[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"doc-detail-69452-es":3,"doc-seo-69452-110":31,"detail-sidebar-cat-0-es-110":93},{"code":4,"msg":5,"data":6},0,"success",{"doc_id":7,"user_id":8,"nickname":9,"user_avatar":10,"doc_module":4,"category_id":11,"category_name":12,"doc_title":13,"doc_description":14,"doc_content":15,"file_id":16,"file_url":17,"file_type":18,"file_size":19,"view_count":20,"is_deleted":4,"is_public":21,"is_downloadable":21,"audit_status":21,"page_count":22,"language":23,"language_code":24,"site_id":25,"html_lang":24,"table_of_contents":26,"faqs":27,"seo_title":28,"seo_description":14,"update_tm":29,"read_time":30},69452,687197100911,"Himbo","https://ap-avatar.wpscdn.com/avatar/a000239b6f1da00475?x-image-process=image/resize,m_fixed,w_180,h_180&k=1785132997149421697",38,"Examen","Exámenes Selectividad Resueltos Matemáticas II Comunidad de Madrid 2003","Recopilación de ejercicios resueltos de Matemáticas II de la prueba de Selectividad de la Comunidad de Madrid (año 2003), con dos modelos: Opción A y Opción B. Incluye el planteamiento y desarrollo de problemas sobre funciones (derivadas, tangentes horizontales y verticales, integrales), matrices (inversibilidad, combinaciones lineales, sistemas lineales) y geometría analítica y vectorial (simetrías respecto a planos y rectas, volumen de tetraedros, distancias, rectas perpendiculares a planos).","Problemas de Selectividad de Matem􀀓aticas II Comunidad de Madrid  \n(Resueltos)  \nIsaac Musat Herv􀀓as  \n22 de mayo de 2013  \nCap􀀓􀀐tulo 4 A~no 2003  \n4.1. Modelo 2003-Opci􀀓on A  \nProblema 4.1.1 (2 puntos) Determinar los valores de las constantes A, B , C y D para los cuales la gr􀀓a􀀌ca de la funci􀀓on real de variable real  \nf (x) = Asinx + Bx2 + Cx + D  \ntiene tangente horizontal en el punto (0 ; 4) y adem􀀓as su derivada segunda es f00 (x) = 3 sin x 􀀀 10  \nSoluci􀀓on:  \nf(0) = 4 =) D = 4  \nf0 (x) = Acos x + 2Bx + C como f0 (0) = 0 =) A + C = 0 f00 (x) = 􀀀Asinx + 2B =) A = 􀀀3; B = 􀀀5  \nLuego A = 􀀀3, B = 􀀀5, C = 3 y D = 4:  \nf (x) = 􀀀3 sin x 􀀀 5x2 + 3x + 4  \nProblema 4.1.2 (2 puntos) Calcular la siguiente integral inde􀀌nida:  \nZ x2~~ ~~+5x dx  \nSoluci􀀓on:  \nx2 + 4 5x 􀀀 2  \n~~ ~~ = 1 + ~~  ~~x2 􀀀 5x + 6 x2 􀀀 5x + 6  \n 5x 􀀀 2   A   B   A (x 􀀀 2) + B(x 􀀀 3)= + =  \nx2 􀀀 5x + 6 x 􀀀 3 x 􀀀 2 x2 􀀀 5x + 6  \n5x 􀀀 2 = A(x 􀀀 2) + B(x 􀀀 3)  \nSi x = 2 =) 8 = 􀀀B =) B = 􀀀8  \nSi x = 3 =) 13 = A =) B = 13 . Luego:  \nx2 + 4 13 8  \n~~ ~~ = 1 + ~~ ~~ 􀀀 ~~ ~~  \nx2 􀀀 5x + 6 x 􀀀 3 x 􀀀 2  \nZ x2~~ ~~+5x dx = Z dx + 13 Z x~~ ~~~~ ~~3 dx 􀀀 8 Z x~~ ~~~~ ~~2 dx =  \njx 􀀀 3j 13  \nx + 13 ln jx 􀀀 3j 􀀀 8 ln jx 􀀀 2j = x + ln ~~ ~~  \njx 􀀀 2j 8  \nProblema 4.1.3 (3 puntos) Sea M una matriz cuadrada de orden n queveri􀀌ca la identidad M 2 􀀀 2M = 3I, donde I denota la matriz identidad de orden n. Se pide:  \na) (1 punto) Estudiar si existe la matriz inversa de M. En caso a􀀌rmativo, expresar M 􀀀1 en t􀀓erminos de M e I.  \nb) (1 punto) Expresar M3 como combinaci􀀓on lineal de M e I.  \na  \nc) (1 punto) Hallar todas las matrices de la forma M =  \nb  \nveri􀀌can la identidad del enunciado.  \nSoluci􀀓on:  \nb a  \n! que  \na)  \nM 2 􀀀 2M = 3I =) (M 􀀀 2)M = 3I =) 13(M 􀀀 2)M = I =)  \nM 􀀀1 = 13 (M 􀀀 2)  \nb)  \nM 2 = 2M + 3I =) M3 = (2M + 3I)M = 2M2 + 3M = 2M2 + 3M = 2(2M + 3I) + 3M = 7M + 6I  \nc)  \nM 2 = ab  \n3I + 2M =  \nb a  \n3 0  \n! a b !  \nb a  \n=  \na2 + b2 2ab  \n2aba2 + b2  \n!  \n0 3  \n! +  \n2a  \n2b  \n2b  \n2a  \n!  \n3 + 2a 2b  \n2b  \n3 + 2a  \n!  \na2 + b2 2ab  \n2aba2 + b2  \n!  \n=  \n3 + 2a 2b  \n2b  \n3 + 2a  \n!  \n(  \na2 + b2 = 3 + 2a 2ab = 2b  \n8  \n>  \n=) \u003C  \n>  \n:  \na = 1; b = 􀀆2 b = 0; a = 􀀆1  \nb = 0; a = 3  \nLas matrices ser􀀓􀀐an:  \n1 2  \n2 1  \n!  \n1 􀀀2; 􀀀2 1  \n! ; 10 01 ! ; 􀀀 10 􀀀 01 ! ; 30 03 !  \nProblema 4.1.4 (3 puntos) Se consideran el plano 􀀙 y la recta r siguientes:  \n􀀙 : x + y 􀀀 2z = 6; r : x~~ ~~~~ ~~1 = y3 = z~~ ~~1 Se pide:  \na) (1,5 punto) Hallar el punto sim􀀓etrico de M (1; 1 ; 1) respecto del plano 􀀙 .  \nb) (1,5 punto) Hallar el punto sim􀀓etrico de M (1; 1 ; 1) respecto de la rectar.  \nSoluci􀀓on:  \na) Calculamos una recta perpendicular a 􀀙 que pase por el punto M (1; 1 ; 1):  \n8  \n>  \n\u003C  \n>  \n:  \nx = 1 + 􀀕 y = 1 + 􀀕 z = 1 􀀀 2􀀕  \nCalculamos el punto de corte de esta recta con el plano 􀀙:  \n(1 + 􀀕 + (1 + 􀀕) 􀀀 2(1 􀀀 2􀀕) = 6 =) 􀀕 = 1 M0 (2 ; 2 ; 􀀀1)  \nEste punto es el punto medio entre M y el sim􀀓etrico M00 :  \n0 M00 + M 00 0  \nM =  2  =) M = 2M 􀀀M = (4 ; 4 ; 􀀀2)􀀀(1; 1 ; 1) = (3 ; 3 ; 􀀀3)  \nb) Calculamos un plano perpendicular a 􀀙 que contenga al punto M:  \n2x + 3y 􀀀 z + 􀀕 = 0 =) 2 + 3 􀀀 1 + 􀀕 = 0 =) 􀀕 = 􀀀4  \n2x + 3y 􀀀 z 􀀀 4 = 0  \nCalculamos el punto de corte de este plano y la recta, para ello ponemosla ecuaci􀀓on param􀀓etrica de la recta  \n>8 x = 1 + 2􀀕  \n\u003C y = 3􀀕  \n:> z = 􀀀1 􀀀 􀀕  \n 1   \n2(1 + 2􀀕) + 3(3􀀕) 􀀀 (􀀀1 􀀀 􀀕) 􀀀 4 = 0 =) 􀀕 =  \n14  \nM0 􀀒 87 ; 314 ; 􀀀 ~~ ~~1514􀀓  \nEste punto es el punto medio entre M y el sim􀀓etrico M00 :  \nM0 = M00~~ ~~~~ ~~M =) M00 = 2M0 􀀀 M = 2 􀀒 87 ; 314 ; 􀀀 ~~ ~~1514􀀓 􀀀 (1 ; 1 ; 1) =  \n􀀒 97 ; 􀀀 47 ; 􀀀 227 􀀓  \n4.2. Modelo 2003-Opci􀀓on B  \nProblema 4.2.1 (3 puntos) Hallar todas las matrices X tales que XA = AX, siendo A la matriz  \nA =  \nSoluci􀀓on:  \n1 0  \n1 1  \n!  \na c  \nb d  \n!  \n10 11 ! = 10 11 !  \na c  \nb d  \na a + b  \nc c + d  \n!  \n=  \na + c  \nc  \nb + d  \nd  \n!  \n8  \n>  \n\u003C  \n>  \n:  \na = a + c =) c = 0 c + d = d =) c = 0 a + b = b + d =) a = d  \nLa matriz buscada es de la forma  \na 0  \nb a  \n!  \n!  \nProblema 4.2.2 (2 puntos) Para cada valor del par􀀓ametro","cbCaigSzMHejbBf3","https://ap.wps.com/l/cbCaigSzMHejbBf3","pdf",3469929,7,1,25,"Spanish","es",110,"# Modelo 2003 - Opción A\n## Problema 4.1.1\n## Problema 4.1.2\n## Problema 4.1.3\n## Problema 4.1.4\n# Modelo 2003 - Opción B\n## Problema 4.2.1\n## Problema 4.2.2\n## Problema 4.2.3\n## Problema 4.2.4","[{\"question\":\"Qué determina el problema 4.1.1 sobre la función f(x)?\",\"answer\":\"Determina las constantes A, B, C y D para que la gráfica tenga tangente horizontal en (0;4) y para que la derivada segunda cumpla la expresión dada.\"},{\"question\":\"Cómo se estudia el sistema lineal del problema 4.2.2 según el parámetro k?\",\"answer\":\"Se calcula el determinante y el rango de la matriz de coeficientes para identificar valores de k donde el sistema es compatible determinado, incompatible o con solución única (cuando procede).\"},{\"question\":\"Qué se pide en el problema 4.2.3 respecto a los puntos A, B, C y D?\",\"answer\":\"Se solicita el volumen del tetraedro ABCD, la distancia del punto D al plano ABC y las ecuaciones cartesianas de la recta que pasa por D y es perpendicular al plano ABC.\"}]","Exámenes Selectividad Resueltos Matemáticas II Comunidad de Madrid 2003 | PDF",1784014227,39,{"code":4,"msg":32,"data":33},"ok",{"site_id":25,"language":24,"slug":34,"title":13,"keywords":35,"description":14,"schema_data":36,"social_meta":88,"head_meta":90,"extra_data":92,"updated_unix":29},"selectividad-exams-resolved-mathematics-ii-madrid-2003","",{"@graph":37,"@context":87},[38,55,70],{"@type":39,"itemListElement":40},"BreadcrumbList",[41,45,49,52],{"item":42,"name":43,"@type":44,"position":21},"https://docshare.wps.com","Home","ListItem",{"item":46,"name":47,"@type":44,"position":48},"https://docshare.wps.com/es/document/","Document",2,{"item":50,"name":12,"@type":44,"position":51},"https://docshare.wps.com/es/document/examen/",3,{"item":53,"name":13,"@type":44,"position":54},"https://docshare.wps.com/es/document/selectividad-exams-resolved-mathematics-ii-madrid-2003/69452/",4,{"url":53,"name":13,"@type":56,"author":57,"headline":13,"publisher":59,"fileFormat":62,"inLanguage":24,"description":14,"dateModified":63,"datePublished":64,"encodingFormat":62,"isAccessibleForFree":65,"interactionStatistic":66},"DigitalDocument",{"name":9,"@type":58},"Person",{"url":42,"name":60,"@type":61},"DocShare","Organization","application/pdf","2026-08-09","2026-07-14",true,{"@type":67,"interactionType":68,"userInteractionCount":20},"InteractionCounter",{"@type":69},"ViewAction",{"@type":71,"mainEntity":72},"FAQPage",[73,79,83],{"name":74,"@type":75,"acceptedAnswer":76},"Qué 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