[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"doc-detail-72360-es":3,"doc-seo-72360-110":31,"detail-sidebar-cat-0-es-110":85},{"code":4,"msg":5,"data":6},0,"success",{"doc_id":7,"user_id":8,"nickname":9,"user_avatar":10,"doc_module":4,"category_id":11,"category_name":12,"doc_title":13,"doc_description":14,"doc_content":15,"file_id":16,"file_url":17,"file_type":18,"file_size":19,"view_count":20,"is_deleted":4,"is_public":21,"is_downloadable":21,"audit_status":21,"page_count":22,"language":23,"language_code":24,"site_id":25,"html_lang":24,"table_of_contents":26,"faqs":27,"seo_title":28,"seo_description":14,"update_tm":29,"read_time":30},72360,1099523882367,"Hazel","https://ap-avatar.wpscdn.com/davatar_9964176cb1d06d4a9deccf72a44ae3dc",38,"Examen","TEMA 4: Funciones (Matemáticas II) - Andalucía 2007","Concentra problemas resueltos de Matemáticas II de Andalucía 2007 sobre el tema “Funciones”. Se abordan optimización con restricciones mediante derivadas, cálculo de máximos y mínimos, estudio de crecimiento/decrecimiento y extremos relativos. También se incluyen determinación de puntos de inflexión y construcción de rectas tangentes, además de análisis de asíntotas (verticales, horizontales) para funciones con exponenciales y logaritmos. Incluye varias opciones de Junio y Reservas con desarrollo algebraico completo.","PROBLEMAS RESUELTOSSELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2007  \nMATEMÁTICAS II  \nTEMA 4: FUNCIONES  \n􀁸 Junio, Ejercicio 1 , Opción A  \n􀁸 Junio, Ejercicio 1 , Opción B  \n􀁸 Reserva 1, Ejercicio 1 , Opción A  \n􀁸 Reserva 1 , Ejercicio 1 , Opción B  \n􀁸 Reserva 2, Ejercicio 1 , Opción A  \n􀁸 Reserva 2, Ejercicio 1 , Opción B  \n􀁸 Reserva 3, Ejercicio 1 , Opción A  \n􀁸 Reserva 3, Ejercicio 1 , Opción B  \n􀁸 Reserva 4, Ejercicio 1, Opción A  \n􀁸 Reserva 4, Ejercicio 1 , Opción B  \n􀁸 Septiembre, Ejercicio 1 , Opción A  \n􀁸 Septiembre, Ejercicio 1 , Opción B  \n[http://emestrada. wordpress.com](http://emestrada. wordpress.com)  \nDetermina dos números reales positivos sabiendo que su suma es 10 y que el producto de sus cuadrados es máximo.  \nMATEMÁTICAS II. 2007. JUNIO. EJERCICIO 1. OPCIÓN A  \nR E S O L U C I Ó N  \na) Función que queremos que sea máximo: Pmax = x 2 ⋅ y2 .  \nb) Relación entre las variables: x + y = 10 ⇒ y = 10 − x  \nc) Expresamos la función que queremos que sea máximo con una sola variable.  \nPmax = x2 ⋅ y 2 = x2 ⋅ (10 − x)2 = x2 ⋅ (100 + x2 − 20x) = x 4 − 20x3 + 100x2  \nd) Derivamos e igualamos a cero  \nP ' = 4x3 − 60x2 + 200x = 0 ⇒ x = 0 ; x = 5 ; x = 10  \ne) Calculamos la segunda derivada para ver que valor corresponde al máximo.  \nP '' = 12x2 −120x + 200  \nP ''(0) = 200 > 0 ⇒ mínimo  \nP ''(5) = − 100 \u003C 0 ⇒ Máximo  \nP ''(10) = 200 > 0 ⇒ Máximo  \nLuego, los números son: x = 5 ; y = 5  \nSea f : 􀀁 → 􀀁 la función definida por f ( x) = 2x3 + 12x2 + ax + b . Determina a y b sabiendo que la recta tangente a la gráfica de f en su punto de inflexión es la recta y = 2x + 3 .  \nMATEMÁTICAS II. 2007. JUNIO. EJERCICIO 1. OPCIÓN B  \nR E S O L U C I Ó N  \nCalculamos el punto de inflexión.  \nf '(x) = 6x2 + 24x + a  \nf ''(x) = 12x + 24 = 0 ⇒ x = − 2  \nComo la recta tangente pasa por el punto de inflexión⇒ y = 2 ⋅ (− 2) + 3 = − 1. Luego el punto deinflexión tiene de coordenadas: P.I.(− 2, −1) .  \n- f '(− 2) = 2 ⇒ 24 − 48 + a = 2 ⇒ a = 26  \n-La función pasa por (− 2, −1) ⇒ f (− 2) = − 1 ⇒ − 16 + 48 − 2a + b = − 1 ⇒ −2a + b = −33 ⇒ b = 19  \nSea f : (0, +∞) → 􀀁 la función definida por f ( x) = x 2 Ln( x) (Ln denota la función logaritmo neperiano).  \na) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan).  \nb) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x =  e . MATEMÁTICAS II. 2007. RESERVA 1. EJERCICIO 1.OPCIÓN A.  \nR E S O L U C I Ó N  \na) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero:  \nf '(x) = 2xLnx + ~~ ~~xx2~~ ~~ = x ⋅ (2Ln x + 1) = 0 ⇒ x = 0 ; x = e − ~~ ~~12  \n\n|  | 􀀆 −  1 􀀇􀀈 0, e 2 􀀉􀀊 􀀋 | 􀀆􀀈 e − ~~ ~~12 , ∞ 􀀇􀀉􀀊 􀀋 |\n| --- | --- | --- |\n| Signoy ' | ― | + |\n| Función | D | C |\n\n↓  \n􀀆 −  1  1 􀀇  \nm 􀀈 e 2 , − ~~ ~~ 􀀉  \n􀀊 2e 􀀋  \nb) La ecuación de la recta tangente en x =  e es: y − f (  e ) = f ' (  e )⋅ (x −  e )  \n- f (  e ) = ~~ ~~e2  \n- f ' (  e ) = 2  \nLuego, la recta tangente es: y − ~~ ~~e2 = 2 e ⋅ (x −  e )  \nTenemos que fabricar dos chapas cuadradas con dos materiales distintos. El precio de cada unode estos materiales es 2 y 3 euros por centímetro cuadrado, respectivamente. Por otra parte, lasuma de los perímetros de los dos cuadrados tiene que ser 1 metro. ¿Cómo hemos de elegir los lados de los cuadrados si queremos que el coste total sea mínimo?  \nMATEMÁTICAS II. 2007. RESERVA 1. EJERCICIO 1.OPCIÓN B.  \nR E S O L U C I Ó N  \nCuadrado 1  \nx 4  \nCuadrado 2  \ny 4  \nx 􀀁 x 􀀂 2 x 2  \nCuadrado 1: Lado ~~ ~~ ; perímetro x ; área = 􀀄  􀀅 = ~~ ~~  \n4 􀀆4 􀀇 16  \ny 􀀁 y 􀀂 2 y 2  \nCuadrado 2: Lado ~~ ~~ ; perímetro y ; área = 􀀄  􀀅 = ~~ ~~  \n4 􀀆 4 􀀇 16  \na) Función que queremos que sea máximo es: A = 2 ⋅ ~~ ~~x216~~ ~~ + 3⋅ ~~ ~~y126  \nb) Relación entre las variables: x + y = 100 ⇒ y = 100 − x  \nc) Expresamos la función que queremos que sea máximo con una sola variable. A = 2 ⋅ ~~ ~~x216~~ ~~ + 3⋅ ~~ ~~y216~~ ~~ = ~~ ~~2x2~~ ~~+~~ ~~3(11060~~ ~~−~~ ~~x)~~ ~~2~~ ~~ = ~~ ~~5x2~~ ~~−~~ ~~600x16~~ ~~+~~ ~~30000  \nd) Derivamos e igua","cbCaibBy757ybun4","https://ap.wps.com/l/cbCaibBy757ybun4","pdf",848437,6,1,13,"Spanish","es",110,"# TEMA 4: FUNCIONES\n## Junio, Ejercicio 1 (Opción A)\n## Junio, Ejercicio 1 (Opción B)\n## Reserva 1, Ejercicio 1 (Opción A)\n## Reserva 1, Ejercicio 1 (Opción B)\n## Reserva 2, Ejercicio 1 (Opción A)\n## Reserva 2, Ejercicio 1 (Opción B)","[{\"question\":\"Qué pasos se siguen para estudiar extremos y asíntotas de f(x) = x^2·e^{-x}?\",\"answer\":\"Se calcula f'(x) para hallar críticos y clasificar con el signo de la derivada o la segunda derivada. Para las asíntotas se analizan los límites cuando x→+∞ y x→−∞, identificando asíntotas horizontales/verticales y concluyendo si existe asíntota oblicua.\"}]","TEMA 4: Funciones (Matemáticas II) - Andalucía 2007 | PDF",1784036407,20,{"code":4,"msg":32,"data":33},"ok",{"site_id":25,"language":24,"slug":34,"title":13,"keywords":35,"description":14,"schema_data":36,"social_meta":80,"head_meta":82,"extra_data":84,"updated_unix":29},"topic-4-functions-mathematics-ii-andalusia-2007","",{"@graph":37,"@context":79},[38,55,70],{"@type":39,"itemListElement":40},"BreadcrumbList",[41,45,49,52],{"item":42,"name":43,"@type":44,"position":21},"https://docshare.wps.com","Home","ListItem",{"item":46,"name":47,"@type":44,"position":48},"https://docshare.wps.com/es/document/","Document",2,{"item":50,"name":12,"@type":44,"position":51},"https://docshare.wps.com/es/document/examen/",3,{"item":53,"name":13,"@type":44,"position":54},"https://docshare.wps.com/es/document/topic-4-functions-mathematics-ii-andalusia-2007/72360/",4,{"url":53,"name":13,"@type":56,"author":57,"headline":13,"publisher":59,"fileFormat":62,"inLanguage":24,"description":14,"dateModified":63,"datePublished":64,"encodingFormat":62,"isAccessibleForFree":65,"interactionStatistic":66},"DigitalDocument",{"name":9,"@type":58},"Person",{"url":42,"name":60,"@type":61},"DocShare","Organization","application/pdf","2026-08-16","2026-07-14",true,{"@type":67,"interactionType":68,"userInteractionCount":20},"InteractionCounter",{"@type":69},"ViewAction",{"@type":71,"mainEntity":72},"FAQPage",[73],{"name":74,"@type":75,"acceptedAnswer":76},"Qué pasos se siguen para estudiar extremos y asíntotas de f(x) = x^2·e^{-x}?","Question",{"text":77,"@type":78},"Se calcula f'(x) para hallar críticos y clasificar con el signo de la derivada o la segunda derivada. 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