[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"doc-detail-37324-fr":3,"doc-seo-37324-114":29},{"code":4,"msg":5,"data":6},0,"success",{"doc_id":7,"user_id":8,"nickname":9,"user_avatar":10,"doc_module":4,"category_id":11,"category_name":12,"doc_title":13,"doc_description":14,"doc_content":15,"file_id":16,"file_url":17,"file_type":18,"file_size":19,"view_count":4,"is_deleted":4,"is_public":20,"is_downloadable":20,"audit_status":20,"page_count":21,"language":22,"language_code":23,"site_id":24,"html_lang":23,"table_of_contents":25,"faqs":26,"seo_title":13,"seo_description":14,"update_tm":27,"read_time":28},37324,1649267921044,"Ava Thompson","https://us-avatar.wpscdn.com/avatar/1800007509477c92dfb?_k=1782875107921204101",64,"Recherche & Rapport","Éléments de la théorie des groupes","Document de cours centré sur la théorie des groupes, structuré autour des notions fondamentales et de leurs premières applications. Présentation formelle de la définition d’un groupe, des exemples (groupes additifs, groupes multiplicatifs, groupe symétrique) et des propriétés immédiates comme l’unicité de l’élément neutre et du symétrique. Étude des sous-groupes avec critères et exemples, dont S3, ainsi que l’avertissement sur le cas des ensembles non finis. Le sommaire annonce aussi Lagrange, homomorphismes, produits de groupes et groupes en géométrie.","ELEMENTS DE LA THEORIE DES GROUPES.  \nLicence de Math􀀓ematiques Universit􀀓e d'Angers 1997/98  \nD. Schaub  \n2  \nTable des mati􀀒eres  \n1 GENERALITES 5  \n1.1 D􀀓e􀀌nition ........................................ 5  \n1.2 Sous-groupes ...................................... 6  \n1.3 Relations d'􀀓equivalences ................................ 7  \n1.4 Th􀀓eor􀀒eme de Lagrange ................................. 8  \n1.5 Sous-groupes distingu􀀓es ................................ 9  \n1.6 Homomorphismes, isomorphismes ........................... 10  \n1.6.1 Homomorphismes ................................ 10  \n1.6.2 Image, noyau d'un homomorphisme de groupes ............... 10  \n1.7 Groupes cycliques ................................... 12  \n1.7.1 Sous-groupe engendr􀀓e par un ensemble .................... 12  \n1.7.2 D􀀓e􀀌nition et propri􀀓et􀀓es ............................ 13  \n1.8 Groupes d􀀓e􀀌nis par g􀀓en􀀓erateurs et relations ..................... 14  \n1.9 Produit de groupes ................................... 15  \n2 GROUPES COMMUTATIFS 17  \n2.1 Modules sur un anneau principal ........................... 17  \n2.2 D􀀓ecomposition en modules monog􀀒enes ........................ 18  \n2.3 D􀀓ecomposition en modules primaires ......................... 21  \n2.4 Exemple ......................................... 23  \n2.5 Applications ....................................... 23  \n3 THEOREMES DE SYLOW 25  \n3.1 Op􀀓eration d'un groupe sur un ensemble ....................... 25  \n3.1.1 G􀀓en􀀓eralit􀀓es ................................... 25  \n3.1.2 Conjugaison ................................... 26  \n3.1.3 Produit semi-direct ............................... 27  \n3.2 Th􀀓eor􀀒emes de Sylow .................................. 28  \n3.2.1 R􀀓esultats pr􀀓eliminaires ............................. 28  \n3.2.2 Les th􀀓eor􀀒emes .................................. 29  \n3.2.3 Exemple ..................................... 30  \n4 Appendice : SUITES EXACTES 33  \n5 GROUPES ET GEOMETRIE 37  \n5.1 Le groupe orthogonal .................................. 37  \n5.1.1 Les groupes O (E ) pour dim E = 1 ou 2 ................... 38  \n5.2 Sous-groupes 􀀌nis de SO (R2 ) et SO (R3 ) ....................... 39  \n5.2.1 Sous-groupes de SO (R2 ) ............................ 40  \n5.2.2 Sous-groupes de SO (R3 ) ............................ 41  \n4 TABLE DES MATIRES  \n6 REPRESENTATIONS LINEAIRES DES GROUPES FINIS 43  \n6.1 G􀀓en􀀓eralit􀀓es ....................................... 43  \n6.1.1 D􀀓e􀀌nitions ................................... 43  \n6.1.2 Compl􀀒ete r􀀓eductibilit􀀓e ............................. 44  \n6.1.3 Exemples .................................... 45  \n6.1.4 Produit hermitien ............................... 45  \n6.2 Caract􀀒eres d'une repr􀀓esentation ............................ 46  \nChapitre 1  \nGENERALITES  \n1.1 D􀀓e􀀌nition  \nD􀀓e􀀌nition 1.1.1 Soit G un ensemble non vide et 􀀃 : G 􀀂 G ! G; (a; b) 7! a􀀃 b une application.(G; 􀀃) est un groupe si :  \na) 􀀃 est associative ie. 8a; b; c 2 G; a 􀀃 (b 􀀃 c) = (a 􀀃 b) 􀀃 c ;  \nb) G poss􀀒ede un 􀀓el􀀓ement neutre e pour 􀀃 c􀀒ad. 9e 2 G; 8a 2 G; a 􀀃 e = e 􀀃 a = a ;  \nc) tout a 2 G admet un sym􀀓etrique ie. 8a 2 G; 9b 2 G; a 􀀃 b = b 􀀃 a = e.  \nExemples :1) ZZ ;Ql ; IR ; lC avec l'addition sont des groupes, de m^eme que lQ􀀃 ; IR􀀃 ;Cl􀀃 pour la multiplication.  \n2) Si E est un ensemble, l'ensemble S (E ) des bijections de E dans E , muni de la composition des applications est un groupe, appel􀀓e groupe sym􀀓etrique de E. Si E n'a qu'un nombre 􀀌nin d'􀀓el􀀓ements, on note Sn le groupe sym􀀓etrique de E et ses 􀀓el􀀓ements sont appel􀀓es permutations.  \nSi, de plus, la loi 􀀃 est commutative (ie. 8a; b 2 G; a 􀀃 b = b 􀀃 a), alors on dit que G est un groupe commutatif ou ab􀀓elien.  \nLes exemples 1) ci-dessus sont des groupes ab􀀓eliens, mais Sn n'est pas commutatif d􀀒es quen 􀀕 3.  \nNotations : En g􀀓en􀀓eral, on convient de noter (autant que possible) + la loi lorsqu'elle est commutative, 􀀂 ou 􀀁 sinon.  \nLorsque G est un groupe 􀀌ni (c􀀒ad. de cardinal 􀀌ni), il peut ^etre commode de dresser la ta","cbCaimAEQpyTPEmU","https://ap.wps.com/l/cbCaimAEQpyTPEmU","pdf",426198,1,49,"French","fr",114,"# Généralités\n## Définition\n## Sous-groupes\n## Relations d’équivalences\n## Théorème de Lagrange\n## Sous-groupes distingués\n## Homomorphismes, isomorphismes\n## Groupes cycliques\n## Groupes définis par générateurs et relations\n## Produit de groupes\n# Groupes commutatifs\n## Modules sur un anneau principal\n## Décomposition en modules monogènes\n## Décomposition en modules primaires\n## Applications\n# Théorèmes de Sylow","[{\"question\":\"Quelles sont les conditions qui définissent la structure de groupe dans ce cours ?\",\"answer\":\"Un ensemble non vide avec une loi vérifie l’associativité, l’existence d’un élément neutre et l’existence d’un symétrique pour tout élément.\"},{\"question\":\"Comment caractérise-t-on un sous-groupe dans le cours ?\",\"answer\":\"Un sous-ensemble non vide est un sous-groupe s’il est stable pour le produit et pour le passage à l’inverse ; ces conditions sont équivalentes.\"},{\"question\":\"Pourquoi le critère “partie stable finie” pour les sous-groupes ne s’applique-t-il pas au cas non fini ?\",\"answer\":\"Le lemme s’appuie sur la finitude pour transformer une injection en surjection et obtenir l’existence des éléments nécessaires dans le sous-ensemble ; sans finitude, la conclusion peut échouer.\"}]",1783050462,75,{"code":4,"msg":30,"data":31},"ok",{"site_id":24,"language":23,"slug":32,"title":13,"keywords":33,"description":14,"schema_data":34,"social_meta":85,"head_meta":87,"extra_data":89,"updated_unix":27},"elements-of-group-theory","",{"@graph":35,"@context":84},[36,53,67],{"@type":37,"itemListElement":38},"BreadcrumbList",[39,43,47,50],{"item":40,"name":41,"@type":42,"position":20},"https://docshare.wps.com","Home","ListItem",{"item":44,"name":45,"@type":42,"position":46},"https://docshare.wps.com/fr/document/","Document",2,{"item":48,"name":12,"@type":42,"position":49},"https://docshare.wps.com/fr/document/recherche-rapport/",3,{"item":51,"name":13,"@type":42,"position":52},"https://docshare.wps.com/fr/document/elements-of-group-theory/37324/",4,{"url":51,"name":13,"@type":54,"author":55,"headline":13,"publisher":57,"fileFormat":60,"inLanguage":23,"description":14,"dateModified":61,"datePublished":61,"encodingFormat":60,"isAccessibleForFree":62,"interactionStatistic":63},"DigitalDocument",{"name":9,"@type":56},"Person",{"url":40,"name":58,"@type":59},"DocShare","Organization","application/pdf","2026-07-03",true,{"@type":64,"interactionType":65,"userInteractionCount":4},"InteractionCounter",{"@type":66},"ViewAction",{"@type":68,"mainEntity":69},"FAQPage",[70,76,80],{"name":71,"@type":72,"acceptedAnswer":73},"Quelles sont les conditions qui définissent la structure de groupe dans ce cours ?","Question",{"text":74,"@type":75},"Un ensemble non vide avec une loi vérifie l’associativité, l’existence d’un élément neutre et l’existence d’un symétrique pour tout élément.","Answer",{"name":77,"@type":72,"acceptedAnswer":78},"Comment caractérise-t-on un sous-groupe dans le cours ?",{"text":79,"@type":75},"Un sous-ensemble non vide est un sous-groupe s’il est stable pour le produit et pour le passage à l’inverse ; ces conditions sont équivalentes.",{"name":81,"@type":72,"acceptedAnswer":82},"Pourquoi le critère “partie stable finie” pour les sous-groupes ne s’applique-t-il pas au cas non fini ?",{"text":83,"@type":75},"Le lemme s’appuie sur la finitude pour transformer une injection en surjection et obtenir l’existence des éléments nécessaires dans le sous-ensemble ; sans finitude, la conclusion peut échouer.","https://schema.org",{"og:url":51,"og:type":86,"og:title":13,"og:site_name":58,"og:description":14},"article",{"robots":88,"canonical":51},"index,follow",{"doc_id":7,"site_id":24}]