[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"doc-detail-72288-es":3,"doc-seo-72288-110":31,"detail-sidebar-cat-0-es-110":93},{"code":4,"msg":5,"data":6},0,"success",{"doc_id":7,"user_id":8,"nickname":9,"user_avatar":10,"doc_module":4,"category_id":11,"category_name":12,"doc_title":13,"doc_description":14,"doc_content":15,"file_id":16,"file_url":17,"file_type":18,"file_size":19,"view_count":20,"is_deleted":4,"is_public":21,"is_downloadable":21,"audit_status":21,"page_count":22,"language":23,"language_code":24,"site_id":25,"html_lang":24,"table_of_contents":26,"faqs":27,"seo_title":28,"seo_description":14,"update_tm":29,"read_time":30},72288,962084926284,"Aurora","https://ap-avatar.wpscdn.com/davatar_29158cc5080c5b710cf443261637dec0",38,"Examen","Matrices y Determinantes (Matemáticas II, 2010) — Problemas Resueltos","Conjunto de problemas resueltos de Matemáticas II (selectividad Andalucía 2010) centrados en matrices y determinantes. Incluye: condiciones de invertibilidad de una matriz en función del parámetro m; resolución de ecuaciones matriciales con transpuesta; verificación de identidades mediante potencias y cálculo de inversas usando relaciones algebraicas; obtención de un vector no nulo que asegura rango 2 simultáneo; cálculo de determinantes aplicando propiedades (escalado, signos por intercambio) y reglas de determinante de productos; y resolución de una ecuación matricial del tipo A·X·B=C mediante sistema de incógnitas.","PROBLEMAS RESUELTOSSELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2010  \nMATEMÁTICAS II  \nTEMA 1: MATRICES Y DETERMINANTES  \n• Junio, Ejercicio 3, Opción A  \n• Reserva 1, Ejercicio 3, Opción A  \n• Reserva 3, Ejercicio 3, Opción A  \n• Reserva 3, Ejercicio 3, Opción B  \n• Reserva 4, Ejercicio 3, Opción B  \n• Septiembre, Ejercicio 3, Opción B  \n[http://emestrada.wordpress.com](http://emestrada.wordpress.com)  \n\n| ⎛ 1\u003Cbr>Sean las matrices A = ⎜ 0 ⎜⎝4 | 0\u003Cbr>m\u003Cbr>1 | − 1 ⎞ ⎛ 1 0⎞\u003Cbr>− 3m⎠ , B = ⎝ − 31 21⎠ y C = C = ⎛⎜⎝ − 53 | − 3\u003Cbr>− 2 | 4⎞\u003Cbr>2⎠⎟ |\n| --- | --- | --- | --- | --- |\n| a) Indica los valores de m para los que A es invertible.\u003Cbr>b) Resuelve la ecuación XA− B t = C para m = 0 . ( B t es la matriz traspuesta de B) MATEMÁTICAS II. 2010. JUNIO. EJERCICIO 3. OPCIÓN A. |  |  |  |  |\n\nR E S O L U C I Ó N  \na) La matriz A tiene inversa si su determinante es distinto de cero, luego:  \nA  =  \n\n| 1 | 0 | −1 |\n| --- | --- | --- |\n| 0 | m | 3 |\n| 4 | 1 | − m |\n\n= − m 2 + 4m− 3 = 0 ⇒ m = 1 ; m = 3  \nPor lo tanto, la matriz A tendrá inversa para todos los valores de m ≠ 1 y m ≠ 3 .  \nb) Calculamos la matriz inversa de A.  \n⎜⎛ −31 124 −01⎞⎟ t ⎜⎛⎜ −132 −14 − 03⎞⎟ ⎜⎛⎜ 1 A−1 = (AdA)t = ~~⎝~~⎜~~ ~~0~~ ~~33~~ ~~0~~⎠~~⎟~~ ~~ = ~~ ~~⎜~~⎝ ~~0~~ ~~−13~~ ~~0~~ ⎠~~⎟ = ⎜ − 4  \n⎜  \n⎜⎝ 0  \n1 3  \n4  \n−  \n3  \n1 3  \n⎞  \n0 ⎟  \n⎟  \n1 ⎟  \n⎟⎟  \n0⎠⎟  \nResolvemos la ecuación matricial y calculamos la matrizX.  \n1 ⎡⎛ 5 XA− B t = C ⇒ X = ( C + B t ) ⋅ A − = ⎢⎣⎜⎝− 3  \n− 3  \n− 2  \n4⎞ ⎛ 1  \n2⎠⎟ + ⎜⎝0  \n3  \n2  \n⎛⎜ 1 −1⎞⎤ ⋅ ⎜ − 4 1⎠⎟⎦⎥ ⎜  \n⎜⎝ 0  \n1 3  \n4  \n−  \n3  \n1 3  \n0⎞⎟  \n⎟  \n1 ⎟ = ⎛ 6  \n⎟ ⎜⎝ − 3  \n0⎠⎟  \n3  \n0  \n0⎞  \n0⎠⎟  \n[http://emestrada.wordpress.com](http://emestrada.wordpress.com)  \n\n| ⎛ 5\u003Cbr>Sea la matriz A = ⎜ 2 ⎜⎝− 4 | − 4\u003Cbr>− 1\u003Cbr>4 | 2⎞\u003Cbr>1 ⎟\u003Cbr>⎟\u003Cbr>− 1⎠⎟ |\n| --- | --- | --- |\n| a) Comprueba que se verifica 2A− A 2 = I\u003Cbr>b) Calcula A −1 . (Sugerencia: Puedes usar la igualdad del apartado (a)). MATEMÁTICAS II. 2010. RESERVA 1. EJERCICIO 3. OPCIÓN A. |  |  |\n\nR E S O L U C I Ó N  \na)  \n⎛ 5 − 4 2⎞ ⎛ 5 − 4 2⎞ ⎛ 5 − 4 2⎞  \n2 A− A2 = 2 ⋅ ⎜⎝⎜ − 24 − 14 − 11⎠ − ⎝ − 24 − 14 − 11⎠ ⋅ ⎜⎜⎝ − 24 − 14 − 11⎠ =  \n⎛ 10 −8 4⎞ ⎛ 9 −8 4⎞ ⎛ 1 0 0⎞  \n= ⎜ 4 − 2 2 ⎟ − ⎜ 4 − 3 2 ⎟ = ⎜0 1 0 ⎟  \n⎜⎝ −8 8 − 2⎠⎟ ⎜⎝−8 8 − 3⎠⎟ ⎜⎝0 0 1⎠⎟  \nb) De la igualdad del apartado a se deduce que:  \n2 A− A2 = I ⇒ A⋅ (2I − A) = I ⇒ A −1 = 2I − A  \n⎛ 1 0 0⎞ ⎛ 5 − 4 2⎞ ⎛ − 3 4 − 2⎞ Luego: A−1 = 2 ⋅ ⎜0 1 0 ⎟ − ⎜ 2 −1 1 ⎟ = ⎜ − 2 3 −1 ⎟  \n⎜⎝0 0 1⎠⎟ ⎜⎝− 4 4 −1⎠⎟ ⎜⎝ 4 − 4 3 ⎠⎟  \n[http://emestrada.wordpress.com](http://emestrada.wordpress.com)  \n⎛ −1 2⎞ ⎛− 3 0⎞ Considera las siguientes matrices A = ⎜⎝ 0 1⎠⎟ y B = ⎜⎝ 2 −1⎠⎟  \na) Calcula A −1 .  \nb) Resuelve la ecuación matricialA⋅ X ⋅ At − B = 2I , donde I es la matriz identidad de orden 2 y At es la matriz traspuesta deA.  \nMATEMÁTICAS II. 2010. RESERVA 3. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.  \nR E S O L U C I Ó N  \na)  \n⎛ 1 0⎞ t ⎛ 1 − 2⎞  \n( A) −1 = (AdA)t = ⎜~~⎝~~−~~ ~~2~~ ~~−~~ ~~1~~ ⎠~~⎟~~ ~~ = ⎜~~⎝~~0~~ ~~−~~ ~~−11~~⎠~~⎟ = ⎜ − 10 21⎟ b)  \n⎜ −10 21⎟ ⋅ ⎝⎜⎛ ac bd⎟⋅ ⎜ −12 01⎟− ⎜ − 32 − 01⎟ = 2 ⎝⎜⎛ 10 01⎟ ⇒⎛− a + 2c −b+ 2d⎞ ⎛−1 0⎞ ⎛−3 0⎞ ⎛ 2 0⎞  \n⇒ ⎜⎝ c d ⎠⎟ ⋅ ⎜⎝ 2 1⎠⎟ − ⎜⎝ 2 −1⎠⎟ = ⎜⎝0 2⎠⎟ ⇒  \n⎛a − 2c − 2b + 4d −b+ 2d⎞ ⎛ 2 0⎞ ⎛−3 0⎞  \n⇒ ⎜⎝ −c + 2d d ⎠⎟ = ⎜⎝0 2⎠⎟ + ⎜⎝ 2 −1⎠⎟ ⇒  \n⎛a − 2c − 2b + 4d −b+ 2d⎞ ⎛−1 0⎞  \n⇒ ⎜⎝ −c + 2d d ⎠⎟ = ⎜⎝ 2 1⎠⎟ ⇒  \na − 2c − 2b + 4d = − 1⎫  \n⇒ −b+ 2d = 0 ⎪⎬⎪ ⇒ a = − 1 ; b = 2 ; c = 0 ; d = 1  \n−c + 2d = 2 ⎪ d = 1 ⎭⎪  \n⎛ −1 2⎞ Luego: X = ⎜⎝ 0 1⎠⎟  \n[http://emestrada.wordpress.com](http://emestrada.wordpress.com)  \n\n| Obtén un vector no nulo v = (a, b, c) , de manera que las matrices siguientes tengan simultáneamente rango 2. |  |  |  |  |  |\n| --- | --- | --- | --- | --- | --- |\n| ⎛ 1\u003Cbr>A = ⎜1\u003Cbr>⎜⎝1 | 1\u003Cbr>0\u003Cbr>1 | a ⎞\u003Cbr>b ⎟\u003Cbr>⎟\u003Cbr>c ⎠⎟ | ⎛ 2\u003Cbr>B = ⎜ 0\u003Cbr>⎜⎝3 | 0\u003Cbr>− 1\u003Cbr>1 | a ⎞\u003Cbr>b ⎟\u003Cbr>⎟\u003Cbr>c ⎠⎟ |\n| MATEMÁTICAS II. 2010. RESERVA 3. EJERCICIO 3. OPCIÓN B. |  |  |  |  |  |\n\nR E S O L U C I Ó N  \nPara que el rango (A) = rango (B) = 2, sus determinantes deben valer cero, luego:  \n1 1 1 0  \n1 1 2 0 3  \na  \nb  \nc  \n0  \n−1  \n1  \n= b  \na  \nb  \nc  \n+ a −","cbCair7B1VDlteWk","https://ap.wps.com/l/cbCair7B1VDlteWk","pdf",44978,6,1,7,"Spanish","es",110,"# Tema 1: Matrices y Determinantes\n## Junio, Ejercicio 3 (Opción A)\n## Reserva 1, Ejercicio 3 (Opción A)\n## Reserva 3, Ejercicio 3 (Opción A)\n## Reserva 3, Ejercicio 3 (Opción B)\n## Reserva 4, Ejercicio 3 (Opción B)\n## Septiembre, Ejercicio 3 (Opción B)","[{\"question\":\"¿Para qué valores de m la matriz A es invertible en el apartado a) del Junio, Ejercicio 3, Opción A?\",\"answer\":\"A es invertible cuando su determinante es distinto de cero. Al factorizar se obtiene m∈{1,3} como ceros del determinante, por lo que A es invertible para m≠1 y m≠3.\"},{\"question\":\"¿Cómo se resuelve la ecuación XA−B^t=C para m=0 en el Junio, Ejercicio 3, Opción A?\",\"answer\":\"Se calcula primero la inversa de A y, usando la ecuación matricial, se despeja X a partir de X=(C+B^t)·A^{-1}. Con el valor m=0 se obtiene la matriz X mostrada en la resolución.\"},{\"question\":\"¿Qué criterio se usa en el Reserva 3, Ejercicio 3, Opción B para que dos matrices A y B tengan simultáneamente rango 2?\",\"answer\":\"Para que el rango sea 2 en matrices cuadradas de orden 3, los determinantes deben ser cero. Se igualan a cero los determinantes de ambas matrices y se resuelve el sistema resultante, dando un vector no nulo v parametrizado por un escalar distinto de cero.\"}]","Matrices y Determinantes (Matemáticas II, 2010) — Problemas Resueltos | PDF",1784036061,11,{"code":4,"msg":32,"data":33},"ok",{"site_id":25,"language":24,"slug":34,"title":13,"keywords":35,"description":14,"schema_data":36,"social_meta":88,"head_meta":90,"extra_data":92,"updated_unix":29},"matrices-and-determinants-mathematics-ii-2010-solved-problems","",{"@graph":37,"@context":87},[38,55,70],{"@type":39,"itemListElement":40},"BreadcrumbList",[41,45,49,52],{"item":42,"name":43,"@type":44,"position":21},"https://docshare.wps.com","Home","ListItem",{"item":46,"name":47,"@type":44,"position":48},"https://docshare.wps.com/es/document/","Document",2,{"item":50,"name":12,"@type":44,"position":51},"https://docshare.wps.com/es/document/examen/",3,{"item":53,"name":13,"@type":44,"position":54},"https://docshare.wps.com/es/document/matrices-and-determinants-mathematics-ii-2010-solved-problems/72288/",4,{"url":53,"name":13,"@type":56,"author":57,"headline":13,"publisher":59,"fileFormat":62,"inLanguage":24,"description":14,"dateModified":63,"datePublished":64,"encodingFormat":62,"isAccessibleForFree":65,"interactionStatistic":66},"DigitalDocument",{"name":9,"@type":58},"Person",{"url":42,"name":60,"@type":61},"DocShare","Organization","application/pdf","2026-08-09","2026-07-14",true,{"@type":67,"interactionType":68,"userInteractionCount":20},"InteractionCounter",{"@type":69},"ViewAction",{"@type":71,"mainEntity":72},"FAQPage",[73,79,83],{"name":74,"@type":75,"acceptedAnswer":76},"¿Para