[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"doc-detail-72384-es":3,"doc-seo-72384-110":31,"detail-sidebar-cat-0-es-110":93},{"code":4,"msg":5,"data":6},0,"success",{"doc_id":7,"user_id":8,"nickname":9,"user_avatar":10,"doc_module":4,"category_id":11,"category_name":12,"doc_title":13,"doc_description":14,"doc_content":15,"file_id":16,"file_url":17,"file_type":18,"file_size":19,"view_count":20,"is_deleted":4,"is_public":21,"is_downloadable":21,"audit_status":21,"page_count":22,"language":23,"language_code":24,"site_id":25,"html_lang":24,"table_of_contents":26,"faqs":27,"seo_title":28,"seo_description":14,"update_tm":29,"read_time":30},72384,1099523885336,"Violet","https://ap-avatar.wpscdn.com/davatar_276721f389ce27ea32af1340a28f341c",38,"Examen","TEMA 5 Integrales 2003 Matemáticas II Problemas Resueltos Selectividad Andalucía","Colección de problemas resueltos de Matemáticas II para Selectividad de Andalucía 2003, centrados en el TEMA 5: Integrales. Incluye enunciados y desarrollos paso a paso de cálculo de primitivas por integración por partes, áreas de regiones entre curvas y rectas, ecuaciones de tangentes a parábolas a partir de pendientes derivadas y análisis de funciones cúbicas o polinómicas mediante derivadas, extremos relativos, puntos de inflexión y parámetros determinados por condiciones adicionales e integrales definidas.","PROBLEMAS RESUELTOSSELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2003  \nMATEMÁTICAS II  \nTEMA 5 : INTEGRALES  \n􀁸 Junio, Ejercicio 1 , Opción A  \n􀁸 Junio, Ejercicio 1 , Opción B  \n􀁸 Junio, Ejercicio 2, Opción A  \n􀁸 Reserva 1, Ejercicio 1 , Opción A  \n􀁸 Reserva 1 , Ejercicio 2 , Opción B  \n􀁸 Reserva 2, Ejercicio 2 , Opción A  \n􀁸 Reserva 2, Ejercicio 1 , Opción B  \n􀁸 Reserva 3, Ejercicio 2 , Opción A  \n􀁸 Reserva 3, Ejercicio 2 , Opción B  \n􀁸 Reserva 4, Ejercicio 2 , Opción A  \n􀁸 Reserva 4, Ejercicio 1 , Opción B  \n􀁸 Septiembre, Ejercicio 2 , Opción A  \n􀁸 Septiembre, Ejercicio 1 , Opción B  \n[http://emestrada. wordpress.com](http://emestrada. wordpress.com)  \nSea Ln (1 −− x 2 ) el logaritmo neperiano de 1 −− x 2 y sea f : ( − 1,1) → 􀀁 la función definida por f ( x) = Ln (1 − x 2 ) . Calcula la primitiva def cuya gráfica pasa por el punto (0,1) .  \nMATEMÁTICAS II. 2003. JUNIO. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.  \nR E S O L U C I Ó N  \nCalculamos la integral, que es una integral por partes.  \nu = ln (1− x2 ); du = ~~ ~~12xx2~~ ~~ dx dv = dx ; v = x  \n∫ ln (1− x2 ) dx = x ln(1− x 2 ) − ∫ ~~ ~~x221 dx = x ln(1− x 2 ) − ∫ 2 dx − ∫ ~~ ~~x~~ ~~22−~~ ~~1 dx =  \n= x ln(1− x 2 ) − 2x + ln(x + 1) − ln(x + 1) + C Calculamos una primitiva que pase por el punto (0,1) .  \n1 = 0 ⋅ ln1− 0 + ln1− ln(−1) + C ⇒ C = 1  \nLuego, la primitiva que nos piden es: F (x) = x ln(1− x 2 ) − 2x + ln(x + 1) − ln(x + 1) + 1  \nDadas la parábola de ecuación y = 1 + x 2 y la recta de ecuación y = 1 + x , se pide:  \na) Área de la región limitada por la recta y la parábola.  \nb) Ecuación de la recta paralela a la dada que es tangente a la parábola. MATEMÁTICAS II. 2003. JUNIO. EJERCICIO 1. OPCIÓN B.  \nR E S O L U C I Ó N  \na) Calculamos los puntos de corte de las dos funciones.  \nyy  11 xx2 􀀈􀀊􀀉 ⇒ x 2 − x = 0 ⇒ x = 0 ; x = 1  \nEl área que nos piden es:  \nA = ∫ 10 (1 + x) − (1+ x 2 )  dx =∫ 01 x − x 2  dx = 􀀋􀀍􀀏 ~~ ~~x22~~ ~~ − ~~ ~~x33~~ ~~ 􀀌􀀐􀀎  \nb) La pendiente de la recta que nos dan es 1, luego:  \ny ' = 2x = 1 ⇒ x =  1 ⇒ y = 1 +  1 =  5 2 4 4  \n1  \n0  \n1 1 1 =  −  = ~~ ~~ u 2 3 6  \n2  \n􀀑 1 5 􀀒  \nCalculamos la recta tangente que pasa por el punto 􀀕􀀓 2 ,  4  􀀖􀀔 y tiene de pendiente 1.  \ny − ~~ ~~54 = 1⋅ 􀀕􀀓􀀑 x − ~~ ~~12􀀒􀀖􀀔 ⇒ y = ~~ ~~4x4+~~ ~~3  \nSe sabe que la función f : 􀀁 → 􀀁 definida por f ( x) = x 3 + ax 2 + bx + c tiene un extremo relativo en el punto de abscisa x = 0 y que su gráfica tiene un punto de inflexión en el punto de abscisa x = −− 1. Conociendo además que ∫ 10 f (x) dx = 6 , halla a, b y c.  \nMATEMÁTICAS II. 2003. JUNIO. EJERCICIO 2. OPCIÓN A.  \nR E S O L U C I Ó N  \nCalculamos la primera y segunda derivada de la función.  \nf '(x) = 3x2 + 2ax + b ; f ''(x) = 6x + 2a  \nVamos aplicando las condiciones del problema.  \n-Extremo relativo en x = 0 ⇒ f '(0) = 0 ⇒ b = 0  \n-Punto de inflexión en x = − 1 ⇒ f ''(−1) = 0 ⇒ − 6 + 2a = 0 ⇒ a = 3  \n- ∫ 10 f (x) dx = 6 ⇒ ∫ 10 (x3 + 3x 2 + c) dx = 􀀋􀀍􀀏 ~~ ~~x44~~ ~~ + ~~ ~~3x33~~ ~~ + cx 􀀌􀀐􀀎  \n1  \n0  \n= ~~ ~~14 + 1 + c = 6 ⇒ c = ~~ ~~194  \nLuego, a = 3 ; b = 0 ; c = ~~ ~~194  \nSea la función f : 􀀁 → 􀀁 definida por f ( x) = 2x3 − 6 x + 4 . Calcula el área del recinto limitado por la gráfica def y su recta tangente en el punto de abscisa correspondiente al máximo relativode la función.  \nMATEMÁTICAS II. 2003. RESERVA 1. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.  \nR E S O L U C I Ó N  \nCalculamos las coordenadas del máximo de la función.  \nf '(x) = 6x2 − 6 = 0 ⇒ x = ±1 ; f ''(1) = 12 > 0 ⇒ mínimo ; f ''(−1) = − 12 \u003C 0 ⇒ Máximo Luego, el máximo está en el punto P(−1,8) . La pendiente valdrá f '(−1) = 6(−1) 2 − 6 = 0 ⇒ m = 0 .  \nPor lo tanto, la recta tangente tiene de ecuación: y − 8 = 0 ⋅ (x + 1) ⇒ y = 8 Calculamos el área que nos piden.  \nA = ∫ − 21 (8 − 2x 3 + 6x − 4) dx = 􀀍􀀋􀀏 − ~~ ~~2x4~~ ~~4~~ ~~ + ~~ ~~6x22~~ ~~ + 4x􀀌􀀐􀀎 −21 = 􀀋􀀏􀀍 − ~~ ~~324 + ~~ ~~242 + 8􀀌􀀐􀀎 − 􀀍􀀏􀀋 − ~~ ~~24 + ~~ ~~62 − 4􀀌􀀐􀀎 = ~~ ~~272 u 2  \nConsidera las funciones f , g : 􀀁 → 􀀁 definidas por: f (x) = 6 − x 2 ; g(x) =  x  x ∈􀀁 .  \na) Dibuja el recinto limitado por las gráficas def y g.  \nb) Calcula el área ","cbCaiblHllS1y4kV","https://ap.wps.com/l/cbCaiblHllS1y4kV","pdf",163399,8,1,14,"Spanish","es",110,"# TEMA 5: Integrales\n## Junio\n### Ejercicio 1\n#### Opción A\n#### Opción B\n### Ejercicio 2\n#### Opción A\n## Reserva 1\n### Ejercicio 1\n#### Opción A\n### Ejercicio 2\n#### Opción B\n## Reserva 2\n### Ejercicio 1\n#### Opción B\n### Ejercicio 2\n#### Opción A\n## Reserva 3\n### Ejercicio 2\n#### Opción A","[{\"question\":\"¿Cómo se calcula la primitiva de f(x)=Ln(1−x^2) que pasa por (0,1)?