[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"doc-detail-69457-es":3,"doc-seo-69457-110":31,"detail-sidebar-cat-0-es-110":93},{"code":4,"msg":5,"data":6},0,"success",{"doc_id":7,"user_id":8,"nickname":9,"user_avatar":10,"doc_module":4,"category_id":11,"category_name":12,"doc_title":13,"doc_description":14,"doc_content":15,"file_id":16,"file_url":17,"file_type":18,"file_size":19,"view_count":20,"is_deleted":4,"is_public":21,"is_downloadable":21,"audit_status":21,"page_count":22,"language":23,"language_code":24,"site_id":25,"html_lang":24,"table_of_contents":26,"faqs":27,"seo_title":28,"seo_description":14,"update_tm":29,"read_time":30},69457,687197100911,"Himbo","https://ap-avatar.wpscdn.com/avatar/a000239b6f1da00475?x-image-process=image/resize,m_fixed,w_180,h_180&k=1785132997149421697",38,"Examen","Examenes selectividad resueltos matematicas II Comunidad de Madrid 2008","Problemas resueltos de Matemáticas II de la Selectividad de la Comunidad de Madrid, correspondiente al modelo de 2008 (Opciones A y B). Incluye, entre otros, el estudio de funciones mediante asíntotas, extremos locales, crecimiento y concavidad, así como el cálculo de límites, operaciones con expresiones y discusión de sistemas lineales dependientes de un parámetro. También aborda geometría analítica en el espacio (puntos que dividen un segmento, planos perpendiculares) y distancia punto-plano, además de triángulos en el plano/espacio y matrices con transformaciones e igualdades algebraicas.","Problemas de Selectividad de Matem􀀓aticas II Comunidad de Madrid  \n(Resueltos)  \nIsaac Musat Herv􀀓as  \n22 de mayo de 2013  \nCap􀀓􀀐tulo 9 A~no 2008  \n9.1. Modelo 2008-Opci􀀓on A  \nProblema 9.1.1 (2 puntos) Se considera la funci􀀓on  \nxf (x) =  \nex  \na) (1 punto) Hallar sus as􀀓􀀐ntotas y sus extremos locales.  \nb) (1 punto) Calcular los puntos de in􀀍exi􀀓on de f (x) y dibujar la gr􀀓a􀀌cade f (x) .  \nSoluci􀀓on:  \na) As􀀓􀀐ntotas:  \n Verticales: No hay ya que el denominador no se anula nunca.  \n Horizontales:  \nl􀀓􀀐m  x = 0 =) y = 0  \nx􀀀! +1 ex x  \nx 􀀀l 1 ex = 􀀀1 =) No Hay  \n Oblicuas: No hay al haber horizontales  \nb) Representaci􀀓on gr􀀓a􀀌ca  \n0  1 􀀀 x  \nf (x) = = 0 =) x = 1  \nex  \n\n|  | ( 􀀀1 ; 1) | (1 ; 1 ) |\n| --- | --- | --- |\n| f0 (x) | + | 􀀀 |\n| f (x) | Creciente | Decreciente |\n\nLuego hay un m􀀓aximo en el punto (1; e􀀀1)  \n00  x 􀀀 2  \nf (x) = = 0 =) x = 2  \nex  \n|  | ( 􀀀1 ; 2) | (2 ; 1 ) |\n| --- | --- | --- |\n| f0 (x) | 􀀀 | + |\n| f (x) | Convexa | C􀀓oncava |\n\nProblema 9.1.2 (2 puntos) Calcular:  \na) (1 punto) n1 􀀒 21~~ ~~~~ ~~nn􀀓 1􀀀5n  \npn4 + 2n3 􀀀 3 􀀀pn4 􀀀 n  \nb) (1 punto) l􀀓􀀐m ~~ ~~  \nn􀀀! 1 n + 5  \nSoluci􀀓on:  \na)  \nn1 􀀒 21~~ ~~~~ ~~nn􀀓 1􀀀5n = [11] = e􀀕 = e􀀀5  \n􀀕 = n1 (1 􀀀 5n) 􀀁 􀀒 21~~ ~~~~ ~~nn 􀀀 1􀀓 = 􀀀5  \nb)      \npn4 + 2n3 􀀀 3 􀀀pn4 􀀀 nl􀀓􀀐m ~~ ~~ =  \n n􀀀! 1   n  + 5      \n( pn4 + 2n3 􀀀 3 􀀀pn4 􀀀 n)( pn4 + 2n3 􀀀 3 +pn4 􀀀 n) l􀀓􀀐m ~~     ~~ = n􀀀! 1 (n + 5)( pn4 + 2n3 􀀀 3 +pn4 􀀀 n)  \n2n3 + n 􀀀 3  \nl􀀓􀀐m ~~     ~~ = n􀀀! 1 (n + 5)( pn4 + 2n3 􀀀 3 +pn4 􀀀 n)  \n 2 + 1=n2 􀀀 3=n3  l􀀓􀀐m ~~ ~~ ~~ ~~ = 1  \nn􀀀! 