[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"doc-detail-72387-es":3,"doc-seo-72387-110":31,"detail-sidebar-cat-0-es-110":92},{"code":4,"msg":5,"data":6},0,"success",{"doc_id":7,"user_id":8,"nickname":9,"user_avatar":10,"doc_module":4,"category_id":11,"category_name":12,"doc_title":13,"doc_description":14,"doc_content":15,"file_id":16,"file_url":17,"file_type":18,"file_size":19,"view_count":20,"is_deleted":4,"is_public":21,"is_downloadable":21,"audit_status":21,"page_count":22,"language":23,"language_code":24,"site_id":25,"html_lang":24,"table_of_contents":26,"faqs":27,"seo_title":28,"seo_description":14,"update_tm":29,"read_time":30},72387,1099523885336,"Violet","https://ap-avatar.wpscdn.com/davatar_276721f389ce27ea32af1340a28f341c",38,"Examen","Problemas Resueltos Selectividad Andalucía 2008 Matemáticas II Tema 5 Integrales","Conjunto de problemas resueltos de Selectividad de Andalucía 2008 de Matemáticas II, centrados en el tema de integrales. Incluye ejercicios de cálculo de integrales racionales mediante descomposición en fracciones simples, y problemas de funciones exponenciales y logarítmicas donde se determinan rectas tangentes, se justifican derivadas y se calcula el área de recintos delimitados por curvas, ejes y rectas. También aparecen tareas para hallar parámetros de polinomios a partir de condiciones de máximo, inflexión e integral definida, así como áreas entre gráficas mediante intersecciones.","PROBLEMAS RESUELTOSSELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2008  \nMATEMÁTICAS II  \nTEMA 5 : INTEGRALES  \n􀁸 Junio, Ejercicio 2 , Opción A  \n􀁸 Junio, Ejercicio 2 , Opción B  \n􀁸 Reserva 1, Ejercicio 1, Opción B  \n􀁸 Reserva 1, Ejercicio 2 , Opción A  \n􀁸 Reserva 1 , Ejercicio 2 , Opción B  \n􀁸 Reserva 2, Ejercicio 2 , Opción A  \n􀁸 Reserva 2, Ejercicio 2 , Opción B  \n􀁸 Reserva 3, Ejercicio 1, Opción B  \n􀁸 Reserva 3, Ejercicio 2 , Opción A  \n􀁸 Reserva 3, Ejercicio 2 , Opción B  \n􀁸 Reserva 4, Ejercicio 2 , Opción A  \n􀁸 Reserva 4, Ejercicio 2 , Opción B  \n􀁸 Septiembre, Ejercicio 2 , Opción A  \n􀁸 Septiembre, Ejercicio 2 , Opción B  \n[http://emestrada. wordpress.com](http://emestrada. wordpress.com)  \nCalcula ∫ 21 ~~ ~~(~~ ~~x~~ ~~2~~ ~~−~~ ~~dxx)(~~ ~~x~~ ~~−~~ ~~1)  \nMATEMÁTICAS II. 2008. JUNIO. EJERCICIO 2. OPCIÓN A  \nR E S O L U C I Ó N  \nLas raíces del denominador son: x = 0 ; x = 1 ; x = 1 Descomponemos en fracciones simples:  \n 1   A   B   C   A (x −1) 2 + Bx(x −1) + Cx  \n= + + =  \nx ⋅ (x −1) ⋅ (x −1) x x −1 (x −1) 2 x (x −1) 2  \nComo los denominadores son iguales, los numeradores también tienen que serlo. Para calcularA, B y Csustituimos los valores de las raíces en los dos numeradores  \nx = 0 ⇒ 1 = A  \nx = 1 ⇒ 1 = C  \nx = 2 ⇒ 1 = A + 2B + C ⇒ B = − 1  \nCon lo cual:  \n∫  \n−12 (x~~ ~~2~~ ~~−~~ ~~dxx)(x~~ ~~−1) = ∫  \n−1  \n− 2  \n1x dx +∫  \n−1  \n− 2  \nx1 dx +∫ −12 (x~~ ~~1)~~ ~~2~~ ~~ dx = 􀀆􀀊􀀈 ln x − ln(x −1) − ~~ ~~x~~ ~~~~ ~~1􀀇􀀋􀀉  \n−1  \n− 2  \n= ln  3 +  1 4 6  \nSea f : 􀀁 → 􀀁 la función dada por f ( x) = e −− 2 x  \na) Justifica que la recta de ecuación y = −− 2ex es la recta tangente a la gráfica de f en el punto de 1  \nabscisa x = −− 2 .  \nb) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica def, el eje de ordenadas y la recta tangente del apartado anterior.  \nMATEMÁTICAS II. 2008. JUNIO. EJERCICIO 2. OPCIÓN B  \nR E S O L U C I Ó N  \na) La recta tangente en x = − ~~ ~~12 es y − f 􀀃􀀇􀀉 − ~~ ~~12~~ ~~ 􀀄􀀊􀀈 = f ' 􀀃􀀉􀀇 − ~~ ~~12􀀄􀀊􀀈 ⋅ 􀀃􀀉􀀇 x + ~~ ~~12~~ ~~ 􀀄􀀊􀀈 f 􀀃􀀇􀀉 − ~~ ~~12~~ ~~ 􀀄􀀊􀀈 = e  \nf '(x) = − 2 e − 2 x ⇒ f ' 􀀉􀀃􀀇 − ~~ ~~12􀀄􀀊􀀈 = − 2e  \nSustituyendo en la ecuación, tenemos, y − e = − 2e ⋅ 􀀇􀀃􀀉x + ~~ ~~12􀀄􀀊􀀈 ⇒ y = − 2ex b) Hacemos el dibujo  \n∫ −  012 ( e − 2 x + 2ex) dx = 􀀎􀀒􀀐 − ~~ ~~e~~ ~~−22~~ ~~x~~ ~~ + ex 2 􀀏􀀓􀀑  \n0  \n−  1  \n􀀃 1 􀀄 􀀃 e e 􀀄 e 1 2 = 􀀉􀀇 −  2  􀀊􀀈 − 􀀇􀀉 −  2 +  4  􀀊􀀈 =  4 −  2 u  \n\n| Sea f : 􀀁 → 􀀁 la función definida por f (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d\u003Cbr>Se sabe que tiene un máximo local en x = 1 , que el punto (0,1) es un punto de inflexión de su |  |\n| --- | --- |\n| gráfica y que ∫ | 01 f (x) dx = ~~ ~~94 .Calcula a, b, c y d. |\n| MATEMÁTICAS II. 2008. RESERVA 1. EJERCICIO 1. OPCIÓN B. |  |\n\nR E S O L U C I Ó N  \nCalculamos la primera y segunda derivada de la función.  \nf '(x) = 3ax2 + 2bx + c ; f ''(x) = 6ax + 2b  \nVamos aplicando las condiciones del problema.  \n-Máximo en x = 1 ⇒ f '(1) = 0 ⇒ 3a + 2b + c = 0  \n􀀄Pasa por  \n-Punto de inflexión en (0,1) ⇒ 􀀅􀀆f ''(0) = 0  \n(0,1) ⇒ d = 1 ⇒ b = 0  \n-  \n∫  \n01 f (x) dx = ~~ ~~94 ⇒ ∫  \n1 (ax 3 − 3ax + 1) dx = 􀀇􀀊 ax 4 − 3ax 2  + x 􀀈􀀋 0 􀀌 4 2 􀀍  \n1  \n0  \n=  a −  3a + 1 =  9 4 2 4  \nResolviendo el sistema formado por estas ecuaciones sale: a = − 1 ; b = 0 ; c = 3 ; d = 1  \nDadas las funciones f : [0, + ∞) → 􀀁 y g : [0, + ∞) → 􀀁 definidas por  \nf ( x) =  x  y g( x) = 3 x  \ncalcula el área del recinto limitado por las gráficas def y g.  \nMATEMÁTICAS II. 2008. RESERVA 1. EJERCICIO 2.OPCIÓN A.  \nR E S O L U C I Ó N  \nCalculamos los puntos de corte de dichas funciones  \n  x = x ⇒ x 3 = x 2 ⇒ x2 (x −1) = 0 ⇒ x = 0 ; x = 1  \n􀀆 4   3 􀀇 A = ∫ 10 (  −  x  ) dx = 􀀈 x~~4~~3~~ ~~ − ~~ ~~x~~3~~2~~ ~~ 􀀉  \n􀀊 3 2 􀀋  \n1  \n=  3 −  2 =  1  u 2 4 3 12  \n0  \nSea g : (0, + ∞) → 􀀁 la función dada porg( x) = ln x (ln x denota logaritmo neperiano). a) Justifica que la recta de ecuación y = 1e x es la recta tangente a la gráfica de g en el punto de abscisa x = e .  \nb) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de g, el eje de abscisas y la recta tangentedel apartado anterior.  \nMATEMÁTICAS II. 2008. RESERVA 1. EJERC","cbCaigh0i7GdAAJu","https://ap.wps.com/l/cbCaigh0i7GdAAJu","pdf",932118,4,1,15,"Spanish","es",110,"# Tema 5: Integrales\n## Junio, Ejercicio 2\n## Reserva 1, Ejercicio 1\n## Reserva 1, Ejercicio 2\n## Reserva 2, Ejercicio 2\n## Reserva 3, Ejercicio 1\n## Reserva 3, Ejercicio 2\n## Reserva 4, Ejercicio 2","[{\"question\":\"¿Cómo se calcula una integral racional usando fracciones simples en el tema?\",\"answer\":\"Se factoriza el denominador, se plantea la descomposición en fracciones simples y se determinan los coeficientes igualando numeradores. Después se integran los términos obtenidos, normalmente generando logaritmos.\"},{\"question\":\"¿Cómo se justifica una recta tangente a una función exponencial o logarítmica?\",\"answer\":\"Se calcula la función derivada y se evalúa en el punto de tangencia. 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