\",\"answer\":\"Se emplea integración por partes para obtener una expresión general de la primitiva y luego se impone la condición F(0)=1 para determinar la constante C. La primitiva resultante queda ajustada para que la gráfica pase por el punto indicado.\"},{\"question\":\"¿Cómo se obtiene el área de la región limitada por la recta y=1+x y la parábola y=1+x^2?\",\"answer\":\"Se hallan los puntos de corte resolviendo 1+x=1+x^2, lo que da los límites de integración. Luego se integra la diferencia entre la recta y la parábola en el intervalo correspondiente para obtener el área.\"},{\"question\":\"¿Qué pasos se siguen para determinar parámetros a, b y c en funciones polinómicas usando derivadas e integrales?\",\"answer\":\"Se calculan primera y segunda derivada para aplicar condiciones de extremo relativo (f'(x)=0) y punto de inflexión (f''(x)=0). Después se usa una condición integral definida ∫ f(x) dx en el intervalo indicado para resolver la constante restante y así determinar a, b y c.\"}]","TEMA 5 Integrales 2003 Matemáticas II Problemas Resueltos Selectividad Andalucía | PDF",1784036507,22,{"code":4,"msg":32,"data":33},"ok",{"site_id":25,"language":24,"slug":34,"title":13,"keywords":35,"description":14,"schema_data":36,"social_meta":88,"head_meta":90,"extra_data":92,"updated_unix":29},"topic-5-integrals-2003-mathematics-ii-solved-problems-selectividad-andalucia","",{"@graph":37,"@context":87},[38,55,70],{"@type":39,"itemListElement":40},"BreadcrumbList",[41,45,49,52],{"item":42,"name":43,"@type":44,"position":21},"https://docshare.wps.com","Home","ListItem",{"item":46,"name":47,"@type":44,"position":48},"https://docshare.wps.com/es/document/","Document",2,{"item":50,"name":12,"@type":44,"position":51},"https://docshare.wps.com/es/document/examen/",3,{"item":53,"name":13,"@type":44,"position":54},"https://docshare.wps.com/es/document/topic-5-integrals-2003-mathematics-ii-solved-problems-selectividad-andalucia/72384/",4,{"url":53,"name":13,"@type":56,"author":57,"headline":13,"publisher":59,"fileFormat":62,"inLanguage":24,"description":14,"dateModified":63,"datePublished":64,"encodingFormat":62,"isAccessibleForFree":65,"interactionStatistic":66},"DigitalDocument",{"name":9,"@type":58},"Person",{"url":42,"name":60,"@type":61},"DocShare","Organization","application/pdf","2026-08-18","2026-07-14",true,{"@type":67,"interactionType":68,"userInteractionCount":20},"InteractionCounter",{"@type":69},"ViewAction",{"@type":71,"mainEntity":72},"FAQPage",[73,79,83],{"name":74,"@type":75,"acceptedAnswer":76},"¿Cómo se calcula la primitiva de f(x)=Ln(1−x^2) que pasa por (0,1)?","Question",{"text":77,"@type":78},"Se emplea integración por partes para obtener una expresión general de la primitiva y luego se impone la condición F(0)=1 para determinar la constante C. 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