[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"doc-detail-72280-es":3,"doc-seo-72280-110":31,"detail-sidebar-cat-0-es-110":93},{"code":4,"msg":5,"data":6},0,"success",{"doc_id":7,"user_id":8,"nickname":9,"user_avatar":10,"doc_module":4,"category_id":11,"category_name":12,"doc_title":13,"doc_description":14,"doc_content":15,"file_id":16,"file_url":17,"file_type":18,"file_size":19,"view_count":20,"is_deleted":4,"is_public":21,"is_downloadable":21,"audit_status":21,"page_count":22,"language":23,"language_code":24,"site_id":25,"html_lang":24,"table_of_contents":26,"faqs":27,"seo_title":28,"seo_description":14,"update_tm":29,"read_time":30},72280,962084926284,"Aurora","https://ap-avatar.wpscdn.com/davatar_29158cc5080c5b710cf443261637dec0",38,"Examen","Matices y determinantes TEMA 1 Matemáticas II Andalucía 2001","Colección de problemas resueltos de “Matemáticas II” (selectividad Andalucía 2001), Tema 1: matrices y determinantes. Incluye ejercicios de junio, septiembre y reservas, centrados en el estudio de la invertibilidad mediante el determinante, el cálculo de matrices inversas y el uso de propiedades como A−1 = At cuando procede. Se abordan potencias matriciales y matrices dependientes de parámetros, determinando los valores que impiden la inversa y resolviendo sistemas para parámetros que satisfacen condiciones de producto y rango.","PROBLEMAS RESUELTOSSELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2001  \nMATEMÁTICAS II  \nTEMA 1: MATRICES Y DETERMINANTES  \n• Junio, Ejercicio 3, Opción A  \n• Junio, Ejercicio 4, Opción B  \n• Reserva 1, Ejercicio 3, Opción A  \n• Reserva 2, Ejercicio 3, Opción A  \n• Reserva 3, Ejercicio 3, Opción A  \n• Reserva 3, Ejercicio 3, Opción B  \n• Reserva 4, Ejercicio 4, Opción B  \n• Septiembre, Ejercicio 3, Opción A  \n\n| ⎛ sen x Sea A = ⎜ cos x\u003Cbr>⎜⎝ sen x + cos x | − cos x\u003Cbr>sen x\u003Cbr>sen x − cos x | 0⎞\u003Cbr>0 ⎟\u003Cbr>⎟ .\u003Cbr>1⎠⎟ |\n| --- | --- | --- |\n| ¿Para qué valores de x existe la matriz inversa deA?. Calcula dicha matriz inversa. MATEMÁTICAS II. 2001. JUNIO. EJERCICIO 3. OPCIÓN A. |  |  |\n\nR E S O L U C I Ó N  \nPara que la matriz A tenga inversa, su determinante tiene que ser distinto de cero.  \nA  = sen 2 x + cos 2 x = 1 ≠ 0  \nLuego, la matriz A tiene inversa para cualquier valor de x.  \n⎛ sen x − cos x −1⎞ t ⎛ sen x cos x 0⎞  \n⎜ cos x sen x −1 ⎟  − cos x sen x 0 ⎟ ⎛ sen x A−1 = (AdA)t = ~~ ⎝ ~~0~~ ~~10~~ ~~1~~⎠ ~~ = ~~⎝ ~~−1~~ ~~1~~ ~~−1~~ ~~1~~⎠~~ = ⎜ − cos x  \n⎝⎜ −1  \ncos x  \nsen x  \n−1  \n0⎞  \n0 ⎟  \n⎟  \n1⎠⎟  \n⎛  \nConsidera la matriz A = ⎝  \n0  \n1  \n−1  \n3  \n−4  \n3  \n4⎞  \n−5 ⎟  \n4 ⎠⎟  \na) Siendo I la matriz identidad 3x3 y 0 la matriz nula 3x3, prueba que A3 + I = 0 b) CalculaA10  \nMATEMÁTICAS II. 2001. JUNIO. EJERCICIO 4.OPCIÓN B.  \nR E S O L U C I Ó N  \na)  \n⎛ 0 A 2 = ⎜ 1 ⎜⎝ −1  \n⎛ 0 A 3 = ⎜ 1 ⎜⎝ −1  \nA 3 + I =  \nb)  \n3  \n−4  \n3  \n3  \n−4  \n3  \n⎛−1  \n⎜ 0  \n⎜  \n⎜⎝ 0  \n4⎞ ⎛ 0 3 4⎞ ⎛−1  \n−5 ⎟ ⋅ ⎜ 1 −4 −5 ⎟ = ⎜ 1  \n4⎠⎟ ⎜⎝ −1 3 4⎠⎟ ⎜⎝−1  \n4⎞ ⎛−1 0 1⎞ ⎛ −1  \n−54⎠ ⋅ ⎝ − 11 −43 −43⎠ = ⎝ 00  \n0 0⎞ ⎛ 1 0 0⎞ ⎛ 0  \n−1 0 ⎟ ⋅ ⎜0 1 0 ⎟ = ⎜0  \n0 −1⎠⎟ ⎜⎝0 0 1⎠⎟ ⎜⎝0  \n⎛  \nA 10 = A 3 ⋅ A3 ⋅ A3 ⋅ A = (−I) ⋅ (−I) ⋅ (−I) ⋅ A = − A = ⎝  \n0  \n4  \n−3  \n0  \n−1  \n0  \n0  \n0  \n0  \n1⎞  \n4 ⎟  \n⎟  \n−3⎠⎟  \n0⎞  \n0 ⎟  \n−1⎠⎟  \n0⎞  \n0 ⎟  \n⎟  \n0⎠⎟  \n0 −3  \n−1 4  \n1 −3  \n−4⎞  \n5 ⎟  \n⎟  \n−4⎠⎟  \n\n| ⎛ 1 2⎞ ⎛ 1 De las matrices: A = ⎜⎝3 4⎠⎟ ; B = ⎜⎝4 | 2\u003Cbr>5 | ⎛ 1\u003Cbr>3⎞ ⎛ 1 1⎞ ⎜ 6⎠⎟ ;C = ⎜⎝3 3⎠⎟ ; D = ⎜⎝ 00 | 2\u003Cbr>1\u003Cbr>0 | 3⎞\u003Cbr>2 ⎟\u003Cbr>⎟\u003Cbr>1⎠⎟ |\n| --- | --- | --- | --- | --- |\n| Determina cuáles tienen inversa y en los casos en que exista, calcula el determinante de dichas inversas.\u003Cbr>MATEMÁTICAS II. 2001. RESERVA 1. EJERCICIO 3. OPCIÓN A. |  |  |  |  |\n\nR E S O L U C I Ó N  \nLa matriz B no tiene inversa porque no es cuadrada. La matriz C no tiene inversa porque su determinante vale cero.  \n| ⎛a\u003Cbr>⎜\u003Cbr>Se sabe que la matriz A = ⎜ 0 ⎜⎝b | 0\u003Cbr>−1\u003Cbr>0 | −a ⎞\u003Cbr>0 ⎟ verifica que det (A) = 1 y sus columnas son vectores b ⎠⎟ |\n| --- | --- | --- |\n| perpendiculares dos a dos.\u003Cbr>a) Calcula los valores de a y b.\u003Cbr>b) Comprueba que para dichos valores se verifica que A-1 = At, donde At denota la matriz traspuesta deA.\u003Cbr>MATEMÁTICAS II. 2001. RESERVA 2. EJERCICIO 3. OPCIÓN A. |  |  |\n\nR E S O L U C I Ó N  \na)  \nA = − 2ab = 1  \n(a, 0, b) ⋅ (−a, 0, b) = −a  \n2  \n⎫⎪  \n2 ⎬ ⇒ a =+ b = 0⎭⎪  \n22  \n;b = −  \n2 2 ó a = −  \n2 2  \n;b =  \n22  \nb) Calculamos  \n⎛−b 0 b ⎞ t ⎛−b 0 −a ⎞  \n⎜ 0 2ab 0 ⎟ ⎜ 0 2ab 0 ⎟ ⎛ 1  \n( A) −1 = (AdA)t = ⎝⎜ −a − 02ab −a ⎠⎟  = ⎝⎜ b − 02ab −a ⎠⎟ = ⎜ 2a01 ⎜ − ~~ ~~  \n⎝ 2a  \n0  \n−1  \n0  \n1 ⎞  \n2b ⎟  \n⎟  \n0 ⎟  \n1 ⎟  \n~~ ~~ ⎟  \n2b⎠  \n⎛ a  \nAt = ⎜ 0  \n⎜⎝−a  \n0  \n−1  \n0  \nb ⎞  \n0 ⎟  \n⎟  \nb ⎠⎟  \nEfectivamente, para los valores de a y de b obtenidos en el primer apartado se cumple que:  \nA −1 = At  \n\n| ⎛ 1\u003Cbr>Determina la matrizX tal que A·X―3·B = 0, siendo: A = ⎜2 ⎜⎝0 | 0\u003Cbr>3\u003Cbr>1 | −1⎞ ⎛−7 ⎟ y B = ⎜−2⎠⎟ ⎜⎝ | 1\u003Cbr>−1\u003Cbr>−2 | 2⎞\u003Cbr>0 ⎟\u003Cbr>⎟\u003Cbr>1⎠⎟ |\n| --- | --- | --- | --- | --- |\n| MATEMÁTICAS II. 2001. RESERVA 3. EJERCICIO 3. OPCIÓN A. |  |  |  |  |\n\nR E S O L U C I Ó N  \nSabemos que:  \nA⋅ X = 3⋅ B ⇒ X = 3⋅ A−1 ⋅ B  \nCalculamos la matriz inversa de A.  \n⎛ 1 4 2⎞ t ⎛ 1 −1 3⎞ d t  −1 −2 −1  4 −2 5  ⎛−1  \n( A) −1 = (AA ) = ~~ ⎝ ~~3~~ ~~−51~~ ~~3~~⎠ ~~ = ~~⎝ ~~2~~ ~~−1~~ ~~31~~⎠~~ = ⎝⎜−42 Luego:  \n⎛−1 1 −3⎞ ⎛ 1 2⎞ ⎛ 12 −15⎞ X = 3⋅ A−1 ⋅ B = 3 ⋅ ⎝ −42 21 −53⎠ ⋅ ⎜⎝ −12 01⎠ = ⎝⎜ 129 −3921⎠  \n1  \n2  \n1  \n−3⎞  \n−5 ⎟  \n−3⎠⎟  \n⎛ 1 0 −2⎞  \nConsidera la matriz A = ⎜1 1 1 ⎟  \n⎜⎝1 1 0⎠⎟  \na) Calcula el de","cbCaih7q6FQXn8cH","https://ap.wps.com/l/cbCaih7q6FQXn8cH","pdf",85468,5,1,9,"Spanish","es",110,"# Tema 1: Matrices y determinantes\n## Junio (Ejercicios 3 y 4)\n## Septiembre (Ejercicio 3)\n## Reservas 1 a 4 (Ejercicios 3 y 4)","[{\"question\":\"¿Cómo se determina si una matriz A tiene inversa en estos ejercicios?\",\"answer\":\"En los problemas se usa el criterio de que A tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero. Si det(A)≠0, existe A−1; si det(A)=0, no existe.\"},{\"question\":\"¿Qué relación se comprueba entre A−1 y la traspuesta At en algunas reservas?\",\"answer\":\"En la Reserva 2, tras hallar los valores de a y b, se verifica que la inversa cumple A−1 = At, donde At es la matriz traspuesta de A.\"},{\"question\":\"¿Para qué valores del parámetro λ la matriz no tiene inversa?\",\"answer\":\"En la Reserva 4 (Ejercicio 4, Opción B) se calcula el determinante A = 1 − λ^2 y se impone A=0, obteniendo que no tiene inversa para λ = ±1.\"}]","Matices y determinantes TEMA 1 Matemáticas II Andalucía 2001 | PDF",1784036009,14,{"code":4,"msg":32,"data":33},"ok",{"site_id":25,"language":24,"slug":34,"title":13,"keywords":35,"description":14,"schema_data":36,"social_meta":88,"head_meta":90,"extra_data":92,"updated_unix":29},"matrices-and-determinants-topic-1-mathematics-ii-andalusia-2001","",{"@graph":37,"@context":87},[38,55,70],{"@type":39,"itemListElement":40},"BreadcrumbList",[41,45,49,52],{"item":42,"name":43,"@type":44,"position":21},"https://docshare.wps.com","Home","ListItem",{"item":46,"name":47,"@type":44,"position":48},"https://docshare.wps.com/es/document/","Document",2,{"item":50,"name":12,"@type":44,"position":51},"https://docshare.wps.com/es/document/examen/",3,{"item":53,"name":13,"@type":44,"position":54},"https://docshare.wps.com/es/document/matrices-and-determinants-topic-1-mathematics-ii-andalusia-2001/72280/",4,{"url":53,"name":13,"@type":56,"author":57,"headline":13,"publisher":59,"fileFormat":62,"inLanguage":24,"description":14,"dateModified":63,"datePublished":64,"encodingFormat":62,"isAccessibleForFree":65,"interactionStatistic":66},"DigitalDocument",{"name":9,"@type":58},"Person",{"url":42,"name":60,"@type":61},"DocShare","Organization","application/pdf","2026-07-30","2026-07-14",true,{"@type":67,"interactionType":68,"userInteractionCount":20},"InteractionCounter",{"@type":69},"ViewAction",{"@type":71,"mainEntity":72},"FAQPage",[73,79,83],{"name":74,"@type":75,"acceptedAnswer":76},"¿Cómo se determina si una matriz A tiene inversa en estos ejercicios?","Question",{"text":77,"@type":78},"En los problemas se usa el criterio de que A tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero. 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