[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"doc-detail-69459-es":3,"doc-seo-69459-110":31,"detail-sidebar-cat-0-es-110":84},{"code":4,"msg":5,"data":6},0,"success",{"doc_id":7,"user_id":8,"nickname":9,"user_avatar":10,"doc_module":4,"category_id":11,"category_name":12,"doc_title":13,"doc_description":14,"doc_content":15,"file_id":16,"file_url":17,"file_type":18,"file_size":19,"view_count":20,"is_deleted":4,"is_public":21,"is_downloadable":21,"audit_status":21,"page_count":22,"language":23,"language_code":24,"site_id":25,"html_lang":24,"table_of_contents":26,"faqs":27,"seo_title":28,"seo_description":14,"update_tm":29,"read_time":30},69459,687197100911,"Himbo","https://ap-avatar.wpscdn.com/avatar/a000239b6f1da00475?x-image-process=image/resize,m_fixed,w_180,h_180&k=1785132997149421697",38,"Examen","Examenes selectividad resueltos matematicas II Madrid 2009","Conjunto de problemas de Matemáticas II de la Selectividad en la Comunidad de Madrid (año 2009), presentados con enunciado y resolución. Incluye ejercicios de geometría analítica en el espacio con plano y rectas (posición relativa, recta contenida y perpendicularidad), estudio de una función definida a trozos con continuidad, derivabilidad, extremos y dibujo de la gráfica, además de discusión y resolución de sistemas lineales dependientes de un parámetro. También se aborda el planteamiento y simplificación algebraica de una ecuación.","Problemas de Selectividad de Matem􀀓aticas II Comunidad de Madrid  \n(Resueltos)  \nIsaac Musat Herv􀀓as  \n22 de mayo de 2013  \nCap􀀓􀀐tulo 10 A~no 2009  \n10.1. Modelo 2009-Opci􀀓on A  \nProblema 10.1.1 (3 puntos) Dados el plano 􀀙 : x + 2y 􀀀 z = 2, la recta:  \nr : x~~ ~~~~ ~~3 =  \ny 􀀀 2  z 􀀀 5  \n=  \n1 4  \ny el punto P (􀀀2; 3 ; 2), perteneciente al plano 􀀙, se pide:  \na) (0,5 puntos) Determinar la posici􀀓on relativa de 􀀙 y r.  \nb) (1 punto) Calcular la ecuaci􀀓on de la recta t contenida en 􀀙, que pasa por el punto P y que corta perpendicularmente a r.  \nc) (1,5 puntos) Sea Q el punto intersecci􀀓on de r y t. Si s es la recta perpendicular al plano 􀀙 y que contiene a P , y R es un punto cualquiera de s, probar que la recta determinada por R y Q es perpendicular a r.  \nSoluci􀀓on:  \na) De dos formas difrentes:  \n8  \n>  \n La ecuaci􀀓on de la recta en param􀀓etricas es r : \u003C  \n>  \n:  \nsi sustituimos en el plano 􀀙 tenemos:  \nx = 3 + 2􀀕 y = 2 + 􀀕 , yz = 5 + 4􀀕  \n(3 + 2􀀕) + 2(2 + 􀀕) 􀀀 (5 + 4􀀕) = 2 =) 2 = 2  \nexpresi􀀓on que se cumple para cualquier punto de la recta independientemente del valor de 􀀕 y, por tanto, la recta r est􀀓a contenida en el plano 􀀙 .  \n Ponemos la recta r como intersecci􀀓on de dos planos:  \nx 􀀀 3  z 􀀀 5  \n= =) 2x 􀀀 z = 1  \n2 4  \nx 􀀀 3  y 􀀀 2  \n= =) x 􀀀 2y = 􀀀1  \n2 1  \nAhora estudiamos el sistema formado por estos dos planos y el plano 􀀙  \n>8 x+ 2y 􀀀 z = 2   0 1 2 􀀀1  2 1 \u003C x 􀀀 2y = 􀀀1 =) A = B 1 􀀀2 0  􀀀1 C:> 2x 􀀀 z = 1 @ 2 0 􀀀1  1 A  \n􀀌 1 2 􀀌 9 jAj = 0 y 􀀌 1 􀀀2 􀀌 = 􀀀4 =) Rango(A) = 2  =)  \n>>  \nF3 = F1 + F2 =) Rango(A) = 2 ;>   \nRango(A) =Rango(A) = 2 \u003C no de inc􀀓ognitas =) Sistema Compatible Indeterminado.  \nEl plano 􀀙 y la recta r tienen in􀀌nitos puntos comunes y, por tanto, la recta est􀀓a contenida en el plano.  \nb) Para que el enuciado tenga sentido es necesario que el punto P est􀀓e en el plano 􀀙, basta sustituir el punto en el plano para comprobarlo.  \nEl vector  de la recta t que buscamos tiene que ser perpendicular  \nal vector caracter􀀓􀀐stico del plano !􀀙 = (1 ; 2 ; 􀀀1) y al vector director u!􀀀r = (2 ; 1 ; 4) de la recta r. Luego:  \n􀀌􀀌  \n = !􀀙 􀀂 u!􀀀r = 􀀌􀀌􀀌  \ni 1  \n2  \nj 2  \n1  \nk  \n􀀀1  \n4  \n􀀌􀀌  \n􀀌  \n􀀌 = 3(3 ; 􀀀2; 􀀀1)􀀌  \n􀀌  \nt : ( P( 2(;33;; 2); 􀀀1) =) t : x~~ ~~+3~~ ~~2 = y~~ ~~3 = z~~ ~~􀀀􀀀12 Evidentemente esta recta tiene que estar contenida en el plano 􀀙 .  \nc) La situaci􀀓on geom􀀓etrica es la siguiente:  \nTenemos que encontrar una recta s perpendicular al plano 􀀙 y que pase por el punto P  \ns : (  \n!􀀙 = (1 ; 2 ; 􀀀1)  \nP (􀀀2; 3 ; 2)  \n8  \n>  \n=) s : \u003C:>   \nx = 􀀀2 + 􀀕 y = 3 + 2􀀕 z = 2 􀀀 􀀕  \nUn punto cualquiera R de la recta s es R (􀀀2 + 􀀕; 3 + 2􀀕; 2 􀀀 􀀕) .  \nAhora buscamos el punto de corte Q entre las rectas t y r  \n>8 x = 3 + 2􀀕 >8 x = 􀀀2 + 3􀀖 >8 3 + 2􀀕 = 􀀀2 + 3􀀖 r : \u003C y = 2 + 􀀕 ; t : \u003C y = 3 􀀀 2􀀖 =) \u003C 2 + 􀀕 = 3 􀀀 2􀀖 =)  \n:> z = 5 + 4􀀕 :> z = 2 􀀀 􀀖 :> 5 + 4􀀕 = 2 􀀀 􀀖  \n( 􀀕􀀖  1 =) Q(1; 1 ; 1)  \n􀀀􀀀!  \nS􀀓olo nos queda por comprobar que los vectores QR = (􀀀3 + 􀀕; 2 + 2􀀕; 1 􀀀 􀀕) y u!􀀀r = (2 ; 1 ; 4) son siempre perpendiculares. Para ello calculamos su producto escalar y debe de ser cero independientemente del valor del par􀀓ametro 􀀕  \n 􀀁 u!􀀀r = (􀀀3+􀀕; 2+2􀀕; 1􀀀􀀕)􀀁(2; 1 ; 4) = 􀀀6+2􀀕+2+2􀀕+4􀀀4􀀕 = 0  \nLuego la recta h que pasa por los puntos Q y R es siempre perpendicular a la recta r sea cual sea el punto R que tomemos de la rectas.  \nProblema 10.1.2 (3 puntos) Sea:  \n8  \n>>  \n>>  \nf (x) = \u003C>  \n>>  \n>  \n:  \n1 􀀀 x24  \n712 􀀐 1 􀀀 (x 􀀀 2)2 􀀑  \nsi x \u003C 32  \n3 si x 􀀕  \n2  \na) (1 punto) Estudiar la continuidad y la derivabilidad de f (x) .  \nb) (1 punto) Hallar los m􀀓aximos y m􀀓􀀐nimos locales de f (x)  \nc) (1 punto) Dibujar la gr􀀓a􀀌ca de f (x) .  \nSoluci􀀓on:  \na) (1 punto) Continuidad:  \nx 􀀀􀀓􀀐(2) 􀀀 f (x) = x 􀀀m(3=2) 1 􀀀 x24 ! = 716 x 􀀀􀀓􀀐(2)+ f (x) = x 􀀀􀀓􀀐(2)+ 712 􀀐 1 􀀀 (x 􀀀 2)2 􀀑 = 716  \nf 􀀒 32􀀓 = 716  \nLuego:  \nx 􀀀􀀓􀀐(2) 􀀀 f (x) = x 􀀀􀀓􀀐(2)+ f (x) = f 􀀒 32􀀓 = 716 =) f es continua en x = 32  \nDerivabilidad:  \n8 x 3  \n0 > 􀀀  2  si x \u003C 2 8 f0 􀀐 ~~3~~2 􀀀 􀀑 = 􀀀 ~~3~~4 f (x) =  􀀀7(x 􀀀 2)  3 =) \u003C: f0 􀀐 ~~3~~2+ 􀀑 = ~~7~~12  \n: 6 si x 􀀕 2  \nLuego","cbCainDWaHLRAzRX","https://ap.wps.com/l/cbCainDWaHLRAzRX","pdf",3470649,4,1,31,"Spanish","es",110,"# Capítulo 10 Año 2009\n## 10.1 Modelo 2009 Opción A\n## Problema 10.1.1\n## Problema 10.1.2\n## Problema 10.1.3\n## Problema 10.1.4","[{\"question\":\"En el Problema 10.1.3, cómo se discute el sistema según el parámetro k y cuándo tiene solución?\",\"answer\":\"Se analiza el rango de la matriz de coeficientes y el rango de la matriz ampliada en función de k. 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