[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"doc-detail-69464-es":3,"doc-seo-69464-110":31,"detail-sidebar-cat-0-es-110":92},{"code":4,"msg":5,"data":6},0,"success",{"doc_id":7,"user_id":8,"nickname":9,"user_avatar":10,"doc_module":4,"category_id":11,"category_name":12,"doc_title":13,"doc_description":14,"doc_content":15,"file_id":16,"file_url":17,"file_type":18,"file_size":19,"view_count":20,"is_deleted":4,"is_public":21,"is_downloadable":21,"audit_status":21,"page_count":22,"language":23,"language_code":24,"site_id":25,"html_lang":24,"table_of_contents":26,"faqs":27,"seo_title":28,"seo_description":14,"update_tm":29,"read_time":30},69464,687197100911,"Himbo","https://ap-avatar.wpscdn.com/avatar/a000239b6f1da00475?x-image-process=image/resize,m_fixed,w_180,h_180&k=1785132997149421697",38,"Examen","Problemas de Selectividad de Matemáticas II (Madrid 2013) Resueltos","Recopilación de problemas de Matemáticas II de la Selectividad de la Comunidad de Madrid (año 2013), con soluciones desarrolladas. Incluye ejercicios de análisis y funciones por tramos (continuidad, derivabilidad, asíntotas y comportamiento asintótico) y problemas de geometría analítica y sistemas lineales con discusión según parámetros. También aborda intersecciones entre planos y rectas, determinación de planos asociados a rectas y, en la opción B, aplicaciones con funciones logarítmicas para cálculo de áreas y volúmenes de revolución.","Problemas de Selectividad de Matem􀀓aticas II Comunidad de Madrid  \n(Resueltos)  \nIsaac Musat Herv􀀓as  \n22 de mayo de 2013  \nCap􀀓􀀐tulo 14 A~no 2013  \n14.1. Modelo 2013-Opci􀀓on AProblema 14.1.1 (3 puntos) Dada la funci􀀓on  \n>8 2x2 + 3x  \n> ~~ ~~ si x \u003C 0  \n> x 􀀀 1  \n>  \nf (x) = \u003C> a si x = 0  \n>>  \n>>  \n>  \n:> e􀀀1=x si x > 0  \nse pide:  \na) (1 punto) . Determinar el valor de a para que f sea continua en x = 0 .  \nb) (1 punto) . Para ese valor de a, estudiar la derivabilidad de f en x = 0 .  \nc) (1 punto) . Hallar, si las tiene, las as􀀓􀀐ntotas de la gr􀀓a􀀌ca y = f (x) .  \nSoluci􀀓on:  \na)  \nl􀀓􀀐m f (x) = l􀀓􀀐m  2x2 + 3x = 0; l􀀓􀀐m f (x) = l􀀓􀀐m e􀀀1=x = 0; f (0) = ax􀀀! 0 􀀀 x􀀀! 0 􀀀 x 􀀀 1 x􀀀! 0+ x􀀀! 