nDorénavant, nous allons fixer le choix de la diagonale passant par dessus l’autre, par exemple, comme dans la figure 2, nous supposerons qu’il s’agira de la diagonale joignant  \n1. Sous-entendu : dans la même direction  \nMéthode 1  \nFIGURE 3 – Envers du tissu  \nle coin en haut à gauche au coin en bas à droite (si l’on regarde l’endroit du tissu), que nous appellerons désormais « diagonale supérieure » . Notons que cela signifie que pour une case donnée, il faudra broder la diagonale joignant le coin en haut à droite au coin en haut à gauche (que nous appellerons « diagonale inférieure ») avant l’autre diagonale.  \nLongueur de fil utilisée  \nD’un point de vue pratique, on peut avoir envie d’utiliser la méthode qui demande le moins de fil possible. Faisons quelques remarques à ce sujet. 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