[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"doc-detail-72339-es":3,"doc-seo-72339-110":31,"detail-sidebar-cat-0-es-110":96},{"code":4,"msg":5,"data":6},0,"success",{"doc_id":7,"user_id":8,"nickname":9,"user_avatar":10,"doc_module":4,"category_id":11,"category_name":12,"doc_title":13,"doc_description":14,"doc_content":15,"file_id":16,"file_url":17,"file_type":18,"file_size":19,"view_count":20,"is_deleted":4,"is_public":21,"is_downloadable":21,"audit_status":21,"page_count":22,"language":23,"language_code":24,"site_id":25,"html_lang":24,"table_of_contents":26,"faqs":27,"seo_title":28,"seo_description":14,"update_tm":29,"read_time":30},72339,1099523885074,"Ivy","https://ap-avatar.wpscdn.com/davatar_9964176cb1d06d4a9deccf72a44ae3dc",38,"Examen","Selectividad Andalucía 2010 Matemáticas II Tema 3: Espacio Afín y Euclídeo Ejercicios Resueltos","Conjunto de problemas resueltos de Matemáticas II de Selectividad Andalucía 2010, centrados en el Tema 3 “Espacio afín y euclídeo”. Incluye soluciones para rectas y planos: cálculo del punto de corte, ángulo entre rectas mediante productos escalares y vectores directores, ecuaciones de planos que contienen rectas, y planos formados por puntos que cumplen condiciones geométricas. También aborda triángulos con verificación de perpendicularidad y cálculo de áreas mediante productos vectoriales y módulos.","PROBLEMAS RESUELTOSSELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2010  \nMATEMÁTICAS II  \nTEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO  \n• Junio, Ejercicio 4, Opción A  \n• Junio, Ejercicio 4, Opción B  \n• Reserva 1, Ejercicio 4, Opción A  \n• Reserva 1, Ejercicio 4, Opción B  \n• Reserva 2, Ejercicio 4, Opción A  \n• Reserva 2, Ejercicio 4, Opción B  \n• Reserva 3, Ejercicio 4, Opción A  \n• Reserva 3, Ejercicio 4, Opción B  \n• Reserva 4, Ejercicio 4, Opción A  \n• Reserva 4, Ejercicio 3, Opción B  \n• Septiembre, Ejercicio 4, Opción A  \n• Septiembre, Ejercicio 4, Opción B  \n[http://emestrada.wordpress.com](http://emestrada.wordpress.com)  \nConsidera las rectas r y s de ecuaciones:⎧ x − 2y = − 1  \nx − 1 = y = 1 − z y ⎨⎩ y + z = 1  \na) Determina su punto de corte.  \nb) Halla el ángulo que forma r y s.  \nc) Determina la ecuación del plano que contiene a r y s. MATEMÁTICAS II. 2010. JUNIO. EJERCICIO 4. OPCIÓN A.  \nR E S O L U C I Ó N  \na) Resolvemos el sistema formado por las cuatro ecuaciones.  \ny = x −1 ⎫  \ny = 1 − z ⎪  \n⎬ ⇒ x = 3 ; y = 2 ; z = − 1 x − 2y = − 1 ⎪  \ny + z = 1 ⎭⎪  \nLuego, el punto de corte es: (3, 2, −1)  \nb) Pasamos las dos rectas a paramétricas.  \nx = 1+ y⎫  \nx −1 = y = 1 − z ⇒ y = y ⎪⎬ ⇒ A = (1, 0,1) ; →u = (1,1, −1)  \nz = 1+ y⎭⎪  \nx = − 1+ 2y ⎫  \nx − 2y = − 1⎫⎬ ⇒ y = y ⎬⎪ ⇒ B = (−1, 0,1) ; →v = (2,1, −1) y + z = 1 ⎭ z = 1− y ⎭⎪  \nEl ángulo que forman r y s es el ángulo que forman sus vectores directores, luego:  \n→ → cos α = ~~ ~~~~ ~~⋅~~ ~~~~ ~~ =  \nu  ⋅ v   \n\n|  |  |\n| --- | --- |\n\n2 +1+1  \n=  \n3 ⋅ 6  \n4  \n18  \n= 0 '9428 ⇒ α = 19 ' 47º  \nc) El plano viene definido por el punto A y los vectores directores de las rectas, luego:  \n\n| x −1 | 1 | 2 |\n| --- | --- | --- |\n| y | 1 | 1 |\n| z −1 | −1 | −1 |\n\n= 0 ⇒ y + z −1 = 0  \n[http://emestrada.wordpress.com](http://emestrada.wordpress.com)  \nLos puntos P (2, 0, 0) y Q (− 1,12, 4) son dos vértices de un triángulo. El tercer vértice S  \n⎧ 4x + 3z = 33  \npertenece a la recta r de ecuación⎨ .  \n⎩ y = 0  \na) Calcula las coordenadas del punto S sabiendo que r es perpendicular a la recta que pasa por Py S.  \nb) Comprueba si el triángulo es rectángulo.  \nMATEMÁTICAS II. 2010. JUNIO. EJERCICIO 4. OPCIÓN B.  \nR E S O L U C I Ó N  \na) Pasamos la ecuación de la recta a paramétricas.  \n33 − 3z⎫  \nx = 4 ⎪  \n⎨4yx=+03z = 33 ⇒ yz0z ⎬  \n⎪⎭  \nCualquier punto de la recta tendrá de coordenadasS = ⎛⎜⎝ ~~ ~~33~~ ~~−4~~ ~~3t~~ ~~ ,0, t ⎟ . Calculamos el vector →PS = ⎜ ~~ ~~33~~ ~~−4~~ ~~3t~~ ~~ − 2, 0,t − 0⎟ = ⎜ ~~ ~~25~~ ~~−4~~ ~~3t~~ ~~ , 0, t ⎟ . Este vector es perpendicular al vector director dela recta, luego, su producto escalar vale cero.  \n→u ⋅ →PS = 0 ⇒ ⎜ − ~~ ~~34 , 0,1⎟ ⋅ ⎛⎜⎝ ~~ ~~25~~ ~~−43t~~ ~~ , 0, t ⎟ = 0 ⇒ − ~~ ~~7516 + ~~ ~~9t16 + t = 0 ⇒ t = 3 Luego, el punto S tiene de coordenadas S = 33~~ ~~9 , 0, 3⎟ = ( 6, 0,3)  \nb) Calculamos el vector →PQ = (− 3,12, 4) .  \n→PQ ⋅ →PS = (− 3,12, 4)⋅ ( 4, 0, 3) = 0 ⇒ Son perpendiculares, luego, el triángulo es rectángulo en P.  \n[http://emestrada.wordpress.com](http://emestrada.wordpress.com)  \nCalcula el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de intersección del plano 6x + 3y + 2z = 6 con los ejes de coordenadas.  \nMATEMÁTICAS II. 2010. RESERVA 1. EJERCICIO 4. OPCIÓN A.  \nR E S O L U C I Ó N  \nCalculamos los puntos de corte del plano con los ejes coordenados: A = (1, 0, 0) ; B = (0, 2, 0) ; C = (0, 0, 3) . Calculamos los vectores →AB = (−1, 2, 0) y →AC = (−1, 0, 3) .  \nHacemos el producto vectorial de los vectores:  \nÁrea del triángulo = 12 módulo ⎛⎜⎝  \n→AB∧ →AC⎟ =  \n→ → →= 6 i + 3 j+ 2 k  \n 1  \n2  \n7  \n= ~~ ~~ u  \n2  \n2  \n[http://emestrada.wordpress.com](http://emestrada.wordpress.com)  \nSean los puntos A(1,1,1) , B(−1,2, 0) , C(2,1,2) y D(t, − 2,2)  \na) Determina el valor de t para que A, B, CyD estén en un mismo plano.  \nb) Halla la ecuación de un plano perpendicular al segmento determinado por A y B, que contengaal punto C.  \nMATEMÁTICAS II. 2010. RESERVA 1. EJERCICIO 4. OPCIÓN B  \nR E S O L U C I Ó N  \na) Calculamos la ecuación del plano que pasa por A, B y C. ","cbCaiqr74lAQfbEd","https://ap.wps.com/l/cbCaiqr74lAQfbEd","pdf",126126,4,1,13,"Spanish","es",110,"# Junio, Ejercicio 4 (Opción A)\n## Punto de corte y ecuación del plano\n## Ángulo entre rectas\n# Junio, Ejercicio 4 (Opción B)\n## Cálculo del tercer vértice y triángulo rectángulo\n# Reserva 1, Ejercicio 4 (Opción A)\n## Área del triángulo con intersecciones\n# Reserva 1, Ejercicio 4 (Opción B)\n## Plano en función de t y plano perpendicular\n# Reserva 2, Ejercicio 4 (Opción A)\n## Plano equidistante y plano paralelo a una recta","[{\"question\":\"Cómo se determina el punto de corte de dos rectas en el enunciado del Junio, Ejercicio 4 (Opción A)?\",\"answer\":\"Se plantea y resuelve el sistema que resulta de igualar las ecuaciones de ambas rectas. La solución del sistema proporciona las coordenadas del punto de intersección.\"},{\"question\":\"Cómo se calcula el ángulo entre dos rectas en el Junio, Ejercicio 4 (Opción A)?\",\"answer\":\"Se pasa cada recta a su forma paramétrica y se obtienen sus vectores directores. El ángulo se obtiene a partir del coseno usando el producto escalar de dichos vectores, resolviendo para α.\"},{\"question\":\"De qué forma se comprueba si el triángulo es rectángulo y dónde es el ángulo recto en el Junio, Ejercicio 4 (Opción B)?\",\"answer\":\"Se calcula el tercer vértice S y luego se forman los vectores de los lados implicados. 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