[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"doc-detail-72285-es":3,"doc-seo-72285-110":31,"detail-sidebar-cat-0-es-110":93},{"code":4,"msg":5,"data":6},0,"success",{"doc_id":7,"user_id":8,"nickname":9,"user_avatar":10,"doc_module":4,"category_id":11,"category_name":12,"doc_title":13,"doc_description":14,"doc_content":15,"file_id":16,"file_url":17,"file_type":18,"file_size":19,"view_count":20,"is_deleted":4,"is_public":21,"is_downloadable":21,"audit_status":21,"page_count":22,"language":23,"language_code":24,"site_id":25,"html_lang":24,"table_of_contents":26,"faqs":27,"seo_title":28,"seo_description":14,"update_tm":29,"read_time":30},72285,962084926284,"Aurora","https://ap-avatar.wpscdn.com/davatar_29158cc5080c5b710cf443261637dec0",38,"Examen","Matrices y determinantes (Selectividad Andalucía 2007, Matemáticas II)","Recopila y resuelve ejercicios de Selectividad de Andalucía 2007 de Matemáticas II sobre el tema “Matrices y determinantes”. Se analiza la matriz A con parámetro, se calcula B=A^2−2A, se determinan los valores de λ para los que B es invertible y se obtiene B^{-1} para un λ concreto. También se estudian determinantes y condiciones de invertibilidad en matrices 2x2 con parámetros, así como la obtención de inversas y resolución de ecuaciones matriciales. Incluye casos con relación 2A^2−A=I y cálculo de inversas mediante manipulación algebraica, además de parámetros donde el determinante de A−2I se anula.","PROBLEMAS RESUELTOSSELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2007  \nMATEMÁTICAS II  \nTEMA 1: MATRICES Y DETERMINANTES  \n􀁸 Junio, Ejercicio 3, Opción A  \n􀁸 Reserva 1 , Ejercicio 3, Opción A  \n􀁸 Reserva 3, Ejercicio 3, Opción A  \n􀁸 Reserva 4, Ejercicio 3, Opción A  \n􀁸 Septiembre, Ejercicio 3, Opción A  \n[http://emestrada. wordpress.com](http://emestrada. wordpress.com)  \n􀀃1 −− 1 􀀄 Considera la matriz A = 􀀊􀀇􀀊􀀇􀀊1 λ􀀋􀀈  \na) Determina la matriz B = A 2 − 2A .  \nb) Determina los valores de λ para los que la matriz B tiene inversa.  \nc) Calcula B −− 1 para λ = 1.  \nMATEMÁTICAS II. 2007. JUNIO. EJERCICIO 3. OPCIÓN A  \nR E S O L U C I Ó N  \na)  \n􀀃1 −1 􀀄 􀀃1 −1 􀀄 􀀃1 −1 􀀄 􀀃 0 −1− λ 􀀄 􀀃1 −1 􀀄 􀀃 −2 1− λ 􀀄  \nB = 􀀇􀀊 1 λ 􀀋􀀈 ⋅ 􀀇􀀊1 λ 􀀋􀀈 − 2 ⋅ 􀀇􀀊1 λ 􀀋􀀈 = 􀀊􀀇 1+ λ −1+ λ 2 􀀋􀀈 − 2 ⋅ 􀀊􀀇 1 λ 􀀋􀀈 = 􀀊􀀇 λ −1 λ2 − 2λ −1􀀋􀀈 b) Calculamos el determinante de B.  \n B  = λ−1 λ 2 1 = −λ 2 + 2λ + 3 = 0 ⇒ λ = −1 ; λ = 3 Luego tiene inversa para todos los valores de λ ≠ −1 y 3  \n􀀃− 2 0 􀀄  \nc) Calculamos la matriz inversa de B = 􀀇 􀀈  \n􀀊 0 − 2 􀀋  \nd t 􀀇􀀃−2 0 􀀄􀀈 t 􀀇􀀃−2 0 􀀄􀀈 􀀃􀀇 −  1  0 􀀄􀀈 B −1 =  (B )  = 􀀊 0 − 2 􀀋  =  􀀊 0 − 2 􀀋 = 􀀇 2 􀀈  B  4 4 􀀇􀀊 0 − ~~ ~~12~~ ~~ 􀀋􀀈  \n􀀆 α 1 􀀇 􀀆 2 0􀀇  \nConsidera las matrices A = 􀀈 􀀉 y B = 􀀈 􀀉  \n􀀊 2 3􀀋 􀀊 −− 1 1􀀋  \na) Determina los valores de α para los que la matrizA tiene inversa. b) Para α = 1 , calcula A −− 1 y resuelve la ecuación matricial A ⋅X = B . MATEMÁTICAS II. 2007. RESERVA 1. EJERCICIO 3.OPCIÓN A.  \nR E S O L U C I Ó N  \na) Calculamos el determinante de A  \nα  \n2  \n1 3  \n= 3α − 2 = 0 ⇒ α = ~~ ~~23  \nLuego, la matriz A tiene inversa para todos los valores de α ≠ ~~ ~~23 .  \n􀀆1 1 􀀇  \nb) Calculamos la matriz inversa de A = 􀀈 􀀉  \n􀀊2 3 􀀋  \nA−1 =  ( Ad )t = 􀀆􀀊􀀈 − 31 − 21􀀇􀀋􀀉 t = 􀀆􀀊􀀈 − 32 − 11􀀇􀀋􀀉 = 􀀆􀀈 3 −1􀀇􀀉 A  1 1 􀀊− 2 1􀀋  \nA⋅ X = B ⇒ X = A −1 ⋅ B = 􀀆􀀈 3 −1􀀇􀀉 ⋅ 􀀈􀀆 2 0 􀀇􀀉 = 􀀆􀀈 7 −1 􀀇􀀉􀀊− 2 1􀀋 􀀊−1 1 􀀋 􀀊−5 1􀀋  \na) Calcula el valor de m para el que la matriz A = 􀀌􀀊􀀄􀀊􀀄􀀌􀀄􀀊􀀄􀀌􀀌11 0m􀀅􀀅􀀅􀀅􀀍􀀍􀀍􀀍􀀋 verifica la relación 2A 2 − A = I ydetermina A −− 1 para dicho valor de m.  \nb) Si M es una matriz cuadrada que verifica la relación 2M 2 − M = I , determina la expresión de M −− 1 en función de My de I.  \nMATEMÁTICAS II. 2007. RESERVA 3. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.  \nR E S O L U C I Ó N  \na)  \n2 A2 − A = I ⇒ 2 􀀄􀀊􀀌 11  \n0 􀀅 􀀄1 0 􀀅 􀀄1 0 􀀅 􀀄1 0 􀀅􀀋⋅ 􀀊 􀀋− 􀀊 􀀋 = 􀀊 􀀋 ⇒  \nm 􀀍 􀀌1 m 􀀍 􀀌1 m 􀀍 􀀌0 1 􀀍  \n2m +1 =  \n2m2 − m =  \n0 􀀃 1 􀀉 ⇒ m = − ~~  ~~1 􀀎 2  \n􀀄1 0 􀀅  \nCalculamos la matriz inversa de A = 􀀊 1 −  1 􀀋  \n􀀌 2 􀀍  \nb)  \n2M 2 − M = I ⇒ 2M 2 ⋅ M −1 − M ⋅ M −1 = I ⋅ M −1 ⇒ M −1 = 2M − I  \n􀀂 3 0 λ􀀃  \nSea A la matriz 􀀄 − 5 λ − 5 􀀅 e I la matriz identidad de orden 3.  \n􀀈􀀄􀀈􀀄􀀈 λ 0 3 􀀉􀀅  \na) Calcula los valores de λ para los que el determinante de A −− 2I es cero.  \nb) Calcula la matriz inversa de A −− 2I para λ = − 2 .  \nMATEMÁTICAS II. 2007. RESERVA 4. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.  \na)  \nA  \nA − 2I  =  \nb) Calculamos la matriz  \n􀀂 3 􀀄  \n− 2I = 􀀄 −5 􀀈􀀄 λ  \n1 0 −5 λ − 2 λ 0  \ninversa de  \nR E S O L U C I Ó N  \n0 λ  \n0  \nλ 􀀃 􀀂1  \n􀀅 􀀄−5 􀀅 − 2 􀀄 0 3 􀀉􀀅 􀀈􀀄 0  \n0 1  \n0  \n0 􀀃 􀀂  \n􀀅 􀀄  \n0 􀀅 = 􀀄 1 􀀉􀀅 􀀈􀀄   \n1 0  \n−5 λ −  \nλ 0  \nλ 􀀃  \n􀀅  \n2 −5 􀀅  \n1 􀀉􀀅  \nλ  \n−5  \n1  \n= −λ 3 + 2λ2 + λ − 2 = 0 ⇒ λ = 2 ; λ = 1 ;λ = −1  \n􀀂 1  \n􀀄 A − 2I = 􀀄 −5  \n􀀈􀀄 −2  \n0  \n−4  \n0  \n−2 􀀃  \n􀀅  \n−5 􀀅  \n1 􀀉􀀅  \n􀀄􀀂􀀄 − 40 53 − 80􀀃􀀅 t 􀀄􀀂􀀄 −145 − 03 −185􀀃􀀅 􀀄􀀂 − ~~ ~~13  \n(A − 2I )−1 = ~~ ~~((AA−−2I2I)d~~ ~~)t~~ ~~ = ~~ ~~􀀈􀀄~~ ~~−8~~ ~~1152~~ ~~−4~~ ~~􀀉􀀅~~ ~~ = ~~ ~~􀀈􀀄~~ ~~−8~~ ~~102~~ ~~−4~~ ~~􀀉􀀅 = 􀀄 ~~  ~~542 􀀈􀀄 − 3  \n0  \n 1  \n−  \n4  \n0  \n2  􀀃  \n− 3 􀀅  \n 5 􀀅  \n4 􀀅  \n􀀅  \n−  1 􀀅  \n3 􀀉  \n􀀁 1 m 􀀂  \nSean I la matriz identidad de orden 2 y A = 􀀆 􀀇  \n􀀈1 1 􀀉  \na) Encuentra los valores de m para los cuales se cumple que( A − I)2 = O , donde O es la matriz nulade orden 2.  \nb) Para m = 2, halla la matrizX tal que AX − 2At = O , donde At denota la matriz traspuesta de A. MATEMÁTICAS II. 2007. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 3. OPCIÓN A  \nR E S O L U C I Ó N  \na)  \n􀀁􀀆􀀈 01 m0􀀂􀀉􀀇 ⋅ 􀀁􀀆􀀈 01 m0􀀂􀀉􀀇 = 􀀁􀀆􀀈 00 00􀀂􀀉􀀇 ⇒ 􀀁􀀆􀀈 m0 0m􀀂􀀉􀀇 = 􀀁􀀆􀀈 0  \n0  \nb) Calculamos el determinante de B.  \nAX − 2At = O ⇒ 􀀆􀀁􀀈11 21􀀂􀀉􀀇 ⋅ 􀀁􀀈􀀆 ac bd 􀀂􀀉􀀇 = 2 ⋅ 􀀁􀀈􀀆 12 11􀀂􀀉􀀇 ⇒ 􀀁􀀈􀀆 aa2cc  \n􀀌a + 2c = 2  \n􀀍 ","cbCaiiWoY8AmxN1e","https://ap.wps.com/l/cbCaiiWoY8AmxN1e","pdf",330834,7,1,6,"Spanish","es",110,"# Matrices y determinantes\n## Cálculo de B=A^2-2A y estudio de inversibilidad\n## Determinantes para condiciones de invertibilidad\n## Inversas de matrices con parámetros\n## Uso de relaciones matriciales (2A^2-A=I)\n## Determinante de A-2I y cálculo de (A-2I)^{-1}\n## Condiciones con (A-I)^2=O y ecuaciones AX-2A^t=O","[{\"question\":\"¿Cómo se determinan los valores de λ para los que la matriz B=A^2−2A tiene inversa?\",\"answer\":\"Se calcula el determinante de B y se iguala a cero para encontrar los valores que anulan la invertibilidad. La matriz tiene inversa para todos los λ que no anulan dicho determinante.\"},{\"question\":\"¿Qué procedimiento se sigue para calcular la inversa de una matriz 2x2 con parámetros?\",\"answer\":\"Se evalúa el determinante para imponer la condición de que sea distinto de cero, y luego se aplica la fórmula de la inversa de una matriz 2x2 usando cofactores/adjunta. Para el valor pedido del parámetro se sustituye y se obtiene la inversa explícita.\"},{\"question\":\"¿Cómo se obtiene M^{-1} a partir de la relación 2M^2−M=I?\",\"answer\":\"Partiendo de 2M^2−M=I, se multiplica adecuadamente para aislar M^{-1}. El resultado final expresa M^{-1} como combinación lineal de M e I.\"}]","Matrices y determinantes (Selectividad Andalucía 2007, Matemáticas II) | PDF",1784036051,9,{"code":4,"msg":32,"data":33},"ok",{"site_id":25,"language":24,"slug":34,"title":13,"keywords":35,"description":14,"schema_data":36,"social_meta":88,"head_meta":90,"extra_data":92,"updated_unix":29},"matrices-and-determinants-andalusia-selectivity-2007-mathematics-ii","",{"@graph":37,"@context":87},[38,55,70],{"@type":39,"itemListElement":40},"BreadcrumbList",[41,45,49,52],{"item":42,"name":43,"@type":44,"position":21},"https://docshare.wps.com","Home","ListItem",{"item":46,"name":47,"@type":44,"position":48},"https://docshare.wps.com/es/document/","Document",2,{"item":50,"name":12,"@type":44,"position":51},"https://docshare.wps.com/es/document/examen/",3,{"item":53,"name":13,"@type":44,"position":54},"https://docshare.wps.com/es/document/matrices-and-determinants-andalusia-selectivity-2007-mathematics-ii/72285/",4,{"url":53,"name":13,"@type":56,"author":57,"headline":13,"publisher":59,"fileFormat":62,"inLanguage":24,"description":14,"dateModified":63,"datePublished":64,"encodingFormat":62,"isAccessibleForFree":65,"interactionStatistic":66},"DigitalDocument",{"name":9,"@type":58},"Person",{"url":42,"name":60,"@type":61},"DocShare","Organization","application/pdf","2026-08-17","2026-07-14",true,{"@type":67,"interactionType":68,"userInteractionCount":20},"InteractionCounter",{"@type":69},"ViewAction",{"@type":71,"mainEntity":72},"FAQPage",[73,79,83],{"name":74,"@type":75,"acceptedAnswer":76},"¿Cómo