0+  \nLuego a = 0 .  \nb)  \n>8 2x2 􀀀 4x 􀀀 3  \n> (x 􀀀 1)2 si x \u003C 0  \n>>  \n>  \nf0 (x) = \u003C 0 si x = 0  \n>>  \n>>  \n> ~~ ~~1x2 e􀀀1=x si x > 0  \nf0 (0 􀀀 ) = 3; f0 (0+ ) = l􀀓􀀐m  f (0 + h) 􀀀 f (0) = l􀀓􀀐m  e􀀀1=h =  \nh􀀀! 0+ h h􀀀! 0+ h  \nh􀀓􀀐m! 0+ 1ehh = 􀀔 ~~ ~~11~~ ~~ 􀀕 = h􀀓􀀐m! 0+ ~~ ~~􀀀~~ ~~1=h2h2~~ ~~e1=h = h􀀓􀀐m! 0+ e~~ ~~ = 0 Como f0 (0 􀀀 )  f0 (0+ ) =) f no es derivable en x = 0 .  \nc) Si x \u003C 0:  \n Verticales: La 􀀓unica posible ser􀀓􀀐a en x = 1, pero no est􀀓a en la rama y, por tanto no es v􀀓alida.  \n Horizontales: No tiene  \n2x2 + 3x  \nl􀀓􀀐m ~~ ~~ = 􀀀1 x􀀀! 􀀀1 x 􀀀 1  \n Oblicuas: y = mx + n:  \nf (x)  2x2 + 3x  \nm = x 􀀀l 1 x = x 􀀀l 1 x2 􀀀 x = 2 n = x 􀀀l 1 (f(x) 􀀀 mx) = x 􀀀l 1 ~~ ~~2x2x~~ ~~31x 􀀀 2x! =  \nl􀀓􀀐mx􀀀! 􀀀1  \n􀀒 x~~ ~~1 􀀓 = 5 =) y = 2x + 5  \nSi x > 0:  \n Verticales: No puede haberlas.  \n Horizontales: y = 1  \nl􀀓􀀐mx􀀀! +1  \ne􀀀1=x = e0 = 1  \n Oblicuas: No hay por haber horizontales.  \nProblema 14.1.2 (3 puntos) Dado el sistema  \n8  \n>  \n\u003C  \n>  \n:  \nx+ 2y+ (m + 3)z = 3 x+ y+ (4 + m 􀀀 m2 )z = 3 2x+ 4y+ 3(m + 2)z = 8  \nse pide:  \na) (2 puntos) . Discutir el sistema seg􀀓un los valores de m.  \nb) (1 punto) . Resolverlo para m = 2 .  \nSoluci􀀓on:  \na)  \nA = 0B 11 21 m2  33 1C =) jAj = 􀀀m = 0 =) m = 0 @ 2 4 3(m + 2)  8 A  \nSi m  0 =) jAj  0 =) Rango(A) = 3 =Rango(A) = no de inc􀀓ognitas =) Sistema compatible determinado.  \nSi m = 0:  \n  0 A = B @  \n1 1  \n2  \n2 1  \n4  \n3 4  \n6  \n3 3  \n8  \n1 􀀌 C =) jAj = 0 􀀌  \nA ; 􀀌  \n1 1  \n2 1  \n􀀌􀀌  \n􀀌 = 􀀀1  0 =)􀀌  \n􀀌  \nRango(A) = 2 .  \n􀀌􀀌  \n􀀌􀀌  \n􀀌􀀌  \n􀀌  \n1 1  \n2  \n2 1  \n4  \n3 3  \n8  \n􀀌􀀌  \n􀀌 ~~ ~~  \n􀀌 = 􀀀2  0 =) Rango(A) = 3 􀀌  \n􀀌  \nComo Rango(A)  Rango(A) =) el sistema es incompatible.  \nb) Para m = 􀀀2:  \n8  \n>  \n\u003C  \n>  \n:  \nx+  \nx+  \n2x+  \n2y+ z = 3 >8 y 􀀀 2z = 3 =) \u003C 4y+ = 8 :>   \nx = 􀀀2  \ny = 3  \nz = 􀀀1  \nProblema 14.1.3 (2 puntos)  \na) (1 punto) . Hallar el punto de corte entre el plano 􀀙 1 􀀑 6x􀀀y+3z = 􀀀2 y la recta r que pasa por el punto P (1; 2; 0) y es perpendicular al plano  \n􀀙2 􀀑 2x + 3y 􀀀 z = 8 .  \nb) (1 punto) . Hallar el punto com􀀓un a los tres planos 􀀙3 ; 􀀙4 ; 􀀙5 siguientes:  \n􀀙3 􀀑 5x + 2y + 7z = 4; 􀀙4 􀀑 x + 2y 􀀀 3z = 10 y 􀀙5 el plano de􀀌nido por las rectas  \nx + 3  y + 3  z + 7  \nr 1 􀀑 = = z + 3; r2 􀀑 x + 2 = y = 2 3 2  \nSoluci􀀓on:  \na)  \nr : ( uP!􀀀rr(=1; !􀀙; 0=) (2 ; 3 ; 􀀀1) =) r : :> xyz   23􀀕􀀕 6x 􀀀 y + 3z = 􀀀2 =) 6(1 + 2􀀕) 􀀀 (2 + 3􀀕) + 3(􀀀􀀕) = 􀀀2 =)  \n􀀕 = 􀀀1 =) P0 (􀀀1; 􀀀1; 1)  \nb)  \n􀀌 2 1 x + 2 􀀌  \n􀀌 􀀌  \n􀀙5 : 􀀌 3 1 y 􀀌 = 0 =) 􀀙5 : 5x 􀀀 3y 􀀀 z = 􀀀3  \n􀀌 1 2 z + 7 􀀌  \n>8 5x + 2y + 7z = 4  \nP : \u003C x + 2y 􀀀 3z = 10 =) P (1; 3 ; 􀀀1):> 5x 􀀀 3y 􀀀 z = 􀀀3  \nProblema 14.1.4 (2 puntos) Dados el plano 􀀙 􀀑 x 􀀀 y + 2z = 1 y la recta  \n x   y + 1  z r 􀀑 = =  \n􀀀6 1 2  \nse pide:  \na) (1 punto) . Determinar la posici􀀓on relativa entre el plano 􀀙 y la rectar.  \nb) (1 punto) . Determinar el plano que contenga a r y pase por P (1; 1; 1) .  \nSoluci􀀓on:  \na)  \nr : ( uP!􀀀rr (=0; (􀀀􀀀16; ;01); 2) =) r : : xyz  􀀀6􀀀12􀀕 􀀕 x 􀀀 y + 2z = 1 =) (􀀀6􀀕) 􀀀 (􀀀1 + 􀀕) + 2(2􀀕) = 1 =)  \n􀀕 = 0 =) se cortan P0 (0 ; 􀀀1; 0)  \nb)  \n8  \n>  \n􀀙 1 : \u003C  \n>  \n:  \nu!􀀀r = (􀀀6; 1 ; 2)  \n􀀀􀀀!  \nPrP = (1 ; 2 ; 1) P (111)  \n􀀌  \n􀀌  \n􀀌  \n=) 􀀙 : 􀀌  \n􀀌  \n􀀌  \n􀀀6 1 x 1 2 y + 1 2 1 z  \n􀀌􀀌  \n􀀌  \n􀀌 = 0 =) 􀀙 1 : 3x􀀀8y+13z = 8 􀀌  \n􀀌  \n14.2. Modelo 2013-Opci􀀓on BProblema 14.2.1 (3 puntos)  \na) (1 punto) . Hallar, si existe, el punto de corte de las rectas  \nr 1 : (  \nx 􀀀 y = 2  \nx + y ","cbCaicwpRh8aVGzd","https://ap.wps.com/l/cbCaicwpRh8aVGzd","pdf",3468174,3,1,10,"Spanish","es",110,"# Capítulo 14 (Año 2013)\n## Modelo 2013- Opción A\n### Problema 14.1.1\n### Problema 14.1.2\n### Problema 14.1.3\n### Problema 14.1.4\n## Modelo 2013- Opción B\n### Problema 14.2.1\n### Problema 14.2.2","[{\"question\":\"¿Cómo se determina el valor del parámetro a para que una función por tramos sea continua en x=0?\",\"answer\":\"Se igualan los límites laterales al valor de f(0) y se impone la condición de continuidad. En el problema, el límite por ambos lados coincide solo cuando a=0.\"},{\"question\":\"¿Qué método se usa para estudiar la derivabilidad de la función en x=0?\",\"answer\":\"Se calculan las derivadas laterales mediante el límite del cociente incremental para x→0− y x→0+. 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