qué valores de m la matriz A es invertible en el apartado a) del Junio, Ejercicio 3, Opción A?","Question",{"text":77,"@type":78},"A es invertible cuando su determinante es distinto de cero. Al factorizar se obtiene m∈{1,3} como ceros del determinante, por lo que A es invertible para m≠1 y m≠3.","Answer",{"name":80,"@type":75,"acceptedAnswer":81},"¿Cómo se resuelve la ecuación XA−B^t=C para m=0 en el Junio, Ejercicio 3, Opción A?",{"text":82,"@type":78},"Se calcula primero la inversa de A y, usando la ecuación matricial, se despeja X a partir de X=(C+B^t)·A^{-1}. Con el valor m=0 se obtiene la matriz X mostrada en la resolución.",{"name":84,"@type":75,"acceptedAnswer":85},"¿Qué criterio se usa en el Reserva 3, Ejercicio 3, Opción B para que dos matrices A y B tengan simultáneamente rango 2?",{"text":86,"@type":78},"Para que el rango sea 2 en matrices cuadradas de orden 3, los determinantes deben ser cero. Se igualan a cero los determinantes de ambas matrices y se resuelve el sistema resultante, dando un vector no nulo v parametrizado por un escalar distinto de cero.","https://schema.org",{"og:url":53,"og:type":89,"og:title":13,"og:site_name":60,"og:description":14},"article",{"robots":91,"canonical":53},"index,follow",{"doc_id":7,"site_id":25},{"code":4,"msg":5,"data":94},[95,100,104,106,110,114,118,122,126,130],{"id":96,"doc_module":4,"doc_module_name":47,"category_name":97,"show_sort_weight":98,"slug":99},39,"Cómic",60,"comic",{"id":101,"doc_module":4,"doc_module_name":47,"category_name":102,"show_sort_weight":98,"slug":103},43,"Estilo de Vida","lifestyle",{"id":11,"doc_module":4,"doc_module_name":47,"category_name":12,"show_sort_weight":98,"slug":105},"exam",{"id":107,"doc_module":4,"doc_module_name":47,"category_name":108,"show_sort_weight":98,"slug":109},44,"General","general",{"id":111,"doc_module":4,"doc_module_name":47,"category_name":112,"show_sort_weight":98,"slug":113},41,"Investigación e Informes","research-report",{"id":115,"doc_module":4,"doc_module_name":47,"category_name":116,"show_sort_weight":98,"slug":117},37,"Literatura","literature",{"id":119,"doc_module":4,"doc_module_name":47,"category_name":120,"show_sort_weight":98,"slug":121},22,"Relatos y Novelas","story-novel",{"id":123,"doc_module":4,"doc_module_name":47,"category_name":124,"show_sort_weight":98,"slug":125},42,"Religión y Espiritualidad","religion-spirituality",{"id":127,"doc_module":4,"doc_module_name":47,"category_name":128,"show_sort_weight":98,"slug":129},40,"Salud y Atención Médica","healthcare",{"id":131,"doc_module":4,"doc_module_name":47,"category_name":132,"show_sort_weight":98,"slug":133},24,"Tecnología","technology"]