[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"doc-detail-72364-es":3,"doc-seo-72364-110":31,"detail-sidebar-cat-0-es-110":93},{"code":4,"msg":5,"data":6},0,"success",{"doc_id":7,"user_id":8,"nickname":9,"user_avatar":10,"doc_module":4,"category_id":11,"category_name":12,"doc_title":13,"doc_description":14,"doc_content":15,"file_id":16,"file_url":17,"file_type":18,"file_size":19,"view_count":20,"is_deleted":4,"is_public":21,"is_downloadable":21,"audit_status":21,"page_count":22,"language":23,"language_code":24,"site_id":25,"html_lang":24,"table_of_contents":26,"faqs":27,"seo_title":28,"seo_description":14,"update_tm":29,"read_time":30},72364,1099523882367,"Hazel","https://ap-avatar.wpscdn.com/davatar_9964176cb1d06d4a9deccf72a44ae3dc",38,"Examen","TEMA 4 Funciones Matemáticas II Andalucía 2010","Problemas resueltos de Matemáticas II (Andalucía 2010) centrados en el tema de funciones. Incluye ejercicios con funciones racionales y el cálculo de parámetros para que una gráfica pase por un punto y tenga asíntota oblicua con pendiente dada. Se desarrollan también derivadas para hallar recta tangente, así como límites aplicando L’Hôpital. Otros apartados optimizan áreas y volúmenes mediante restricciones geométricas, y analizan crecimiento/decrecimiento y asíntotas verticales, horizontales y oblicuas; además, se estudian tangente y normal en funciones logarítmicas.","PROBLEMAS RESUELTOSSELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2010  \nMATEMÁTICAS II  \nTEMA 4: FUNCIONES  \n• Junio, Ejercicio 1, Opción A  \n• Junio, Ejercicio 1, Opción B  \n• Reserva 1, Ejercicio 1, Opción A  \n• Reserva 1, Ejercicio 1, Opción B  \n• Reserva 2, Ejercicio 1, Opción A  \n• Reserva 2, Ejercicio 1, Opción B  \n• Reserva 3, Ejercicio 1, Opción A  \n• Reserva 3, Ejercicio 1, Opción B  \n• Reserva 4, Ejercicio 1, Opción A  \n• Reserva 4, Ejercicio 1, Opción B  \n• Septiembre, Ejercicio 1, Opción A  \n• Septiembre, Ejercicio 1, Opción B  \n[http://emestrada.wordpress.com](http://emestrada.wordpress.com)  \nSea f la función definida como f ( x ) = axab para x ≠ a .  \na) Calcula a y b para que la gráfica def pase por el punto (2, 3) y tenga una asíntota oblicuacon pendiente − 4 .  \nb) Para el caso de a = 2 , b = 3 , obtén la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1  \nMATEMÁTICAS II. 2010. JUNIO. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.  \nR E S O L U C I Ó N  \na) Como f pasa por el punto (2,3) tenemos que f (2) = 3 ⇒ ~~ ~~4aa2b = 3 ⇒ a + b = − 6 . Como f tiene una asíntota oblicua con pendiente − 4 , tenemos que:  \n− 4 ⇒ lim  f (x) = − 4 ⇒ lim ~~ ~~ax~~ ~~2~~ ~~+~~ ~~b2 = ∞ = lim 2ax  = ∞ = lim  2a = − 4 ⇒ a = 4 x→∞ x x→∞ ax − x ∞ x→∞ a − 2x ∞ x→∞ −2  \nSustituyendo en la ecuación anterior, tenemos que:  \na + b = − 6 ⇒ 4 + b = − 6 ⇒ b = − 10  \nLuego, los valores son: a = 4 ; b = − 10  \nb) Si a = 2 ; b = 3 , la función es: f (x) = ~~ ~~2x23 . La ecuación de la recta tangente es:  \ny − f (1) = f '(1) ⋅ (x −1)  \nf (1) = ~~ ~~2231 = 5  \nf '(x) = ~~ ~~4x(2~~ ~~−~~ ~~x)~~(~~~~ ~~−(1~~)~~(2x~~ ~~2~~ ~~+~~ ~~3) = ~~ ~~−~~ ~~228x+~~ ~~3 ⇒ f '(1) = ~~ ~~−~~ ~~2~~ ~~+18~~ ~~+~~ ~~3 = 9 Sustituyendo, tenemos que:  \ny − f (1) = f '(1) ⋅ (x −1) ⇒ y − 5 = 9(x −1) ⇒ y = 9x − 4  \n[http://emestrada.wordpress.com](http://emestrada.wordpress.com)  \nx sen x  \nCalcula lim ~~ ~~e~~ ~~−~~ ~~e2~~ ~~  \nx→0 x  \nMATEMÁTICAS II. 2010. JUNIO. EJERCICIO 1. OPCIÓN B.  \nR E S O L U C I Ó N  \nComo 0 ~~ ~~ex~~ ~~e2~~ ~~sen~~ ~~x~~ ~~ = ~~ ~~00 , le aplicamos la regla de L’Hôpital  \n0 ~~ ~~ex~~ ~~e2~~ ~~sen~~ ~~x~~ ~~ = ~~ ~~00 = 0 ~~ ~~ex~~ ~~−~~ ~~cos2xx~~ ~~⋅~~ ~~e~~ ~~senx~~ ~~ = ~~ ~~00 = 0 ~~ ~~ex~~ ~~+~~ ~~sen~~ ~~x~~ ~~⋅~~ ~~e~~ ~~senx2~~ ~~−~~ ~~cos~~ ~~2~~ ~~x~~ ~~⋅~~ ~~e~~ ~~senx~~ ~~ = ~~ ~~02 = 0  \n[http://emestrada.wordpress.com](http://emestrada.wordpress.com)  \nLa hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 90 cm. Si se hace girar alrededor de uno de sus catetos, el triángulo engendra un cono. ¿Qué medidas han de tener los catetos del triángulo para que el volumen del cono engendrado sea máximo?. (Recuerda que el volumen del cono es V = 13 π r 2 h ) .  \nMATEMÁTICAS II. 2010. RESERVA 1. EJERCICIO 1. OPCIÓN A  \nR E S O L U C I Ó N  \na) Función que queremos que sea máximo: Vmax = ~~ ~~13 πr 2 h .  \nb) Relación entre las variables: r 2 + h 2 = 8100 ⇒ r 2 = 8100 − h 2  \nc) Expresamos la función que queremos que sea máximo con una sola variable.  \nV =  1 πr 2 h =  1 π(8100 − h 2 )h =  1 π(8100h − h 3 )  \nmax 3 3 3  \nd) Derivamos e igualamos a cero  \nV ' =  \n1  \n3  \nπ(8100 − 3h 2 ) = 0 ⇒ h =  \n8100  \n3  \n= 2700 = 30 3 cm  \ne) Calculamos la segunda derivada para ver que valor corresponde al máximo.  \nV '' =  \n1  \n3  \nπ(−6h) ⇒ V''(h = 30  \n3) =  \n1  \n3  \nπ(−180  \n3) \u003C 0 ⇒ Máximo  \nLuego, las dimensiones de los catetos son : h = 30 3 cm ; r = 30 6 cm  \n[http://emestrada.wordpress.com](http://emestrada.wordpress.com)  \n3  \nSea f la función definida como f ( x ) = ~~ ~~x~~ ~~x2−~~ ~~1 para x ≠ ± 1 .  \na) Estudia y halla las asíntotas a la gráfica def.  \nb) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento def.  \nc) Esboza la gráfica def.  \nMATEMÁTICAS II. 2010. RESERVA 1. EJERCICIO 1. OPCIÓN B  \nR E S O L U C I Ó N  \na) Asíntota vertical: x = 1 y x = − 1 .  \nAsíntota horizontal: lim~~ ~~x2~~ ~~3~~ ~~ = ∞ = lim  3x 2  = lim  3x = ∞ ⇒ No tiene.  \nx→∞ x −1 ∞ x→∞ 2x x→∞ 2  \nAsíntota oblicua: y = x  \n3  \nx  \nm = lim   x 2 −1 = lim~~ ~~x3~~ ~~3~~ ~~ = 1  \nx→∞ x x→∞","cbCainI4XxxFJiA0","https://ap.wps.com/l/cbCainI4XxxFJiA0","pdf",96047,6,1,13,"Spanish","es",110,"# Tema 4: Funciones\n## Junio, Ejercicio 1 (Opción A)\n## Junio, Ejercicio 1 (Opción B)\n## Reserva 1, Ejercicio 1 (Opción A)\n## Reserva 1, Ejercicio 1 (Opción B)\n## Reserva 2, Ejercicio 1 (Opción A)\n## Reserva 2, Ejercicio 1 (Opción B)","[{\"question\":\"Cómo se determinan los parámetros a y b para que una función pase por un punto y tenga una asíntota oblicua con pendiente −4?