[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"doc-detail-72332-es":3,"doc-seo-72332-110":31,"detail-sidebar-cat-0-es-110":85},{"code":4,"msg":5,"data":6},0,"success",{"doc_id":7,"user_id":8,"nickname":9,"user_avatar":10,"doc_module":4,"category_id":11,"category_name":12,"doc_title":13,"doc_description":14,"doc_content":15,"file_id":16,"file_url":17,"file_type":18,"file_size":19,"view_count":20,"is_deleted":4,"is_public":21,"is_downloadable":21,"audit_status":21,"page_count":22,"language":23,"language_code":24,"site_id":25,"html_lang":24,"table_of_contents":26,"faqs":27,"seo_title":28,"seo_description":14,"update_tm":29,"read_time":30},72332,1099523885074,"Ivy","https://ap-avatar.wpscdn.com/davatar_9964176cb1d06d4a9deccf72a44ae3dc",38,"Examen","Tema 3 Espacio Afín y Euclídeo 2003 Matemáticas II Selectividad Andalucía","Guía de problemas resueltos de Matemáticas II (Selectividad Andalucía 2003) centrada en el Tema 3: Espacio afín y Euclídeo. Incluye apartados sobre independencia lineal de vectores, determinación de parámetros para ortogonalidad mediante producto escalar y cálculo de puntos de mínima distancia entre rectas mediante condiciones de perpendicularidad. También aborda la obtención de puntos equidistantes de planos, relaciones entre rectas y planos (inclusión y ángulo) y construcciones de planos con restricciones geométricas. Se presentan resultados para varias convocatorias y opciones.","PROBLEMAS RESUELTOSSELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2003  \nMATEMÁTICAS II  \nTEMA 3 : ESPACIO AFÍN Y EUCLÍDEO  \n􀁸 Junio, Ejercicio 3 , Opción A  \n􀁸 Junio, Ejercicio 4, Opción A  \n􀁸 Junio, Ejercicio 4 , Opción B  \n􀁸 Reserva 1, Ejercicio 4, Opción A  \n􀁸 Reserva 2, Ejercicio 4 , Opción A  \n􀁸 Reserva 2, Ejercicio 4 , Opción B  \n􀁸 Reserva 3, Ejercicio 4, Opción A  \n􀁸 Reserva 3, Ejercicio 4, Opción B  \n􀁸 Reserva 4 , Ejercicio 4 , Opción A  \n􀁸 Reserva 4 , Ejercicio 4 , Opción B  \n􀁸 Septiembre, Ejercicio 4, Opción A  \n􀁸 Septiembre , Ejercicio 4 , Opción B  \n[http://emestrada. wordpress.com](http://emestrada. wordpress.com)  \n→ → →  \nConsidera los vectores u = (1,1,1), v = (2, 2, a) y w = (2, 0, 0) .  \n→ → →  \na) Halla los valores de a para los que los vectores u, v y w son linealmente independientes.  \n→ → → →  \nb) Determina los valores de a para los que los vectores u + v y u −− w son ortogonales. MATEMÁTICAS II. 2003. JUNIO. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.  \nR E S O L U C I Ó N  \na) El determinante formado por los tres vectores tiene que ser distinto de cero.  \n1 2  \n2  \n1 2  \n0  \n1  \na  \n0  \n= 2a − 4 = 0 ⇒ a = 2  \nLuego, son independientes para todos los valores de a ≠ 2.  \n→ → → →  \nb) Calculamos los vectores: u + v = (3,3,1 + a) y u − w = (−1,1,1) . Como son ortogonales, su producto escalar debe valer 0.  \n(3,3,1 + a) ⋅ (−1,1,1) = −3 + 3 + 1 + a = 0 ⇒ a = − 1  \n􀀂x = 1 + µ  \nSabiendo que las rectas: r ≡ x = y = z y s ≡ 􀀅􀀃􀀃 y = 3 + µ se cruzan, halla los puntos A y B, de r y s  \n􀀆􀀃􀀆􀀃 z = − µ  \nrespectivamente, que están a mínima distancia.  \nMATEMÁTICAS II. 2003. JUNIO. EJERCICIO 4. OPCIÓN A.  \nR E S O L U C I Ó N  \nEscribimos las ecuaciones de las dos rectas en forma paramétrica.  \n􀀂x = t 􀀂x = 1 + s  \n􀀃 􀀃  \nr ≡ 􀀅 y = t y s ≡ 􀀅 y = 3 + s  \n􀀆􀀃 z = t 􀀆􀀃 z = −s  \nCualquier punto de la recta r tendrá de coordenadas A = ( t , t , t ) y cualquier punto de la recta s tendrá de coordenadas B = (1+ s ,3+ s , −s)  \nEl vector →AB tendrá de coordenadas: →AB = (1+ s − t ,3+ s − t , − s − t)  \n→  \nComo el vector AB tiene que ser perpendicular a la recta r y s se debe cumplir que:  \n→ →  \nAB ⋅ u = 0 ⇒ 1 + s − t + 3 + s − t − s − t = 0  \n→AB⋅ →v = 0 ⇒ 1 + s − t + 3 + s − t + s + t = 0  \nResolviendo las dos ecuaciones, obtenemos que t = 1 ; s = − 1  \nLuego, los puntos A y B que están a mínima distancia tienen de coordenadas  \nA = (1,1,1) ; B = (0, 2,1)  \nDetermina el punto P de la recta r ≡ ~~ ~~x~~ ~~~~ ~~1 = ~~ ~~y~~ ~~~~ ~~1 = z3 que equidista de los planos  \n􀀉x = −−3 + λπ1 ≡ x + y + z + 3 = 0 y π2 ≡ 􀀆􀀆 y = −− λ+ µ  \n􀀇􀀆􀀆􀀇􀀆􀀇z = −− 6 −− µ MATEMÁTICAS II. 2003. JUNIO. EJERCICIO 4. OPCIÓN B.  \nR E S O L U C I Ó N  \nx + 3 1 0  \nLa ecuación general de π2 será:  y −1 1  = 0 ⇒ x + y + z + 9 = 0  \nz + 6 0 −1  \n􀀉x = 1 + 2t  \nx −1  y + 1  z  􀀆  \nSi escribimos la recta r en paramétricas: r ≡ = = ⇒ 􀀈 y = −1+ t entonces cualquier  \n2 1 3 􀀇􀀆 z = 3t ,  \npunto P de esa recta tendrá de coordenadas P(1 + 2t, −1+ t,3t) .  \nSe tiene que cumplir que distancia de P a π1 tiene que ser igual a la distancia de P a π2, luego:  \n1~~ ~~+~~ ~~2t~~ ~~−~~ ~~1~~ ~~+3t~~ ~~+~~ ~~3t~~ ~~+~~ ~~3 = ± ~~ ~~1~~ ~~+~~ ~~2t~~ ~~−~~ ~~1~~ ~~+3t~~ ~~+~~ ~~3t~~ ~~+~~ ~~9 6t + 3 =  6t + 9 ó 6t + 3 = −  6t + 9 ⇒ t = ―1  \n3 3 3 3  \nLuego, P(−1, −2, −3)  \n􀀅x − 3 y + z = 0  \nConsidera el plano π ≡ x − 2 y + 1 = 0 y la recta r ≡ 􀀈  \n􀀉x − y + az + 2 = 0  \na) Halla el valor de a sabiendo que la recta está contenida en el plano.  \n􀀅x − 3 y + z = 0  \nb) Calcula el ángulo formado por el plano π y la recta s ≡ 􀀈  \n􀀉x − y + z + 2 = 0  \nMATEMÁTICAS II. 2003. RESERVA 1. EJERCICIO 4. OPCIÓN A.  \nR E S O L U C I Ó N  \na) Si la recta está contenida en el plano, el rango de la matriz de los coeficientes del sistema formado por las ecuaciones de la recta y la ecuación del plano debe valer 2, luego:  \n1 −2 0  \n1 −3 1  \n1 −1 a  \n= 0 ⇒ −3a − 2 + 2a + 1 = 0 ⇒ a = − 1  \nb) Pasamos la recta a paramétricas  \n􀀅x = −3 − t  \n􀀅x − 3y + z = 0 􀀆  \ns ≡ 􀀈 ⇒ 􀀈 y = − 1  \n􀀉x − y + z + 2 = 0 􀀉􀀆 z = t  \nAplicamos la fórmula del ángulo de recta y p","cbCaimbAIj5eQWBi","https://ap.wps.com/l/cbCaimbAIj5eQWBi","pdf",834725,6,1,13,"Spanish","es",110,"# Problemas resueltos: Tema 3 (Espacio afín y Euclídeo)\n## Junio 2003\n## Septiembre 2003\n## Reservas 1-4 2003","[{\"question\":\"¿Cómo se hallan los puntos de mínima distancia entre dos rectas que se cruzan?\",\"answer\":\"Se parametrizan ambas rectas y se construye el vector AB entre puntos genéricos. Al imponer que AB sea perpendicular a cada dirección de las rectas (producto escalar nulo), se resuelven las incógnitas para obtener los puntos A y B.\"}]","Tema 3 Espacio Afín y Euclídeo 2003 Matemáticas II Selectividad Andalucía | PDF",1784036281,20,{"code":4,"msg":32,"data":33},"ok",{"site_id":25,"language":24,"slug":34,"title":13,"keywords":35,"description":14,"schema_data":36,"social_meta":80,"head_meta":82,"extra_data":84,"updated_unix":29},"topic-3-affine-and-euclidean-space-2003-mathematics-ii-andalusia-entrance-exam","",{"@graph":37,"@context":79},[38,55,70],{"@type":39,"itemListElement":40},"BreadcrumbList",[41,45,49,52],{"item":42,"name":43,"@type":44,"position":21},"https://docshare.wps.com","Home","ListItem",{"item":46,"name":47,"@type":44,"position":48},"https://docshare.wps.com/es/document/","Document",2,{"item":50,"name":12,"@type":44,"position":51},"https://docshare.wps.com/es/document/examen/",3,{"item":53,"name":13,"@type":44,"position":54},"https://docshare.wps.com/es/document/topic-3-affine-and-euclidean-space-2003-mathematics-ii-andalusia-entrance-exam/72332/",4,{"url":53,"name":13,"@type":56,"author":57,"headline":13,"publisher":59,"fileFormat":62,"inLanguage":24,"description":14,"dateModified":63,"datePublished":64,"encodingFormat":62,"isAccessibleForFree":65,"interactionStatistic":66},"DigitalDocument",{"name":9,"@type":58},"Person",{"url":42,"name":60,"@type":61},"DocShare","Organization","application/pdf","2026-07-30","2026-07-14",true,{"@type":67,"interactionType":68,"userInteractionCount":20},"InteractionCounter",{"@type":69},"ViewAction",{"@type":71,"mainEntity":72},"FAQPage",[73],{"name":74,"@type":75,"acceptedAnswer":76},"¿Cómo se hallan los puntos de mínima distancia entre dos rectas que se cruzan?","Question",{"text":77,"@type":78},"Se parametrizan ambas rectas y se construye el vector AB entre puntos genéricos. 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