[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"doc-detail-72381-es":3,"doc-seo-72381-110":31,"detail-sidebar-cat-0-es-110":93},{"code":4,"msg":5,"data":6},0,"success",{"doc_id":7,"user_id":8,"nickname":9,"user_avatar":10,"doc_module":4,"category_id":11,"category_name":12,"doc_title":13,"doc_description":14,"doc_content":15,"file_id":16,"file_url":17,"file_type":18,"file_size":19,"view_count":20,"is_deleted":4,"is_public":21,"is_downloadable":21,"audit_status":21,"page_count":22,"language":23,"language_code":24,"site_id":25,"html_lang":24,"table_of_contents":26,"faqs":27,"seo_title":28,"seo_description":14,"update_tm":29,"read_time":30},72381,1099523885336,"Violet","https://ap-avatar.wpscdn.com/davatar_276721f389ce27ea32af1340a28f341c",38,"Examen","TEMA 5 Integrales – Matemáticas II (Andalucía 2002)","Documento de Matemáticas II (Andalucía 2002) centrado en el Tema 5: Integrales. Incluye enunciados y soluciones de distintos ejercicios tipo examen (Junio y Reservas), donde se determinan polinomios a partir de condiciones iniciales e integrales definidas. También aborda el cálculo de áreas de recintos limitados por curvas y ejes, el esbozo de gráficas, el estudio del dominio mediante logaritmos neperianos y el uso de cambios de variable y fracciones simples para obtener primitivas.","PROBLEMAS RESUELTOSSELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2002  \nMATEMÁTICAS II  \nTEMA 5 : INTEGRALES  \n􀁸 Junio, Ejercicio 2 , Opción A  \n􀁸 Junio, Ejercicio 2 , Opción B  \n􀁸 Reserva 1, Ejercicio 1 , Opción A  \n􀁸 Reserva 1 , Ejercicio 2 , Opción B  \n􀁸 Reserva 2, Ejercicio 1 , Opción A  \n􀁸 Reserva 2, Ejercicio 2 , Opción A  \n􀁸 Reserva 2 , Ejercicio 2 , Opción B  \n􀁸 Reserva 3, Ejercicio 2 , Opción B  \n􀁸 Reserva 4, Ejercicio 1 , Opción A  \n􀁸 Septiembre, Ejercicio 1 , Opción A  \n􀁸 Septiembre, Ejercicio 2 , Opción B  \n[http://emestrada. wordpress.com](http://emestrada. wordpress.com)  \nDetermina un polinomio P ( x) de segundo grado sabiendo que P (0) = P (2) = 1 y ∫ 20 P ( x) dx = ~~ ~~13  \nMATEMÁTICAS II. 2002. JUNIO. EJERCICIO 2. OPCIÓN A.  \nR E S O L U C I Ó N  \nEl polinomio que queremos hallar será de la forma: P(x) = ax 2 + bx + c  \n- P(0) = 1 ⇒ c = 1  \n- P(2) = 1 ⇒ 4a + 2b + 1 = 1 ⇒ 4a + 2b = 0  \n- ∫ 20 (ax 2 + bx + 1) dx = 􀀄􀀈􀀆 ax33~~ ~~ + ~~ ~~bx22~~ ~~ + x 􀀅􀀉􀀇 20 = ~~ ~~8a3~~ ~~ + 2b + 2 = ~~ ~~13 Resolviendo el sistema sale que: P(x) = ~~ ~~54 x 2 − ~~ ~~52 x + 1  \nSea f : 􀀁 → 􀀁 la función definida por: f ( x) = x ⋅e −− x . Esboza el recinto limitado por la curva y = f ( x) , los ejes coordenados y la recta x = −− 1. Calcula su área.  \nMATEMÁTICAS II. 2002. JUNIO. EJERCICIO 2. OPCIÓN B.  \nR E S O L U C I Ó N  \nA = ∫  \n0  \n−1  \n− xe − x dx = x ⋅ e − x + e − x   \n0 = 1 u 2 −1  \nSea Ln ( x) el logaritmo neperiano de x y sea f : D → 􀀁 la función definida porf ( x) = ~~ ~~x~~ ~~(~~ ~~L1n(~~ ~~x))2  \na) Determina el conjunto D sabiendo que está formado por todos los puntos x ∈􀀁 para los que existe f ( x) .  \nb) Usa el cambio de variable t = Ln ( x) para calcular una primitiva def.  \nMATEMÁTICAS II. 2002. RESERVA 1. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.  \nR E S O L U C I Ó N  \na) Ln (x) sólo existe para x > 0 , por tanto, el dominio de f (x) = ~~ ~~x~~ ~~(L1n(x))2 puesto que es uncociente, aparte de considerar los números x > 0 hemos de quitar aquellos que anulan el denominador que en nuestro caso es x = 1 , ya que Ln (1) = 0 . Luego el dominio pedido es (0,1) ∪ (1, ∞) .  \nb) Hacemos el cambio t = Ln (x) ⇒ dt = ~~ ~~1x~~ ~~ dx ⇒ dx = x ⋅ dt  \n∫ ~~ ~~x~~ ~~(L1n(x))2~~ ~~ dx = ∫ ~~ ~~xx~~ ~~dtt2 = ∫ t −2 dt = − ~~ ~~1t = − ~~ ~~Ln1(x) + C  \nCalcula ∫ x~~ ~~3~~ ~~+~~ ~~2xx22~~ ~~21x~~ ~~+~~ ~~3 dx  \nMATEMÁTICAS II. 2002. RESERVA 1. EJERCICIO 2. OPCIÓN B.  \nR E S O L U C I Ó N  \nDividimos los dos polinomios, con lo cual la integral se descompone en:  \n∫ ~~ ~~x~~ ~~3~~ ~~+~~ ~~2xx2212x~~ ~~+~~ ~~3 dx = ∫ (x + 2) dx + ∫ ~~ ~~−xx2~~ ~~51 dx = ~~ ~~x22~~ ~~ + 2x + ∫ ~~ ~~−xx2~~ ~~51 dx Calculamos las raíces del denominador: x 2 −1 = 0 ⇒ x = − 1 ; x = 1 Descomponemos en fracciones simples:  \n−x + 5   A   B   A(x + 1) + B(x −1)= + =  \nx2 −1 x −1 x + 1 (x −1)(x + 1)  \nComo los denominadores son iguales, los numeradores también tienen que serlo. Para calcular A y Bsustituimos los valores de las raíces en los dos numeradores.  \nx = 1 ⇒ 4 = 2A ⇒ A = 2  \nx = − 1 ⇒ 6 = −2B ⇒ B = − 3 Con lo cual:  \n∫ ~~ ~~x~~ ~~3~~ ~~+~~ ~~2xx2212x~~ ~~+~~ ~~3 dx = ~~ ~~x22~~ ~~ + 2x + ∫ ~~ ~~x~~ ~~1 dx + ∫ ~~ ~~1 dx = ~~ ~~x22~~ ~~ + 2x + 2 ln(x −1) − 3ln(x + 1) + C  \na) Determina la función f : 􀀁 → 􀀁 sabiendo que f '( x) = 2 x3 − 6 x2 y que su valor mínimo es −− 12 .  \nb) Calcula la ecuación de las rectas tangentes a la gráfica de f en los puntos de inflexión de su gráfica.  \nMATEMÁTICAS II. 2002. RESERVA 2. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.  \nR E S O L U C I Ó N  \na) Los posibles máximos o mínimos son las soluciones de la ecuación:  \nf '(x) = 2x3 − 6x2 = 0 ⇒ x = 0 ; x = 3  \nEl mínimo está en x = 3 , ya que f ''(3) = 6 ⋅32 −12 ⋅3 = 54 − 36 = 18 > 0  \nf (x) = ∫ (2x3 − 6x2 ) dx = ~~ ~~x24~~ ~~ − 2x3 + C Como f (3) = − 12 ⇒ ~~ ~~324~~ ~~ − 2 ⋅33 + C = − 12 ⇒ C = ~~ ~~32  \nLuego, la función es: f (x) = ~~ ~~x24~~ ~~ − 2x3 + ~~ ~~32  \nb) Calculamos los puntos de inflexión igualando la segunda derivada a cero.  \nf '' (x) = 6x2 −12x = 0 ⇒ x = 0 ; x = 2  \nx 0 = 0 􀀒  \n􀀓  \n 3 􀀓  3 f (x0 ) = 􀀔 ⇒ y − f (x0 ) = f '(","cbCailCewnIPKr9A","https://ap.wps.com/l/cbCailCewnIPKr9A","pdf",165533,5,1,12,"Spanish","es",110,"# Junio, Ejercicio 2\n## Opción A\n## Opción B\n# Reserva 1, Ejercicio 1\n## Opción A\n# Reserva 1, Ejercicio 2\n## Opción B\n# Reserva 2, Ejercicio 1\n## Opción A\n# Reserva 2, Ejercicio 2\n## Opción A\n## Opción B\n# Reserva 3, Ejercicio 2\n## Opción B","[{\"question\":\"Cómo se determina el polinomio P(x) de segundo grado en Junio, Ejercicio 2, Opción A?\",\"answer\":\"Se asume P(x)=ax^2+bx+c. Se usan las condiciones P(0)=1 y P(2)=1 para obtener ecuaciones para a y b, y se emplea además el valor de la integral ∫(0 a 2) P(x) dx para completar el sistema y hallar el polinomio.\"},{\"question\":\"Qué dominio se obtiene para la función con logaritmo neperiano en Reserva 1, Ejercicio 1, Opción A?\",\"answer\":\"El logaritmo exige x\\u003e0. Además, al aparecer como cociente se excluye el valor que anula el denominador (x=1, porque Ln(1)=0). El dominio queda como (0,1) ∪ (1,∞).\"},{\"question\":\"Cómo se calcula el área en Reserva 2, Ejercicio 2, Opción A cuando la función no es derivable en x=4?\",\"answer\":\"Se separa el recinto en dos tramos según la definición de la función: para x≤4 se usa −x^2+4x y para x\\u003e4 la otra expresión correspondiente. 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