[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"doc-detail-72287-es":3,"doc-seo-72287-110":31,"detail-sidebar-cat-0-es-110":85},{"code":4,"msg":5,"data":6},0,"success",{"doc_id":7,"user_id":8,"nickname":9,"user_avatar":10,"doc_module":4,"category_id":11,"category_name":12,"doc_title":13,"doc_description":14,"doc_content":15,"file_id":16,"file_url":17,"file_type":18,"file_size":19,"view_count":20,"is_deleted":4,"is_public":21,"is_downloadable":21,"audit_status":21,"page_count":22,"language":23,"language_code":24,"site_id":25,"html_lang":24,"table_of_contents":26,"faqs":27,"seo_title":28,"seo_description":14,"update_tm":29,"read_time":30},72287,962084926284,"Aurora","https://ap-avatar.wpscdn.com/davatar_29158cc5080c5b710cf443261637dec0",38,"Examen","Matrices y Determinantes - Problemas Resueltos Selectividad Andalucía 2009 (Matemáticas II, Tema 1)","Problemas resueltos de Matemáticas II (Selectividad Andalucía 2009), Tema 1: matrices y determinantes. Se calcula el determinante de expresiones con una matriz 3x3 a partir del valor de det(B)=-2, aplicando propiedades del determinante: inversa, potencias, traspuesta, factor escalar y combinaciones lineales de filas. También se resuelven matrices inversas y operaciones con productos matriciales mediante determinantes y ecuaciones del tipo A·X·B=C, así como condiciones de no inversibilidad para B=A−kI y determinación de parámetros en identidades matriciales.","PROBLEMAS RESUELTOSSELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2009  \nMATEMÁTICAS II  \nTEMA 1: MATRICES Y DETERMINANTES  \n􀁸 Junio, Ejercicio 3 , Opción A  \n􀁸 Reserva 1 , Ejercicio 3 , Opción B  \n􀁸 Reserva 2, Ejercicio 3, Opción A  \n􀁸 Reserva 4 , Ejercicio 3 , Opción A  \n􀁸 Septiembre , Ejercicio 3 , Opción B  \n[http://emestrada. wordpress.com](http://emestrada. wordpress.com)  \nSean F1 , F2 y F3 las filas primera, segunda y tercera, respectivamente, de una matriz B de orden 3, cuyo determinante vale − 2 . Calcula, indicando las propiedades que utilices:  \na) El determinante deB − 1 .  \nb) El determinante de (B t ) 4 . ( B t es la matriz traspuesta de B).  \nc) El determinante de 2 B .  \nd) El determinante de una matriz cuadrada cuyas filas primera, segunda y tercera son, respectivamente, 5 F1 − F3 , 3 F3 , F2 .  \nMATEMÁTICAS II. 2009. JUNIO. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.  \nR E S O L U C I Ó N  \na) Sabemos que: B⋅ B −1 = I ⇒  B⋅ B −1  =  B  ⋅  B −1  =  I  = 1 ⇒  B −1  = 1  ; luego en nuestro caso  \n B   \n−1 1 1  \nserá:  B = ~~ ~~ = − ~~ ~~  \n B  2  \nb) Sabemos que  B t  =  B  ; luego:  (B t ) 4  =  (B) 4  =  B  ⋅  B  ⋅  B  ⋅  B  = (− 2) 4 = 16  \nc) Si B n es una matriz cuadrada de orden n, sabemos que se cumple que  k ⋅ B  = k n ⋅  B  ; en nuestro caso como B es una matriz de orden 3, tenemos que:  2 B  = (2)3 ⋅  B  = 8 ⋅ (− 2) = − 16  \nd)  \n\n| 5F1 − F3\u003Cbr>3 F3\u003Cbr>F 2 | = | 5F1\u003Cbr>3 F3\u003Cbr>F 2 | − | F3\u003Cbr>3 F3\u003Cbr>F 2 | = 15 ⋅ | F1\u003Cbr>F3\u003Cbr>F2 | − | F3\u003Cbr>3 F3\u003Cbr>F 2 |\n| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |\n\n= 15⋅ (2) − 3⋅ 0 = 30  \nEn el primer paso hemos aplicado la propiedad de los determinantes que dice: “Si una fila ocolumna de un determinante es suma de dos sumandos, dicho determinante puede descomponerseen suma de dos determinantes colocando en dicha fila o columna el primer y segundo sumando, respectivamente. En el segundo paso hemos aplicado la propiedad que dice: “En el segundo paso hemos aplicado la propiedad que dice: “Si en un determinante se cambian entre si dos filas ocolumnas, el determinante cambia de signo” y “Si un determinante tiene dos filas o columnas iguales, el determinante vale 0”.  \nSeanA, B, Cy X matrices cualesquiera que verificanA⋅ X ⋅ B = C .  \na) Si las matrices son cuadradas de orden 3, y se sabe que el determinante de A es 3, el de B es − 1 y el de C es 6, calcula el determinante de las matrices Xy 2X.  \n⎛ 1 1⎞ ⎛ 1 − 2⎞ ⎛ 0 3⎞  \nb) SiA = ⎜⎝0 − 2⎠⎟ , B = ⎜⎝2 − 3⎠⎟ y C = ⎜⎝4 2⎠⎟ , calcula la matrizX.  \nMATEMÁTICAS II. 2009. RESERVA 1. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.  \nR E S O L U C I Ó N  \na)  \n C  6  \nA  ⋅  X  ⋅  B  =  C  ⇒  X  = ~~ ~~ = ~~ ~~ = − 2  \n A  ⋅  B  3⋅ (−1)  \n2 X  = 2 3 ⋅  X  = − 16 b)  \nA⋅ X ⋅ B = C ⇒ ⎜10 − 12⎟ ⋅ ⎛⎜⎝ ac bd⎟⋅ ⎜12 −23⎟ = ⎜04 32⎟ ⇒  \na + c + 2b+ 2d = 0 ⎫  \n⎛a + c + 2b+ 2d − 2a − 2c − 3b− 3d⎞ ⎛ 0 3⎞ − 2a − 2c − 3b− 3d = 3 ⎪ X ⎛−14 8⎞⇒ ⎝⎜ − 2c − 4d 4c + 6d ⎠⎟ = ⎜⎝4 2⎠⎟ ⇒ − 2c − 4d = 4 ⎬⎪ ⇒ = ⎝⎜ 8 − 5⎠⎟  \n4c + 6d = 2⎭⎪  \n⎛ 3 7⎞ ⎛ 1 − 3⎞ Dadas las matrices A = ⎜⎝1 2⎠⎟ y B = ⎜⎝− 4 2⎠⎟  \na) Calcula, si existe, la matriz inversa de A.  \nb) Calcula las matrices X e Y que satisfacen las ecuaciones matriciales X ⋅ A = A+ 2B y A⋅Y = A+ 2B .  \nMATEMÁTICAS II. 2009. RESERVA 2. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.  \nR E S O L U C I Ó N  \na)  \n⎛ 2 −1⎞ t ⎛ 2 −7⎞  \n( A) −1 = (AdA)t = ~~ ⎝~~⎜−7~~ ~~−1~~ ~~3~~⎠~~⎟~~ ~~ = ~~⎝~~⎜~~ ~~−1−1~~ ~~3~~⎠~~⎟ = ⎜ − 21 − 73⎟ b)  \n1 ⎡⎛3 7 ⎞ ⎛ 2 −6⎞⎤ ⎛− 2 7⎞ ⎛−9 32⎞ X ⋅ A = A+ 2B ⇒ X = (A+ 2B) ⋅ A − = ⎢⎣⎝⎜1 2⎠⎟ + ⎜⎝−8 4 ⎠⎟⎦⎥ ⋅ ⎜⎝ −1 3⎠⎟ = ⎜⎝ 20 − 67⎠⎟  \n− 1 ⎛− 2 7⎞ ⎡⎛3 7⎞ ⎛ 2 − 6⎞⎤ ⎛−59 40⎞ A⋅Y = A+ 2B ⇒ Y = A (A+ 2B) = ⎜⎝ −1 3⎠⎟ ⋅ ⎣⎢⎝⎜1 2⎠⎟ + ⎜⎝−8 4 ⎠⎟ ⎦⎥ = ⎜⎝ 26 −17⎠⎟  \n⎛ − 3 1⎞  \nSe consideran las matrices A = ⎜⎝ 2 − 1⎠⎟ yB = A− kI , donde k es una constante e I la matrizidentidad de orden 2.  \na) Determina los valores de k para los que B no tiene inversa.  \nb) Calcular B − 1 para k = − 1 .  \nc) Determina las constantes α y β para las que se cumple A 2 + αA = βIMATEMÁTICAS II. 2009. RESERVA 4. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.  \nR E S O L U C I Ó N  \na) Calculamos la matriz B  \n⎛− 3 1⎞ ⎛ 1 0⎞ ⎛− 3 ","cbCaigCpUxHUkhSR","https://ap.wps.com/l/cbCaigCpUxHUkhSR","pdf",48267,5,1,6,"Spanish","es",110,"# Tema 1: Matrices y determinantes\n## Junio 2009 - Ejercicio 3 (Opción A)\n## Junio 2009 - Reserva 1 (Ejercicio 3, Opción B)\n## Reserva 2 (Ejercicio 3, Opción A)\n## Reserva 4 (Ejercicio 3, Opción A)\n## Septiembre 2009 - Ejercicio 3 (Opción B)","[{\"question\":\"Qué determina si la matriz B=A−kI tiene inversa y cómo se hallan los valores de k?\",\"answer\":\"B no tiene inversa cuando det(B)=0. Se expresa det(A−kI) en función de k, se iguala a cero y se resuelven las ecuaciones para obtener los k que anulan el determinante.