se determinan los valores de λ para los que la matriz B=A^2−2A tiene inversa?","Question",{"text":77,"@type":78},"Se calcula el determinante de B y se iguala a cero para encontrar los valores que anulan la invertibilidad. La matriz tiene inversa para todos los λ que no anulan dicho determinante.","Answer",{"name":80,"@type":75,"acceptedAnswer":81},"¿Qué procedimiento se sigue para calcular la inversa de una matriz 2x2 con parámetros?",{"text":82,"@type":78},"Se evalúa el determinante para imponer la condición de que sea distinto de cero, y luego se aplica la fórmula de la inversa de una matriz 2x2 usando cofactores/adjunta. Para el valor pedido del parámetro se sustituye y se obtiene la inversa explícita.",{"name":84,"@type":75,"acceptedAnswer":85},"¿Cómo se obtiene M^{-1} a partir de la relación 2M^2−M=I?",{"text":86,"@type":78},"Partiendo de 2M^2−M=I, se multiplica adecuadamente para aislar M^{-1}. El resultado final expresa M^{-1} como combinación lineal de M e I.","https://schema.org",{"og:url":53,"og:type":89,"og:title":13,"og:site_name":60,"og:description":14},"article",{"robots":91,"canonical":53},"index,follow",{"doc_id":7,"site_id":25},{"code":4,"msg":5,"data":94},[95,100,104,106,110,114,118,122,126,130],{"id":96,"doc_module":4,"doc_module_name":47,"category_name":97,"show_sort_weight":98,"slug":99},39,"Cómic",60,"comic",{"id":101,"doc_module":4,"doc_module_name":47,"category_name":102,"show_sort_weight":98,"slug":103},43,"Estilo de Vida","lifestyle",{"id":11,"doc_module":4,"doc_module_name":47,"category_name":12,"show_sort_weight":98,"slug":105},"exam",{"id":107,"doc_module":4,"doc_module_name":47,"category_name":108,"show_sort_weight":98,"slug":109},44,"General","general",{"id":111,"doc_module":4,"doc_module_name":47,"category_name":112,"show_sort_weight":98,"slug":113},41,"Investigación e Informes","research-report",{"id":115,"doc_module":4,"doc_module_name":47,"category_name":116,"show_sort_weight":98,"slug":117},37,"Literatura","literature",{"id":119,"doc_module":4,"doc_module_name":47,"category_name":120,"show_sort_weight":98,"slug":121},22,"Relatos y Novelas","story-novel",{"id":123,"doc_module":4,"doc_module_name":47,"category_name":124,"show_sort_weight":98,"slug":125},42,"Religión y Espiritualidad","religion-spirituality",{"id":127,"doc_module":4,"doc_module_name":47,"category_name":128,"show_sort_weight":98,"slug":129},40,"Salud y Atención Médica","healthcare",{"id":131,"doc_module":4,"doc_module_name":47,"category_name":132,"show_sort_weight":98,"slug":133},24,"Tecnología","technology"]