[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"doc-detail-69458-es":3,"doc-seo-69458-110":31,"detail-sidebar-cat-0-es-110":84},{"code":4,"msg":5,"data":6},0,"success",{"doc_id":7,"user_id":8,"nickname":9,"user_avatar":10,"doc_module":4,"category_id":11,"category_name":12,"doc_title":13,"doc_description":14,"doc_content":15,"file_id":16,"file_url":17,"file_type":18,"file_size":19,"view_count":20,"is_deleted":4,"is_public":21,"is_downloadable":21,"audit_status":21,"page_count":22,"language":23,"language_code":24,"site_id":25,"html_lang":24,"table_of_contents":26,"faqs":27,"seo_title":28,"seo_description":14,"update_tm":29,"read_time":30},69458,687197100911,"Himbo","https://ap-avatar.wpscdn.com/avatar/a000239b6f1da00475?x-image-process=image/resize,m_fixed,w_180,h_180&k=1785132997149421697",38,"Examen","Exámenes Selectividad Resueltos Matemáticas II Comunidad de Madrid 2006","Recopilación de ejercicios resueltos de Matemáticas II de Selectividad (modelo 2006) para la Comunidad de Madrid, con desarrollo paso a paso de varios problemas de opción A y B. Incluye cálculo de proyecciones sobre planos, ecuaciones de rectas con condiciones geométricas, discusión y resolución de sistemas con parámetro, estudio de máximos y mínimos y cálculo de un parámetro para una integral, además de intersecciones y rectas tangentes, extremos en intervalos y aplicación de Rolle, planos paralelos y distancia entre entidades geométricas, y operaciones con matrices para potencias y expresiones algebraicas.","Problemas de Selectividad de Matem􀀓aticas II Comunidad de Madrid  \n(Resueltos)  \nIsaac Musat Herv􀀓as  \n22 de mayo de 2013  \nCap􀀓􀀐tulo 7 A~no 2006  \n7.1. Modelo 2006-Opci􀀓on A  \nProblema 7.1.1 (2 puntos) Un punto de luz situado en P (0; 1 ; 1) proyectala sombra de la recta:  \nx = y = 􀀀z  \nsobre el plano 􀀙 : x 􀀀 z = 0 .  \nCalcular las coordenadas del punto de esta proyecci􀀓on que pertenece al planoz = 1 .  \nSoluci􀀓on:  \nr : ( uP!􀀀rr (=0; (01; ;01); 􀀀1)  \nEl plano que contiene a P y a r ser􀀓a:  \n8  \n>  \n􀀙 1 : \u003C  \n>  \n:  \nu!􀀀r = (1 ; 1 ; 􀀀1)  \n􀀀􀀀!  \nPrP = (0 ; 1 ; 1)  \nPr(0; 0 ; 0)  \n􀀌  \n􀀌  \n􀀌  \n=) 􀀙 1 : 􀀌􀀌  \n􀀌  \n1 1  \n􀀀1  \n0 1  \n1  \nx y  \nz  \n􀀌􀀌  \n􀀌  \n􀀌 = 0 =) 􀀙 1 : 2x 􀀀 y + z = 0 􀀌  \n􀀌  \nLa proyecci􀀓on de r ser􀀓a la intersecci􀀓on de los planos 􀀙 1 y 􀀙:  \ns : (  \n2x 􀀀 y + z = 0 x 􀀀 z = 0  \n8  \n>  \n=) s : \u003C:>   \nx = 􀀕  \ny = 3􀀕  \nz = 􀀕  \nEl corte con el plano z = 1 ser􀀓a z = 􀀕 = 1 =) x = 1; y = 3 =) (1 ; 3 ; 1)  \nProblema 7.1.2 (2 puntos) Se consideran las rectas:  \nr : x1 =  \ny 􀀀 6  z 􀀀 5  \n=  \n1 2  \n8  \n>  \ns : \u003C  \n>  \n:  \nx = 3 + 􀀕 y = 􀀀4 + 3􀀕 z = 0  \nHallar la ecuaci􀀓on de la recta que contiene al punto P (2; 􀀀1; 1) y cuyo vector director es perpendicular a lo vectores directores de las dos rectas anteriores.  \nSoluci􀀓on:  \nr : ( uP!􀀀rr (=0; (61; ;51); 2) s : ( uP!􀀀ss(=3; 4; 3; 0; 0) )  \n􀀌􀀌  \n = u!􀀀r 􀀂 u!􀀀s = 􀀌􀀌􀀌  \ni 1  \n1  \nj 1  \n3  \nk 2  \n0  \nt : ( P(=2; 􀀀( 3; ;11) ; 1)  \n􀀌􀀌  \n􀀌  \n􀀌 = (􀀀6; 2 ; 2) = 2(􀀀3; 1 ; 1)􀀌  \n􀀌  \n8  \n>  \n=) t : \u003C:>   \nx = 2 􀀀 3􀀕 y = 􀀀1 + 􀀕 z = 1 + 􀀕  \nProblema 7.1.3 (3 puntos) Dado el sistema de ecuaciones:  \n8  \n>  \n\u003C  \n>  \n:  \n2x+ 3y 􀀀 z = k x+ 2y+ 3z = 2 kx+ ky 􀀀 4z = 􀀀1  \na) (2 punto) Discutirlo seg􀀓un los distintos valores de k.  \nb) (1 punto) Resolverlo cuando sea compatible indeterminado.  \nSoluci􀀓on:  \na)  \n  0 A = B @  \n2 1  \nk  \n3 2  \nk  \n􀀀1  \n3  \n􀀀4  \nk 2  \n􀀀1  \n1  \nC  \nA ;  \njAj = 4k 􀀀 4 = 0 =) k = 1  \nSi k  1 =) jAj  0 =) Rango(A) =Rango(A) = 3 = no de inc􀀓ognitas y el sistema es compatible determinado, es decir, tiene soluci􀀓on 􀀓unica.  \nSi k = 1:  \n  0 2 3 􀀀1  0 1 A = B 1 2 3  2 C @ 0 0 􀀀4  􀀀1 A  \nComo el menor 􀀌 2 3 􀀌 = 1  0 =) Rango(A) = 2 . Por otro lado se  \n􀀌 1 2 􀀌  \nobserva que la cuarta 􀀌la es la diferencia entre la primera y la segunda, luego el Rango(A) = 2, en conclusi􀀓on: Rango(A) =Rango(A) = 2 \u003C node inc􀀓ognitas y en este caso el sistema es compatible indeterminado, tiene in􀀌nitas soluciones.  \nb)  \n(  \n2x+ 3y 􀀀 x+ 2y+  \nz  \n3z  \n= 1  \n= 2  \n8  \n>  \n=) \u003C  \n>  \n:  \nx = 􀀀4 + 11􀀕 y = 3 􀀀 7􀀕 z = 􀀕  \nProblema 7.1.4 (3 puntos) Dada la funci􀀓on:  \n 􀀀4x   \nf (x) =  \n(1 + x2 )2  \na) (2 puntos) Hallar sus m􀀓aximos y m􀀓􀀐nimos locales y/o globales.  \nb) (1 punto) Determinar el valor del par􀀓ametro a > 0 para el cual es: Z0a f (x) dx = 􀀀1  \nSoluci􀀓on:  \na)  \nf0 (x) = 4((31)13) = 0 =) x = 􀀆 r ~~ ~~13 = 􀀆 ~~ ~~p33  \n\n|  | ( 􀀀1 ; 􀀀 p3~~3~~ ) | ( 􀀀 p3~~3~~ ; p3~~3~~ ) | ( ~~ ~~p3~~3~~ ; 1 ) |\n| --- | --- | --- | --- |\n| f0 (x) | + | 􀀀 | + |\n| f (x) | creciente | decreciente | creciente |\n\nLuego en el punto 􀀀 p33 ; 3~~ ~~p43 ! tenemos un M􀀓aximo y en el puntop33 ; 􀀀 3~~ ~~p43 ! tenemos un M􀀓􀀐nimo.  \nb)  \nZ0a (1~~ ~~4xx2)2 dx = 􀀀2 Z0a 2x(1 + x2 )􀀀2 dx = 􀀀2 ~~ ~~(1~~ ~~+x2􀀀1)􀀀1\\#a0 = 1~~ ~~x2 􀀕 a0 = 1~~ ~~a2 􀀀 2 = 􀀀1 =) a = 􀀆1; como a > 0 =) a = 1  \n7.2. Modelo 2006-Opci􀀓on BProblema 7.2.1 (2 puntos)  \na) (1 punto) Hallar el punto P en el que se cortan las gr􀀓a􀀌cas de las funciones:    \nf (x) = 2x g (x) = + px2 􀀀 3  \nb) (1 punto) Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes en el punto P acada una de las curvas anteriores y demostrar que son perpendiculares.  \nSoluci􀀓on:  \na)  \nf (x) = g(x) =) 2x = px2 􀀀 3 =) x = 􀀆2 La soluci􀀓on negativa no vale, luego x = 2 es el 􀀓unico punto com􀀓un.  \nb) Tangente a f (x):  \n 2   1  1 f0 (x) = 􀀀 x2 =) m = f0 (2) = 􀀀 2 ; y f (2) = 1 =) y􀀀1 = 􀀀 2 (x􀀀2) Tangente a g(x):  \n0 x 0 0  \ng (x) = ~~  ~~ =) m = g (2) = 􀀀2; y g(2) = 1 =) y􀀀1 = 2(x􀀀2) px2 􀀀 3  \n 1   \nComo m = 􀀀 =) las dos rectas son perpendiculares.  \nm0  \nProblema 7.2.2 (2 puntos) Se considera la funci􀀓on: ","cbCaij1ypa2kndLX","https://ap.wps.com/l/cbCaij1ypa2kndLX","pdf",3469690,3,1,23,"Spanish","es",110,"# Capítulo 7.1 Modelo 2006 Opción A\n## Problema 7.1.1\n## Problema 7.1.2\n## Problema 7.1.3\n## Problema 7.1.4\n# Capítulo 7.2 Modelo 2006 Opción B\n## Problema 7.2.1\n## Problema 7.2.2\n## Problema 7.2.3\n## Problema 7.2.4","[{\"question\":\"¿Cómo se discute un sistema con parámetro en el Problema 7.1.3 y qué significa compatibilidad indeterminada?\",\"answer\":\"Se analiza el rango de la matriz de coeficientes para cada valor de k y se compara con el rango de la matriz ampliada. Cuando el sistema resulta compatible e indeterminado, el número de incógnitas libres es mayor que cero y aparecen infinitas soluciones.\"}]","Exámenes Selectividad Resueltos Matemáticas II Comunidad de Madrid 2006 | PDF",1784014257,35,{"code":4,"msg":32,"data":33},"ok",{"site_id":25,"language":24,"slug":34,"title":13,"keywords":35,"description":14,"schema_data":36,"social_meta":79,"head_meta":81,"extra_data":83,"updated_unix":29},"selectividad-exams-solved-mathematics-ii-comunidad-de-madrid-2006","",{"@graph":37,"@context":78},[38,54,69],{"@type":39,"itemListElement":40},"BreadcrumbList",[41,45,49,51],{"item":42,"name":43,"@type":44,"position":21},"https://docshare.wps.com","Home","ListItem",{"item":46,"name":47,"@type":44,"position":48},"https://docshare.wps.com/es/document/","Document",2,{"item":50,"name":12,"@type":44,"position":20},"https://docshare.wps.com/es/document/examen/",{"item":52,"name":13,"@type":44,"position":53},"https://docshare.wps.com/es/document/selectividad-exams-solved-mathematics-ii-comunidad-de-madrid-2006/69458/",4,{"url":52,"name":13,"@type":55,"author":56,"headline":13,"publisher":58,"fileFormat":61,"inLanguage":24,"description":14,"dateModified":62,"datePublished":63,"encodingFormat":61,"isAccessibleForFree":64,"interactionStatistic":65},"DigitalDocument",{"name":9,"@type":57},"Person",{"url":42,"name":59,"@type":60},"DocShare","Organization","application/pdf","2026-07-30","2026-07-14",true,{"@type":66,"interactionType":67,"userInteractionCount":20},"InteractionCounter",{"@type":68},"ViewAction",{"@type":70,"mainEntity":71},"FAQPage",[72],{"name":73,"@type":74,"acceptedAnswer":75},"¿Cómo se discute un sistema con parámetro en el Problema 7.1.3 y qué significa compatibilidad indeterminada?","Question",{"text":76,"@type":77},"Se analiza el rango de la matriz de coeficientes para cada valor de k y se compara con el rango de la matriz ampliada. 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