\"}]","Matrices y Determinantes - Problemas Resueltos Selectividad Andalucía 2009 (Matemáticas II, Tema 1) | PDF",1784036053,9,{"code":4,"msg":32,"data":33},"ok",{"site_id":25,"language":24,"slug":34,"title":13,"keywords":35,"description":14,"schema_data":36,"social_meta":80,"head_meta":82,"extra_data":84,"updated_unix":29},"matrices-and-determinants-resolved-selectivity-problems-andalusia-2009-math-ii-topic-1","",{"@graph":37,"@context":79},[38,55,70],{"@type":39,"itemListElement":40},"BreadcrumbList",[41,45,49,52],{"item":42,"name":43,"@type":44,"position":21},"https://docshare.wps.com","Home","ListItem",{"item":46,"name":47,"@type":44,"position":48},"https://docshare.wps.com/es/document/","Document",2,{"item":50,"name":12,"@type":44,"position":51},"https://docshare.wps.com/es/document/examen/",3,{"item":53,"name":13,"@type":44,"position":54},"https://docshare.wps.com/es/document/matrices-and-determinants-resolved-selectivity-problems-andalusia-2009-math-ii-topic-1/72287/",4,{"url":53,"name":13,"@type":56,"author":57,"headline":13,"publisher":59,"fileFormat":62,"inLanguage":24,"description":14,"dateModified":63,"datePublished":64,"encodingFormat":62,"isAccessibleForFree":65,"interactionStatistic":66},"DigitalDocument",{"name":9,"@type":58},"Person",{"url":42,"name":60,"@type":61},"DocShare","Organization","application/pdf","2026-07-30","2026-07-14",true,{"@type":67,"interactionType":68,"userInteractionCount":20},"InteractionCounter",{"@type":69},"ViewAction",{"@type":71,"mainEntity":72},"FAQPage",[73],{"name":74,"@type":75,"acceptedAnswer":76},"Qué determina si la matriz B=A−kI tiene inversa y cómo se hallan los valores de k?","Question",{"text":77,"@type":78},"B no tiene inversa cuando det(B)=0. Se expresa det(A−kI) en función de k, se iguala a cero y se resuelven las ecuaciones para obtener los k que anulan el determinante.","Answer","https://schema.org",{"og:url":53,"og:type":81,"og:title":13,"og:site_name":60,"og:description":14},"article",{"robots":83,"canonical":53},"index,follow",{"doc_id":7,"site_id":25},{"code":4,"msg":5,"data":86},[87,92,96,98,102,106,110,114,118,122],{"id":88,"doc_module":4,"doc_module_name":47,"category_name":89,"show_sort_weight":90,"slug":91},39,"Cómic",60,"comic",{"id":93,"doc_module":4,"doc_module_name":47,"category_name":94,"show_sort_weight":90,"slug":95},43,"Estilo de Vida","lifestyle",{"id":11,"doc_module":4,"doc_module_name":47,"category_name":12,"show_sort_weight":90,"slug":97},"exam",{"id":99,"doc_module":4,"doc_module_name":47,"category_name":100,"show_sort_weight":90,"slug":101},44,"General","general",{"id":103,"doc_module":4,"doc_module_name":47,"category_name":104,"show_sort_weight":90,"slug":105},41,"Investigación e Informes","research-report",{"id":107,"doc_module":4,"doc_module_name":47,"category_name":108,"show_sort_weight":90,"slug":109},37,"Literatura","literature",{"id":111,"doc_module":4,"doc_module_name":47,"category_name":112,"show_sort_weight":90,"slug":113},22,"Relatos y Novelas","story-novel",{"id":115,"doc_module":4,"doc_module_name":47,"category_name":116,"show_sort_weight":90,"slug":117},42,"Religión y Espiritualidad","religion-spirituality",{"id":119,"doc_module":4,"doc_module_name":47,"category_name":120,"show_sort_weight":90,"slug":121},40,"Salud y Atención Médica","healthcare",{"id":123,"doc_module":4,"doc_module_name":47,"category_name":124,"show_sort_weight":90,"slug":125},24,"Tecnología","technology"]