CONSTRUCTION DE SOUS-VARIÉTÉS SYMPLECTIQUES - d’après S.K.Donaldson et D.Auroux

Aug 27, 2026

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Texte académique consacré à la construction de sous-variétés symplectiques dans le cadre des variétés symplectiques compactes, en suivant les travaux de S.K. Donaldson et les compléments de D. Auroux. L’article présente le théorème d’existence contrôlée de sous-variétés en codimension 2 analogues aux sections hyperplanes, sous une hypothèse de classe entière duale. La démonstration s’appuie sur des sections de puissances d’un fibré en droites complexes, des propriétés asymptotiquement J-holomorphes et une transversalité uniforme via des estimations de dérivées.

LangueFrench

CatégorieRecherche & Rapport

FormatPDF

Pages24

Temps de lecture37 min

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Table des matières

Introduction

Théorème 1 (Donaldson 1996)

Commentaire et motivation (principe de Gromov, dimension 4 et Seiberg–Witten)

Notations et cadre technique

Connexion hermitienne et courbure

Complément au théorème 1

Suite de sections et estimations

Lemme clé de construction

Surjectivité et noyau symplectique

Astérisque JEAN-CLAUDE SIKORAV Construction de sous-variétés symplectiques Astérisque,tome 252(1998),Séminaire Bourbaki,exp.n°844,p.231-253 Société mathématique de France,1998,tous droits réservés. L'accès aux archives de la collection《Astérisque》(http://smf4.emath.fr/Publications/Asterisque/)implique l'accord avec les conditions générales d'uti-lisation(http://www.numdam.org/conditions).Toute utilisation commerciale ouimpression systématique est constitutive d'une infraction pénale.Toute copieou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programmeNumérisation de documents anciens mathématiqueshttp://www.numdam.org/ # CONSTRUCTION DE SOUS-VARIÉTÉS SYMPLECTIQUES[d’après S.K.Donaldson et D.Auroux]par Jean-Claude SIKORAV INTRODUCTION La géométrie des varietés symplectiques compactes apparait de plus en pluscomme l'intermédiaire naturel entre la topologie differentielle et la géométrie algébri-que complexe.Une illustration de ce fait est donnée par la théorie des courbes pseu-doholomorphes de M.Gromov [Gr2]et ses développements :cohomologie quantique[Aud],invariants de Gromov-Witten,relation avec les équations de Seiberg-Witten[Kot].Les travaux dont nous allons parler,dus à S.K.Donaldson avec d'importantscompléments de D.Auroux,explorent un nouvel aspect de la comparaison avec lagéométrie algébrique:au lieu d'objets de dimension complexe 1(courbes),on con-sidere des objets de codimension complexe 1(hypersurfaces).Bien sur,dans le cas leplus fascinant où la variété est de dimension complexe 2(relle 4),c'est pareil maismeme alors le point de vue est completement nouveau. Le premier résultat est la construction de tels objets,plus précisément de sous-varietés symplectiques de codimension 2 analogues aux sections hyperplanes de lagéométrie algébrique. THÉOREME 1(Donaldson 1996 [D]).—Soit(V,w)une variété symplectique com-pacte.On suppose queest l'image d'une classe entiere h∈H²(V;Z),duale àH∈H₂(V;Z).Alors pour k assez grand,il eriste une sous-variété symplectique Zkhomologue àkH. Commentaire.—Les précédents résultats d'existence de sous-variétés symplectiquesétaient de deux types: 1)Pour une varieté symplectique quelconque,le h-principe de Gromov permetde construire des sous-varietés symplectiques dans certaines classes d'isotopie:si f:W²m→(V²”,u)est un plongement tel que f*[u²m]≠0et df est homotope à J.-C.SIKORAV une injection linéaire symplectique,alors f est isotope à un plongement symplectiquepourvu que 2m≤2n-4.Dans le cas de codimension 2,la méthode permet d'obtenirseulement une immersion symplectique.Quitte à changer la variété W par chirurgie,on pourrait la lisser dans le cadre symplectique sous une hypothèse de positivitéd'intersection,mais celle-ci n’a pas de raison d'avoir lieu en général. 2)En dimension 4,les travaux de C.Taubes [Ta][Kot]sur les relations entreequations de Seiberg-Witten et courbes pseudoholomorphes montrent I'existence desurfaces symplectiques,en fait de J-courbes,dans beaucoup de cas :par exemple,sib+(V)≥2 et si c₁(J)≠0 où J est une structure presque complexe calibrée par w,ilexiste une J-courbe duale à-c₁(J).Ou encore:sia∈H²(V;Z)est non nulle et aun invariant de Seiberg-Witten non nul,il existe une J-courbe duale à a. L'hypothèse du théorème 1 rappelle bien sûr celle du théoreme de plongementde Kodaira [Kod1]:rappelons que celui-ci affirme que si V est de plus kählérienneet si L est un fibré de classe de Chern h,alors L est ample.Autrement dit,Lkades sections holomorphes pour k grand,et celles-ci engendrent un plongement de Vdans un espace projectif PN,N=h°(Lk)-1.L'image réciproque d'un hyperplangénérique est alors une hypersurface ayant les propriétés du théoreme. La preuve du théorème 1 donne un résultat beaucoup plus précis.Pour Iénoncer,introduisons quelques notations. D'abord,J désignera une structure presque complexe calibrée par w:w(X,JY)es

FAQ

Quel est l’énoncé principal du théorème 1 présenté dans le texte ?

Pour une variété symplectique compacte (V,w), si l’image d’une classe entière h∈H²(V;Z) duelle à H∈H₂(V;Z) est supposée, alors pour k assez grand il existe une sous-variété symplectique Z_k dont le type d’homologie correspond à kH.

Pourquoi les travaux portent-ils sur des objets de codimension complexe 1 plutôt que des courbes ?

Le texte souligne un changement de perspective : au lieu d’objets de dimension complexe 1 (courbes pseudoholomorphes), on étudie des objets de codimension complexe 1 (hypersurfaces). En dimension complexe 2 (réelle 4), cela conserve le problème de fond tout en introduisant un point de vue nouveau.

Quel rôle jouent les suites de sections s_k et les propriétés asymptotiquement J-holomorphes ?

Une suite de sections s_k de L^k est dite asymptotiquement J-holomorphe si elle vérifie des estimations de type (1) sur les dérivées. Si en plus elle satisfait la transversalité uniforme à la section nulle via une condition (2), alors les constructions conduisent au théorème 1.

Aug 27, 2026

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