\",\"answer\":\"Se impone la condición de paso por el punto (2,3) usando f(2)=3, lo que relaciona a y b. Luego se usa la condición sobre la asíntota oblicua para fijar el valor de a y finalmente obtener b.\"},{\"question\":\"Si a=2 y b=3, ¿cómo se halla la recta tangente en x=1?\",\"answer\":\"Se calcula f(1) y la derivada f'(x), evaluándola en x=1 para obtener la pendiente. Con la fórmula de la recta tangente y−f(1)=f'(1)(x−1 se obtiene la ecuación final.\"},{\"question\":\"Qué procedimiento se sigue para optimizar el volumen del cono o el área de un triángulo usando una restricción geométrica?\",\"answer\":\"Se expresa el volumen o el área en función de una sola variable mediante la relación geométrica (por ejemplo r^2+h^2 o x^2+y^2). Después se deriva, se iguala a cero para hallar el candidato y se comprueba con la segunda derivada que corresponde a un máximo.\"}]","TEMA 4 Funciones Matemáticas II Andalucía 2010 | PDF",1784036420,20,{"code":4,"msg":32,"data":33},"ok",{"site_id":25,"language":24,"slug":34,"title":13,"keywords":35,"description":14,"schema_data":36,"social_meta":88,"head_meta":90,"extra_data":92,"updated_unix":29},"theme-4-functions-mathematics-ii-andalusia-2010","",{"@graph":37,"@context":87},[38,55,70],{"@type":39,"itemListElement":40},"BreadcrumbList",[41,45,49,52],{"item":42,"name":43,"@type":44,"position":21},"https://docshare.wps.com","Home","ListItem",{"item":46,"name":47,"@type":44,"position":48},"https://docshare.wps.com/es/document/","Document",2,{"item":50,"name":12,"@type":44,"position":51},"https://docshare.wps.com/es/document/examen/",3,{"item":53,"name":13,"@type":44,"position":54},"https://docshare.wps.com/es/document/theme-4-functions-mathematics-ii-andalusia-2010/72364/",4,{"url":53,"name":13,"@type":56,"author":57,"headline":13,"publisher":59,"fileFormat":62,"inLanguage":24,"description":14,"dateModified":63,"datePublished":64,"encodingFormat":62,"isAccessibleForFree":65,"interactionStatistic":66},"DigitalDocument",{"name":9,"@type":58},"Person",{"url":42,"name":60,"@type":61},"DocShare","Organization","application/pdf","2026-07-29","2026-07-14",true,{"@type":67,"interactionType":68,"userInteractionCount":20},"InteractionCounter",{"@type":69},"ViewAction",{"@type":71,"mainEntity":72},"FAQPage",[73,79,83],{"name":74,"@type":75,"acceptedAnswer":76},"Cómo se determinan los parámetros a y b para que una función pase por un punto y tenga una asíntota oblicua con pendiente −4?","Question",{"text":77,"@type":78},"Se impone la condición de paso por el punto (2,3) usando f(2)=3, lo que relaciona a y b. 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