[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"doc-detail-72281-es":3,"doc-seo-72281-110":31,"detail-sidebar-cat-0-es-110":92},{"code":4,"msg":5,"data":6},0,"success",{"doc_id":7,"user_id":8,"nickname":9,"user_avatar":10,"doc_module":4,"category_id":11,"category_name":12,"doc_title":13,"doc_description":14,"doc_content":15,"file_id":16,"file_url":17,"file_type":18,"file_size":19,"view_count":20,"is_deleted":4,"is_public":21,"is_downloadable":21,"audit_status":21,"page_count":22,"language":23,"language_code":24,"site_id":25,"html_lang":24,"table_of_contents":26,"faqs":27,"seo_title":28,"seo_description":14,"update_tm":29,"read_time":30},72281,962084926284,"Aurora","https://ap-avatar.wpscdn.com/davatar_29158cc5080c5b710cf443261637dec0",38,"Examen","Matrices y Determinantes - Seleccionividad Andalucía 2003 Matemáticas II TEMA 1","Material de preparación de Matemáticas II (Seleccionividad Andalucía 2003), Tema 1: Matrices y determinantes, con varios ejercicios resueltos. Se trabajan propiedades de determinantes y matrices para calcular determinantes bajo potencias y escalados (A^3, k·A), hallar determinantes al transformar columnas, y obtener inversas condicionadas por el determinante. También se incluyen problemas de ecuaciones matriciales del tipo A·X+(…) = (…), y sistemas dependientes de parámetros (m, λ, x), determinando cuándo existe inversa y resolviendo casos concretos.","PROBLEMAS RESUELTOSSELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2003  \nMATEMÁTICAS II  \nTEMA 1: MATRICES Y DETERMINANTES  \n􀁸 Junio, Ejercicio 3 , Opción B  \n􀁸 Reserva 2 , Ejercicio 3 , Opción A  \n􀁸 Reserva 2 , Ejercicio 3 , Opción B  \n􀁸 Reserva 3, Ejercicio 3 , Opción B  \n􀁸 Reserva 4, Ejercicio 3, Opción B  \n􀁸 Septiembre, Ejercicio 3, Opción A  \n[http://emestrada. wordpress.com](http://emestrada. wordpress.com)  \nSean C1, C2 y C3 las columnas primera, segunda y tercera, respectivamente, de una matriz cuadrada A de orden 3 cuyo determinante vale 5. Calcula, indicando las propiedades que utilices:  \na) El determinante de A3.  \nb) El determinante de A-1.  \nc) El determinante de 2 A.  \nd) El determinante de una matriz cuadrada cuyas columnas primera, segunda y tercera son, respectivamente, 3C1―C3 ; 2C3 y C2.  \nMATEMÁTICAS II. 2003. JUNIO. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.  \nR E S O L U C I Ó N  \na) Sabemos que  A 3  =  A  ⋅  A  ⋅  A  = 5 ⋅5⋅5 = 125  \nb) Sabemos que: A⋅ A−1 = I ⇒  A⋅ A−1  =  A  ⋅  A−1  =  I  = 1 ⇒  A−1  = ~~ ~~~~ ~~1A~~ ~~~~ ~~ ; luego en nuestro caso será:  A−1  = ~~ ~~~~ ~~1A~~ ~~~~ ~~ = ~~ ~~15  \nc) Si An es una matriz cuadrada de orden n, sabemos que se cumple que  k ⋅ A  = kn ⋅  A  ; en nuestro caso como A es una matriz de orden 3, tenemos que:  2A  = (2)3 ⋅  A  = 8⋅5 = 40  \nd)  \n 3C1 − C3 2C3 C 2  =  3C1 2C3 C 2  −  C 3 2C3 C 2  = 6⋅  C 1 C 3 C 2  − 2 C 3 C 3 C 2  == − 6⋅  C 1 C 2 C 3  − 2 ⋅ 0 = − 6 ⋅5 = − 30  \nEn el primer paso hemos aplicado la propiedad de los determinantes que dice: “Si una fila ocolumna de un determinante es suma de dos sumandos, dicho determinante puede descomponerseen suma de dos determinantes colocando en dicha fila o columna el primer y segundo sumando, respectivamente. En el segundo paso hemos aplicado la propiedad que dice: ”. En el segundo paso hemos aplicado la propiedad que dice: “Si en un determinante se cambian entre si dos filas ocolumnas, el determinante cambia de signo” y “Si un determinante tiene dos filas o columnas iguales, el determinante vale 0”.  \n\n| 􀀅\u003Cbr>Dadas las matrices A = 􀀇􀀇􀀉\u003Cbr>que A ⋅X = (B ⋅ At )t . | − 1 1\u003Cbr>3 − 2\u003Cbr>1 5 | 0􀀆 􀀅 − 5 0 􀀈 y B = 􀀇 1 − 1 􀀊􀀈 􀀇􀀉􀀇􀀉 −2 | 0\u003Cbr>− 1\u003Cbr>4 | 3􀀆􀀈\u003Cbr>1 􀀈 halla la matriz X que cumple −3 􀀊􀀈 |\n| --- | --- | --- | --- | --- |\n| MATEMÁTICAS II. 2003. RESERVA 2. EJERCICIO 3. OPCIÓN A. |  |  |  |  |\n\nR E S O L U C I Ó N  \nSi vamos operando y aplicando las propiedades de las matrices, tenemos:  \nA⋅ X = (B ⋅ At )t ⇒ A⋅ X = ( At )t ⋅ B t ⇒ A⋅ X = A⋅ B t ⇒ A −1 ⋅ A⋅ X = A −1 ⋅ A⋅ B t ⇒ X = B t  \n􀀅−5 􀀇  \nLuego la matriz X será: X = 􀀇 0  \n􀀉􀀇 3  \n1  \n−1  \n1  \n−2 􀀆  \n􀀈  \n4 􀀈  \n−3 􀀊􀀈  \n\n| 􀀇 Dada la matriz A = 􀀋􀀋􀀉􀀋􀀉  | 1\u003Cbr>m 2\u003Cbr>m | 1 1\u003Cbr>0 | 1􀀈\u003Cbr>1 􀀊 , se pide:\u003Cbr>1􀀌􀀊 |\n| --- | --- | --- | --- |\n| a) Determina los valores de m para los que la matrizA tiene inversa.