1 (1 + 5=n)( p 1 + 2=n 􀀀 3=n4 +p 1 􀀀 1=n3 )  \nProblema 9.1.3 (3 puntos) Dado el sistema de ecuaciones:  \n8  \n>  \n\u003C  \n>  \n:  \nx+ y+ mz = m + 2  \n2x+ (m + 1)y+ (m + 1)z = 􀀀m (m + 2)x+ 3y+ (2m + 1)z = 3m + 4  \na) (2 punto) Discutirlo seg􀀓un los valores del par􀀓ametro real m.  \nb) (1 punto) Resolverlo cuando tenga in􀀌nitas soluciones.  \nSoluci􀀓on:  \na)  \n  0 1 1 m  m + 2 1 A = B 2 m + 1 m + 1  􀀀m C @ m + 2 3 2m+ 1  3m + 4 A  \njAj = 􀀀(m + 2)(m 􀀀 1)2 = 0 =) m = 1; m = 􀀀2  \nSi m  1 y m  􀀀2 =) jAj  0 =) Rango(A) =Rango(A) = 3 = node inc􀀓ognitas y el sistema es compatible determinado, es decir, tienesoluci􀀓on 􀀓unica.  \nSi m = 􀀀2:  \n  0 1 1 􀀀2  0 1 􀀌 1 1 􀀌  \nA = B@ 20 􀀀 13 􀀀13  􀀀 22 AC ; 􀀌 2 􀀀1 􀀌 = 􀀀3  0 =) Rango(A) = 2  \nComo F3 = 2F1 􀀀 F2 podemos decir que Rango(A) = 2 =Rango(A) \u003C no de inc􀀓ognitas y, por tanto, el sistema es Compatible Indeterminado.  \nSi m = 1:  \n  0 1 1 1  3 1  \nA = B 2 2 2  􀀀1 C  \n@ 3 3 3  7 A  \nA la vista de la matriz se ve que el Rango(A) = 1 al tener las tres 􀀌las iguales, pero Rango(A) = 2 Rango(A) =) Sistema Incompatible (No tiene Soluci􀀓on) .  \nb)  \n( 2xx yy􀀀 2zz  02 =) : xyz  +3 􀀕 Problema 9.1.4 (3 puntos) Sean los puntos A(1; 0 ; 2) y B(1; 1 ; 􀀀4) .  \na) (1 punto) Determinar las coordenadas de los puntos P y Q que divide al segmento AB en tres partes iguales.  \nb) (1 punto) Si P es el punto del apartado anterior m􀀓as pr􀀓oximo al punto A, determinar la ecuaci􀀓on del plano 􀀙 que contiene a P y es perpendicular a la recta AB.  \nc) (1 punto) Determinar la posici􀀓on relativa del plano 􀀙 y la recta  \nx 􀀀 3  y   z + 1 r : = =  \n􀀀2 1 1  \nSoluci􀀓on:  \n􀀀􀀀!  \na) AB = (1; 1 ; 􀀀4) 􀀀 (1 ; 0 ; 2) = (0 ; 1 ; 􀀀6) .  \nP = (1 ; 0 ; 2) + 13 (0 ; 1 ; 􀀀6) = 􀀒 1 ; 13 ; 0􀀓  \nQ = (1 ; 0 ; 2) + 23 (0 ; 1 ; 􀀀6) = 􀀒 1 ; 23 ; 􀀀2􀀓 b)  \n1  1  \n􀀙 : y 􀀀 6z + 􀀕 = 0 =) + 􀀕 = 0 =) 􀀕 = 􀀀  \n3 3  \nEl plano buscado ser􀀓a: 􀀙 : 3y 􀀀 18z 􀀀 1 = 0 c)  \n>8 x = 3 􀀀 2􀀕  \nr : \u003C y = 􀀕 =) 3􀀕 􀀀 18(􀀀1 + 􀀕) 􀀀 1 = 0 =) 􀀕 = 1175 :> z = 􀀀1 + 􀀕  \nLuego el plano y la recta se cortan en el punto:  \n􀀒 3 􀀀 2 ~~ ~~1715 ; 1715 ; 􀀀1 + 1715􀀓 = 􀀒 ~~ ~~1115 ; 1715 ; 215􀀓  \n9.2. Modelo 2008-Opci􀀓on B  \nProblema 9.2.1 (2 puntos) Hallar los puntos de la recta r : ( x 3 cuya distancia al plano 􀀙 : 3x + 4y = 4 es igual a 1  \n3 .  \nSoluci􀀓on:  \n􀀌  \n􀀌  \nu!􀀀r = 􀀌  \n􀀌  \n􀀌  \ni 2  \n1  \nj 0  \n􀀀1  \nk 1  \n1  \n􀀌 >8  \n􀀌 = (1 ; 􀀀1; 􀀀2); Pr(0; 􀀀3; 0) =) r : \u003C  \n􀀌 :>   \nx = 􀀕 y = 􀀀3 􀀀 􀀕 z = 􀀀2􀀕  \nP (􀀕; 􀀀3 􀀀 􀀕; 􀀀2􀀕); 􀀙 : 3x + 4y = 4  \nj 3􀀕 + 4(􀀀3 􀀀 􀀕) 􀀀 4j   1  5  5  \nd (P; 􀀙) = = =) j 􀀀 􀀕 􀀀 16j = =) j􀀕 + ","cbCaip8cMTE4CCi0","https://ap.wps.com/l/cbCaip8cMTE4CCi0","pdf",3469690,6,1,23,"Spanish","es",110,"# Modelo 2008 - Opción A\n## Problema 9.1.1\n## Problema 9.1.2\n## Problema 9.1.3\n## Problema 9.1.4\n# Modelo 2008 - Opción B\n## Problema 9.2.1\n## Problema 9.2.2","[{\"question\":\"Qué se pide en el Problema 9.1.1 sobre la función estudiada?\",\"answer\":\"Se piden las asíntotas y los extremos locales de la función, y luego los puntos de inflexión, además de la representación gráfica.\"},{\"question\":\"Cómo se discute el sistema de ecuaciones del 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