[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"doc-detail-69460-es":3,"doc-seo-69460-110":31,"detail-sidebar-cat-0-es-110":92},{"code":4,"msg":5,"data":6},0,"success",{"doc_id":7,"user_id":8,"nickname":9,"user_avatar":10,"doc_module":4,"category_id":11,"category_name":12,"doc_title":13,"doc_description":14,"doc_content":15,"file_id":16,"file_url":17,"file_type":18,"file_size":19,"view_count":20,"is_deleted":4,"is_public":21,"is_downloadable":21,"audit_status":21,"page_count":22,"language":23,"language_code":24,"site_id":25,"html_lang":24,"table_of_contents":26,"faqs":27,"seo_title":28,"seo_description":14,"update_tm":29,"read_time":30},69460,687197100911,"Himbo","https://ap-avatar.wpscdn.com/avatar/a000239b6f1da00475?x-image-process=image/resize,m_fixed,w_180,h_180&k=1785132997149421697",38,"Examen","Examenes Selectividad Resueltos Matemáticas II Comunidad de Madrid 2010","Recopilación de problemas de Matemáticas II de Selectividad (Comunidad de Madrid), modelo 2010, con desarrollo y resultados. Incluye el estudio de funciones con parámetros: extremos, crecimiento/decrecimiento y asíntotas horizontales, cálculo de áreas entre curvas y ejes, y resolución geométrica de rectas y sistemas en 3D. También aborda tangentes, puntos de intersección, distancias mínimas entre rectas y discusión de compatibilidad e indeterminación en función de parámetros.","Problemas de Selectividad de Matem􀀓aticas II Comunidad de Madrid  \n(Resueltos)  \nIsaac Musat Herv􀀓as  \n22 de mayo de 2013  \nCap􀀓􀀐tulo 11 A~no 2010  \n11.1. Modelo 2010-Opci􀀓on AProblema 11.1.1 (3 puntos) Dada la funci􀀓on:  \nf (x) = ex + a e􀀀x ;  \nsiendo a un n􀀓umero real, estudiar los siguientes apartados en funci􀀓on de a:  \na) (1,5 puntos) Hallar los extremos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f.  \nb) (1 punto) Estudiar para que valor , o valores, de a la funci􀀓on f tienealguna as􀀓􀀐ntota horizontal.  \nc) (0,5 puntos) Para a 􀀕 0, hallar el 􀀓area de la regi􀀓on acotada comprendida entre la gr􀀓a􀀌ca de f , el eje OX y las rectas x = 0, x = 2 .  \nSoluci􀀓on:  \na) f0 (x) = ex 􀀀 a e􀀀x = 0 =) x = ln2a  \n Si a > 0:  \n|  | ( 􀀀1 ; ln a=2) | (ln a; 1 ) |\n| --- | --- | --- |\n| f0 (x) | 􀀀 | + |\n| f (x) | Decreciente | Creciente |\n\nLa funci􀀓on es decreciente en el inetervalo ( 􀀀1 ; ln a=2) y crecienteen el (ln a=2; 1 ) .  \nLa funci􀀓on tiene un m􀀓􀀐nimo en el punto 􀀒 ln2a ; 2 pa􀀓  \n Si a 􀀔 0 =) ln a no existe, luego no hay extremos. Por otro ladof0 (x) > 0 ; 8x 2 R =) la funci􀀓on es siempre creciente.  \nx e2xe~~ ~~a = 􀀔 ~~ ~~11~~ ~~ 􀀕 = x 2e2exx = x 2ex = 1 En este caso no hay as􀀓􀀐ntotas horizontales sea cual sea el valor de a. Cuando x 􀀀! 􀀀1 :  \nx 􀀀l 1 e2xe~~ ~~a = 􀀔 ~~ ~~10~~ ~~ 􀀕 = x (e􀀀x +a ex ) = x 1~~ ~~+eaxe2x = 1 si a  0  \nEs decir, no hay as􀀓􀀐ntotas horizontales en este caso siempre que a  0.  \n1 + ae2x   1  \nSi a = 0 =) x ex = x ex = 0 . En este caso hay una as􀀓􀀐ntota horizontal en y = 0 .  \nb) Con a > 0:  \nS = Z02 (ex + a e􀀀x ) dx = ex 􀀀 a e􀀀x􀀃 20 = a(1 􀀀 e ( 􀀀 2)) + e2 􀀀 1 u2 Problema 11.1.2 (3 puntos) Se consideran las rectas:  \nr 􀀑  \n x   \n􀀀1  \n=  \ny 􀀀 1  z 􀀀 2  \n=  \n1 􀀀2  \ns 􀀑 x~~ ~~~~ ~~5 = y2 = z~~ ~~+2~~ ~~1  \na) (1,5 puntos) Determinar la ecuaci􀀓on de la recta t que corta a r y s, y que contiene al origen de coordenadas.  \nb) (1,5 puntos) Determinar la m􀀓􀀐nima distancia entre las rectas r y s.  \nSoluci􀀓on:  \nr : ( uP!􀀀rr (=0; (1􀀀; 12); 1 ; 􀀀2) s : ( uP!􀀀ss(=5; 0(6; ;1; ; 1 ; 1)  \na)  \n>8 u!􀀀r = (􀀀1; 1 ; 􀀀2) 􀀌 􀀀1 0 x 􀀌  \n􀀙 1 : \u003C !r = (0 ; 1 ; 2) =) 􀀌 1 1 y 􀀌 = 0 =) 4x + 2y 􀀀 z = 0 :> O(0; 0 ; 0) 􀀌 􀀀2 2 z 􀀌  \n>8 u!􀀀s = (3 ; 1 ; 1) 􀀌 3 5 x 􀀌  \n􀀙2 : \u003C !s = (5 ; 0 ; 􀀀1) =) 􀀌 1 0 y 􀀌 = 0 =) 􀀀 x + 8y 􀀀 5z = 0 :> O(0; 0 ; 0) 􀀌 1 􀀀1 z 􀀌  \nt : ( 4xx􀀀2yy+􀀀5zz = 0  \n= 0  \n􀀀􀀀!  \nb) PrPs = (5 ; 􀀀1; 􀀀3)  \n􀀌 􀀀1 1 􀀀2 􀀌  \nj [u!􀀀r ; u!􀀀s ; P!s] j = j 􀀌 6 2 2 􀀌 j = 64 =) se cruzan  \n􀀌 5 􀀀1 􀀀3 􀀌  \n􀀌 i j k 􀀌   ju!􀀀r 􀀂 u!􀀀s j = j 􀀌 􀀀1 1 􀀀2 􀀌 j = j(6; 􀀀10; 􀀀8)j = 2j(3; 􀀀5; 􀀀4)j = 10 p2  \n􀀌 6 2 2 􀀌  \nj [u!􀀀r ; u!􀀀s ; P!s] j  64  16 p2 d (r; s) = = ~~  ~~ = u  \nju!􀀀r 􀀂 u!􀀀s j 10 p 2 5  \nProblema 11.1.3 (2 puntos) Obtener, para todo n􀀓umero natural n, el valor  \nde: 11 11 !n + 􀀀 11 􀀀 11 !n  \nSoluci􀀓on:  \nSi n = 1  \n1 1  \n1 1 Si n = 2  \n2 2 2 2  \nSi n = 3  \n4 4 4 4  \nSi n = n  \n! +  \n! +  \n! +  \n2n􀀀1  \n2n􀀀1  \n2n􀀀1  \n2n􀀀1  \n! +  \n1  \n􀀀1  \n2  \n􀀀2  \n4  \n􀀀4  \n􀀀1  \n1  \n􀀀2  \n2  \n􀀀4  \n4  \n! =  \n! =  \n! =  \n2n􀀀1 􀀀2n􀀀1 􀀀2n􀀀1 2n􀀀1  \n2 0  \n4 0  \n8 0  \n! =  \n0 2  \n0 4  \n0 8  \n!  \n!  \n!  \n2n  \n0  \n0  \n2n  \n!  \nProblema 11.1.4 (2 puntos) Discutir razonadamente, en funci􀀓on del par􀀓ametrok, el siguiente sistema:  \nSoluci􀀓on:  \n  0  \nA = B  \n@  \n1 k  \n1  \nk 1  \n1  \n1 1  \nk  \n8  \n>  \n\u003C  \n>  \n:  \nx+  \nkx+  \nx+  \nk + 2  \nk 􀀀2(k + 1)  \nky+ z = k + 2  \ny+ z = k  \ny+ kz = 􀀀2(k + 1)  \n1  \nC jAj = 􀀀k3 + 3k 􀀀 2 = 0 =) k = 1 k = 􀀀2 A  \n Si k  1 y k  􀀀2 =) jAj  0 =) Rango(A) =Rango(A) = 3 =no de inc􀀓ognitas, luego en este caso el sistema ser􀀓a compatible determinado.  \n Si k = 1  \nA = 0B@ 111 111 111  􀀀 314 1AC =) ( RangoRango((AA))  32 =)  \nSistema es Incompatible.  \n Si k = 􀀀2  \n  0 1 􀀀2 A = B 􀀀2 1 @ 1 1  \nTenemos:  \nF3 = 􀀀(F1 + F2 ) =) ( Sistema Compatible Indeterminado.  \n1 1  \n􀀀2  \n0  \n􀀀2  \n2  \n1  \nC  \nA  \nRango(A) = 2  \n=) Rango(A) = 2  \n11.2. Modelo 2010-Opci􀀓on BProblema 11.2.1 (3 puntos) Dada la funci􀀓on:  \nf (x) = x3 􀀀 x  \nSe pide:  \na) (1 punto) Hallar la ecuaci􀀓on de la recta tangente a la gr􀀓a􀀌ca de f en el punto (􀀀1; f(􀀀1)) .  \nb) (1 punto) ","cbCair5GoE6b7Qp6","https://ap.wps.com/l/cbCair5GoE6b7Qp6","pdf",3471368,3,1,37,"Spanish","es",110,"# Modelo 2010 - Opción A\n## Problema 11.1.1\n## Problema 11.1.2\n## Problema 11.1.3\n## Problema 11.1.4\n# Modelo 2010 - Opción B\n## Problema 11.2.1\n## Problema 11.2.2\n## Problema 11.2.3","[{\"question\":\"¿Cómo se estudian los extremos relativos, el crecimiento y la decrecimiento de f(x)=e^x+a e^{-x}?\",\"answer\":\"Se deriva f'(x)=e^x-a e^{-x} y se iguala a cero para hallar el punto crítico x=ln(2/a) según el parámetro. 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