\u003Cbr>b) Calcula, si es posible, la matriz inversa de A para m = 2. MATEMÁTICAS II. 2003. RESERVA 2. EJERCICIO 3. OPCIÓN B. |  |  |  |\n\nR E S O L U C I Ó N  \na) La matriz A tendrá inversa para aquellos valores de m que no anulen el determinante de A. Vamos acalcular el determinante de A e igualarlo a cero.  \n| A | =1 − m 2 = 0 ⇒ m = ±1 .  \nLuego admite inversa para todos los valores de m ≠ ±1 .  \nb) Vamos a calcular la matriz inversa de A para m = 2.  \nA−1 =  ( Ad )t = 􀀇􀀋􀀉 −110 −213 −223􀀈􀀌 t = 􀀇􀀋 −122 −112 − 033􀀈􀀌 = 􀀇􀀉 − 132  \n A  −3 −3 􀀉  32  \n􀀋􀀉 3  \n1 3  \n1 3  \n2  \n−  \n3  \n􀀈  \n0 􀀊  \n􀀊  \n−1 􀀊  \n􀀊  \n1􀀌􀀊  \n\n| a) Se sabe que el determinante de una matriz cuadrada A de orden 3 vale ―2. ¿Cuánto vale el determinante de la matriz 4 A ?. |  |  |\n| --- | --- | --- |\n| 􀀄 1\u003Cbr>b) Dada la matriz B = 􀀆 λ􀀆􀀊􀀆􀀊 0 | 2 0 0 1\u003Cbr>1 −− 2 | 􀀅\u003Cbr>􀀇 ,¿ para qué valores de λla matriz 3 B + B2 no tiene inversa?.􀀇\u003Cbr>􀀋 |\n| MATEMÁTICAS II. 2003. RESERVA 3. EJERCICIO 3. OPCIÓN B. |  |  |\n\nR E S O L U C I Ó N  \na) Si An es una matriz cuadrada de orden n, sabemos que se cumple que  k ⋅ A  = kn ⋅  A  ; en nuestro caso como A es una matriz de orden 3, tenemos que: 4A  = (4)3 ⋅  A  = (64) ⋅ (−2) = − 128  \nb) Vamos a calcular primero la matri","cbCaibOiweLp39eE","https://ap.wps.com/l/cbCaibOiweLp39eE","pdf",419190,4,1,7,"Spanish","es",110,"# Tema 1: Matrices y determinantes\n## Determinantes con propiedades (potencias, escalados y transformaciones)\n## Determinante e inversa según parámetros\n## Inversa y producto de matrices\n## Ecuaciones matriciales con parámetros","[{\"question\":\"¿Cómo se calcula el determinante de A^3 cuando det(A)=5 y A es de orden 3?\",\"answer\":\"Se usa que det(A^n)=det(A)^n. Con orden 3: det(A^3)=5^3=125.\"},{\"question\":\"¿Para qué valores de m la matriz del ejercicio tiene inversa?\",\"answer\":\"La matriz tiene inversa para los valores de m que no anulen su determinante. 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El ejercicio determina los valores de λ resolviendo la ecuación resultante del determinante.\"}]","Matrices y Determinantes - Seleccionividad Andalucía 2003 Matemáticas II TEMA 1 | PDF",1784036020,11,{"code":4,"msg":32,"data":33},"ok",{"site_id":25,"language":24,"slug":34,"title":13,"keywords":35,"description":14,"schema_data":36,"social_meta":87,"head_meta":89,"extra_data":91,"updated_unix":29},"matrices-and-determinants-andalucia-selectivity-2003-mathematics-ii-theme-1","",{"@graph":37,"@context":86},[38,54,69],{"@type":39,"itemListElement":40},"BreadcrumbList",[41,45,49,52],{"item":42,"name":43,"@type":44,"position":21},"https://docshare.wps.com","Home","ListItem",{"item":46,"name":47,"@type":44,"position":48},"https://docshare.wps.com/es/document/","Document",2,{"item":50,"name":12,"@type":44,"position":51},"https://docshare.wps.com/es/document/examen/",3,{"item":53,"name":13,"@type":44,"position":20},"https://docshare.wps.com/es/document/matrices-and-determinants-andalucia-selectivity-2003-mathematics-ii-theme-1/72281/",{"url":53,"name":13,"@type":55,"author":56,"headline":13,"publisher":58,"fileFormat":61,"inLanguage":24,"description":14,"dateModified":62,"datePublished":63,"encodingFormat":61,"isAccessibleForFree":64,"interactionStatistic":65},"DigitalDocument",{"name":9,"@type":57},"Person",{"url":42,"name":59,"@type":60},"DocShare","Organization","application/pdf","2026-08-09","2026-07-14",true,{"@type":66,"interactionType":67,"userInteractionCount":20},"InteractionCounter",{"@type":68},"ViewAction",{"@type":70,"mainEntity":71},"FAQPage",[72,78,82],{"name":73,"@type":74,"acceptedAnswer":75},"¿Cómo se calcula el determinante de A^3 cuando det(A)=5 y A es de orden 3?","Question",{"text":76,"@type":77},"Se usa que det(A^n)=det(A)^n. 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