[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"doc-detail-69455-es":3,"doc-seo-69455-110":31,"detail-sidebar-cat-0-es-110":97},{"code":4,"msg":5,"data":6},0,"success",{"doc_id":7,"user_id":8,"nickname":9,"user_avatar":10,"doc_module":4,"category_id":11,"category_name":12,"doc_title":13,"doc_description":14,"doc_content":15,"file_id":16,"file_url":17,"file_type":18,"file_size":19,"view_count":20,"is_deleted":4,"is_public":21,"is_downloadable":21,"audit_status":21,"page_count":22,"language":23,"language_code":24,"site_id":25,"html_lang":24,"table_of_contents":26,"faqs":27,"seo_title":28,"seo_description":14,"update_tm":29,"read_time":30},69455,687197100911,"Himbo","https://ap-avatar.wpscdn.com/avatar/a000239b6f1da00475?x-image-process=image/resize,m_fixed,w_180,h_180&k=1785132997149421697",38,"Examen","Problemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid (Resueltos) Capítulo 6 Año 2005","Conjunto de problemas resueltos de Matemáticas II para la Selectividad de la Comunidad de Madrid, capítulo correspondiente al año 2005. Incluye ejercicios sobre funciones polinómicas y número de cortes con el eje OX usando continuidad y monotonicidad; intersecciones entre curvas y circunferencias, cálculo de áreas con integrales definidas; discusión y resolución de sistemas lineales con parámetro aplicando rangos y regla de Cramer. También aborda un problema geométrico de volúmenes de tetraedros mediante parametrización de rectas y determinantes.","Problemas de Selectividad de Matem􀀓aticas II Comunidad de Madrid  \n(Resueltos)  \nIsaac Musat Herv􀀓as  \n22 de mayo de 2013  \nCap􀀓􀀐tulo 6 A~no 2005  \n6.1. Modelo 2005-Opci􀀓on AProblema 6.1.1 (2 puntos)  \na) Justi􀀌car razonadamente que la gr􀀓a􀀌ca de la funci􀀓on f (x) = x 15 + x + 1  \ncorta al eje OX al menos una vez en el intervalo [􀀀1; 1] .  \nb) Determinar el n􀀓umero exacto de puntos de corte con el eje OX cuando x recorre toda la recta real.  \nSoluci􀀓on:  \na) La funci􀀓on f (x) = x 15 + x + 1 en los extremos del intervalo [􀀀1; 1] toma los valores f (􀀀1) = 􀀀1 y f (1) = 3, como adem􀀓as la funci􀀓on es continua por el teorema de Bolzano: 9c 2 [􀀀1; 1] tal que f (c) = 0 .  \nb) La derivada de la funci􀀓on f0 (x) = 15x14 + 1 > 0 para cualquier valor de x, luego la funci􀀓on es siempre creciente, luego s􀀓olo puede cortar una vez al eje OX, y por el apartado anterior este punto de corte tiene que estar en el intervalo [􀀀1; 1] .  \nProblema 6.1.2 (2 puntos)  \na) (1 punto) Determinar el punto P , contenido en el primer cuadrante, en el que se corta la gr􀀓a􀀌ca de la funci􀀓on f(x) = x22 y la circunferencia x2 + y 2 = 8 .  \nb) (1 punto) Calcular el 􀀓area de la regi􀀓on limitada por la recta que uneel origen y el punto P hallado en el apartado anterior, y el arco de la curva y = x22 comprendido entre el origen y el punto P.  \nSoluci􀀓on:  \na)  \n( x2x2  2yy2  08 =) x 􀀆 2  \nComo piden el punto del primer cuadrante la soluci􀀓on negativa no vale y el punto ser􀀓a (2 ; 2) .  \nb) La recta que une el origen de coordenadas y el punto (2 ; 2) es y = x. Los puntos de corte son  \nx = x22 =) x2 􀀀 2x = 0 =) x = 0; x = 2  \nS = Z02 ~~ ~~x22 􀀀 x! dx = x36 􀀀 x22\\#20 = 43 􀀀 2 = 􀀀 23  \nrea = 􀀌 􀀀 23 􀀌 = 23 u2  \nProblema 6.1.3 (3 puntos)  \na) (2 punto) Discutir seg􀀓un los valores del par􀀓ametro 􀀕 el sistema  \n8  \n>  \n\u003C  \n>  \n:  \n2􀀕x+ 2y+ 􀀕z = 1 x+ 􀀕y 􀀀 z = 1 4x+ 3y+ z = 2􀀕  \nb) (1 punto) Resolver el sistema anterior en los casos en que sea compatible.  \nSoluci􀀓on:  \na)  \n  0 2􀀕 2 􀀕  1 1 5  \nA = B 1 􀀕 􀀀1  1 C ; jAj = 􀀀2􀀕2 +9􀀕􀀀10 = 0 =) 􀀕 = 2; 􀀕 = ~~ ~~@ 4 3 1  2􀀕 A 2  \nSi 􀀕  2 y 􀀕  ~~5~~2 =) jAj  0 =) Rango(A) =Rango(A) = 3 = node inc􀀓ognitas y el sistema es compatible determinado, es decir, tienesoluci􀀓on 􀀓unica.  \nSi 􀀕 = 2:  \nComo el menor  \n􀀌􀀌  \n􀀌􀀌  \n􀀌􀀌  \n􀀌  \n􀀌 4  \n􀀌  \n􀀌 1  \n4 1  \n4  \n2 2  \n2 2  \n3  \n  0  \nA = B  \n@  \n4 1  \n4  \n2 2  \n3  \n2  \n􀀀1  \n1  \n1 1  \n4  \n1  \nC  \nA  \n􀀌􀀌  \n􀀌 = 6  0 =) Rango(A) = 2 . Por otro lado 􀀌  \n􀀌  \n1 1  \n4  \n􀀌􀀌  \n􀀌 ~~ ~~  \n􀀌 = 15  0 =) Rango(A) = 3 􀀌  \n􀀌  \nLuego en este caso Rango(A) Rango(A) =) sistema incompatible.  \n5  \nSi 􀀕 =  \n2  \n  0 5 2 5=2  1 1 A = B 1 5=2 􀀀1  1 C @ 4 3 1  5 A  \nComo el menor 􀀌 51 25 􀀌 = 23  0 =) Rango(A) = 2 . Por otro lado  \n􀀌  \n􀀌  \n􀀌  \n􀀌  \n􀀌  \n􀀌  \n􀀌  \n5 1  \n4  \n5=2  \n􀀀1  \n1  \n1 1  \n5  \n􀀌  \n􀀌 55    \n􀀌 = 􀀀 ~~ ~~  0 =) Rango(A) = 3 􀀌 2  \n􀀌  \nLuego en este caso Rango(A) Rango(A) =) sistema incompatible.  \nb) El sistema s􀀓olo es compatible cuando 􀀕  2 y 􀀕  ~~5~~2 y j Aj = 􀀀2􀀕2 + 9􀀕 􀀀 10. Aplicando la regla de Cramer:  \n􀀌 1 2 􀀕 􀀌􀀌 􀀌  \n􀀌 1 􀀕 􀀀1 􀀌􀀌 􀀌  \n􀀌 2􀀕 3 1 􀀌 2a3 􀀀 1 x = ~~ ~~ = ~~ ~~  \n􀀀2􀀕2 + 9􀀕 􀀀 10 2a2 􀀀 9a + 10  \n􀀌 2􀀕 1 􀀕 􀀌􀀌 􀀌  \n􀀌 1 1 􀀀1 􀀌􀀌 􀀌  \n􀀌 4 2􀀕 1 􀀌 6a2 􀀀 2a 􀀀 5 y = 􀀌~~ ~~ = 􀀀 ~~ ~~  \n􀀀2􀀕2 + 9􀀕 􀀀 10 2a2 􀀀 9a + 10  \n􀀌 2􀀕 2 1 􀀌  \n􀀌 􀀌  \n􀀌 1 􀀕 1 􀀌  \n 􀀌 4 3 2􀀕 􀀌   4a3 􀀀 14a + 11  \nz = 􀀌 􀀌 = 􀀀  \n􀀀2􀀕2 + 9􀀕 􀀀 10 2a2 􀀀 9a + 10  \nProblema 6.1.4 (3 puntos) Dados los puntos A (􀀀1; 1 ; 1), B(1; 􀀀3; 􀀀1) y C(1; 0 ; 3), hallar las coordenadas de un punto D perteneciente a la recta:  \ny 􀀀 1  \nr : x 􀀀 1 = = z 􀀀 1  \n􀀀1  \nde manera que el tetraedro ABCD tenga un volumen igual a 2 .  \nSoluci􀀓on:  \nLa ecuaci􀀓on param􀀓etrica de la recta es  \n8  \n>  \n\u003C  \n>  \n:  \nx = 1 + 􀀕 y = 1 􀀀 􀀕  \nz = 1 + 􀀕  \nD(1 + 􀀕; 1 􀀀 􀀕; 1 + 􀀕)  \n􀀀􀀀! 􀀀! 􀀀􀀀!  \nAB = (2; 􀀀4; 􀀀2); AC = (2 ; 􀀀1; 2) ; AD = (2 + 􀀕; 􀀀􀀕; 􀀕)  \n􀀌  \nV = 1 j [ ;  ; ] j = 1 j 􀀌  \n6 6 􀀌  \n􀀌  \n2 + 􀀕  \n2 2  \n􀀀􀀕  \n􀀀4  \n􀀀1  \n􀀕  \n􀀀2  \n2  \n􀀌􀀌  \n􀀌  \n􀀌 j = 4j􀀕 􀀀 5j = 2 􀀌  \n􀀌  \nj􀀕 􀀀 5j = 12  \n􀀕 􀀀 5 = 12 =) 􀀕 = 112 =) D 􀀒 ~~ ~~132 ; 􀀀 92 ; 132􀀓  \n􀀕 􀀀 5 = 92 =) 􀀕 = 92 =) D 􀀒 ~~ ~~112 ; 􀀀 72 ; 112􀀓  \n6","cbCaiiCHxQL6ybPb","https://ap.wps.com/l/cbCaiiCHxQL6ybPb","pdf",3469689,5,1,23,"Spanish","es",110,"# Problema 6.1 (Opción A) \n## 6.1.1 Función f(x)=x^15+x+1 y cortes con el eje OX\n## 6.1.2 Intersección de f(x)=x^22 con la circunferencia x^2+y^2=8 y área\n## 6.1.3 Sistema con parámetro: discusión y compatibilidad\n## 6.1.4 Geometría: tetraedro ABCD de volumen 2\n# Problema 6.2 (Opción B)\n## 6.2.1 Sistema con parámetro a: discusión y resolución para a=1\n## 6.2.2 Matriz: comprobar identidad y hallar A^n","[{\"question\":\"¿Cómo se justifica que la función f(x)=x^15+x+1 corta al eje OX en el intervalo [-1,1] y cuántas veces lo hace en toda la recta real?\",\"answer\":\"Se evalúa en los extremos: f(-1)=-1 y f(1)=3, y por el teorema de Bolzano existe al menos un cero en [-1,1]. Además, la derivada f'(x)=15x^14+1 es positiva para todo x, por lo que la función es estrictamente creciente y solo puede cortar una vez al eje OX.\"},{\"question\":\"¿Qué punto P se obtiene al intersectar la curva y=x^2 con la circunferencia x^2+y^2=8 (primer cuadrante) y cómo se calcula el área pedida?\",\"answer\":\"La intersección en primer cuadrante resulta en P=(2,2). La recta que une el origen y P es y=x, y el área limitada se calcula con la integral entre x=0 y x=2 de (x^2-x) respecto de x.\"},{\"question\":\"En el sistema lineal con parámetro (Problema 6.1.3), ¿cuándo es compatible y cómo se resuelve en esos casos?\",\"answer\":\"El sistema es compatible determinado cuando el parámetro cumple las condiciones indicadas en el apartado a) (se consideran los valores que hacen que coincidan los rangos y conserven compatibilidad). 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