[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"doc-detail-72289-es":3,"doc-seo-72289-110":31,"detail-sidebar-cat-0-es-110":93},{"code":4,"msg":5,"data":6},0,"success",{"doc_id":7,"user_id":8,"nickname":9,"user_avatar":10,"doc_module":4,"category_id":11,"category_name":12,"doc_title":13,"doc_description":14,"doc_content":15,"file_id":16,"file_url":17,"file_type":18,"file_size":19,"view_count":20,"is_deleted":4,"is_public":21,"is_downloadable":21,"audit_status":21,"page_count":22,"language":23,"language_code":24,"site_id":25,"html_lang":24,"table_of_contents":26,"faqs":27,"seo_title":28,"seo_description":14,"update_tm":29,"read_time":30},72289,962084926284,"Aurora","https://ap-avatar.wpscdn.com/davatar_29158cc5080c5b710cf443261637dec0",38,"Examen","Matrices y Determinantes 2011 Matemáticas II TEMA 1","Conjunto de problemas resueltos de Matemáticas II (2011) sobre el TEMA 1: matrices y determinantes, con ejercicios de distintas convocatorias (junio y septiembre) y opciones/reservas. Incluye el cálculo de parámetros para los que una matriz no es invertible mediante determinantes, la resolución de ecuaciones matriciales del tipo A·X + A = 2I y variantes con matrices traspuestas. También trata potencias y propiedades como A^3 = −I, determinación de inversas, rangos y evaluación de expresiones matriciales como A^100 o polinomios en matrices.","PROBLEMAS RESUELTOSSELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2011  \nMATEMÁTICAS II  \nTEMA 1: MATRICES Y DETERMINANTES  \n• Junio, Ejercicio 3, Opción B  \n• Reserva 1, Ejercicio 3, Opción A  \n• Reserva 1, Ejercicio 3, Opción B  \n• Reserva 2, Ejercicio 3, Opción A  \n• Reserva 3, Ejercicio 3, Opción A  \n• Reserva 3, Ejercicio 3, Opción B  \n• Reserva 4, Ejercicio 3, Opción B  \n• Septiembre, Ejercicio 3, Opción A  \n• Septiembre, Ejercicio 3, Opción B  \n[http://emestrada.wordpress.com](http://emestrada.wordpress.com)  \n⎛λ+ 1 0⎞ Dada la matriz A = ⎜⎝ 1 − 1⎠⎟  \na) Calcula los valores de λ para los que la matriz A 2 + 3A no tiene inversa.  \nb) Para λ = 0 , halla la matriz X que verifica la ecuación A⋅ X + A = 2I , siendo I la matrizidentidad de orden 2.  \nMATEMÁTICAS II. 2011. JUNIO. EJERCICIO 3. OPCIÓN B  \nR E S O L U C I Ó N  \na) Calculamos la matriz A 2 + 3A :  \nA 2 + 3A = ⎜λ +1 1 − 01⎟⋅ ⎜λ +1 1 − 01⎟ + 3⎜λ +1 1 − 01⎟ = ⎜λ 2  λ3+ 4 − 02⎟  \nCalculamos el determinante de dicha matriz  \nA 2 + 3A  =  \n\n| λ 2 + 5λ + 4 λ+ 3 | 0 − 2 |\n| --- | --- |\n\n= − 2λ 2 −10λ − 8 = 0 ⇒ λ = − 1 ; λ = − 4  \nLuego, la matriz A 2 + 3A no tiene inversa para λ = − 1 y λ = − 4 , ya que su determinante vale cero.  \nb) Resolvemos la ecuación matricial.  \na = 1 ⎫  \n⎛ 1 0⎞ ⎛ a b ⎞ ⎛ 1 0⎞ ⎛ 2 0⎞ ⎛ a b ⎞ ⎛ 1 0⎞ b = 0 ⎪  \n⎜ ⎟⋅ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⇒ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⇒ ⎬  \n⎝ 1 −1⎠ ⎝ c d ⎠ ⎝ 1 −1⎠ ⎝ 0 2⎠ ⎝a − c b− d⎠ ⎝−1 3⎠ a − c = −1⎪ b − d = 3 ⎭⎪  \nResolviendo el sistema, tenemos que la matriz que nos piden es: X = ⎛⎜⎝ 12 − 03⎟  \n[http://emestrada.wordpress.com](http://emestrada.wordpress.com)  \n1  \nSean A y B dos matrices cuadradas de orden 3 cuyos determinantes son A = ~~ ~~ y B  = − 2 .  \n2  \nHalla:  \na) A 3   \nb) A − 1   \nc) − 2A  \nd) AB t  , siendo B t la matriz traspuesta de B.  \ne) El rango de B.  \nMATEMÁTICAS II. 2011. RESERVA 1. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.  \nR E S O L U C I Ó N  \na) A 3  = A⋅ A⋅ A = A ⋅ A ⋅ A =  1 ⋅  1 ⋅  1 =  1  \n2 2 2 8  \nb) Sabemos que: A⋅ A−1 = I ⇒  A⋅ A−1  =  A  ⋅  A−1  =  I  = 1 ⇒  A−1  = 1  ; luego en nuestro caso  \n A   \n1 1  \nserá:  A−1  = ~~ ~~ =  = 2  \n A   1  \n2  \nc) Si An es una matriz cuadrada de orden n, sabemos que se cumple que  k ⋅ A  = kn ⋅  A  ; en nuestro caso como A es una matriz de orden 3, tenemos que:  − 2A  = (− 2)3 ⋅  A  = (−8) ⋅  1 = − 4  \n2  \nd) A⋅ B t  = A ⋅ B t  = A ⋅ B  =  1 ⋅ (− 2) = − 1 2  \ne) Como B  = − 2 ≠ 0 , el rango de B es 3.  \n[http://emestrada.wordpress.com](http://emestrada.wordpress.com)  \n\n| Dada la matriz | ⎛\u003Cbr>A = \u003Cbr>⎝ | 0\u003Cbr>1\u003Cbr>−1 | 3\u003Cbr>− 4\u003Cbr>3 | 4⎞\u003Cbr>− 5 ⎟\u003Cbr>4 ⎠⎟ |\n| --- | --- | --- | --- | --- |\n| a) Demuestra que se verifica la igualdad A3 = − I , siendo I la matriz identidad de orden 3.\u003Cbr>b) Justifica que A es invertible y halla su inversa.\u003Cbr>c) Calcula razonadamente A 100\u003Cbr>MATEMÁTICAS II. 2011. RESERVA 1. EJERCICIO 3.OPCIÓN B. |  |  |  |  |\n\nR E S O L U C I Ó N  \na)  \nLuego, se cumple que  \n⎛  \n2 = ⎜  \nA ⎝⎜  \n⎛  \nA 3 = ⎝  \n0  \n1  \n−1  \n0  \n1  \n−1  \nA 3 = − I  \n3  \n−4  \n3  \n3  \n−4  \n3  \n4⎞ ⎛ 0  \n−5 ⎟ ⋅ ⎜ 1  \n4⎠⎟ ⎜⎝ −1  \n4⎞ ⎛−1  \n−5 ⎟ ⋅ ⎜ 1  \n4⎠⎟ ⎜⎝−1  \n3  \n−4  \n3  \n0  \n4  \n−3  \n4⎞ ⎛−1  \n−5 ⎟ = ⎜ 1  \n4⎠⎟ ⎜⎝−1  \n1⎞ ⎛−1  \n−43⎠ = ⎝ 00  \n0  \n4  \n−3  \n0  \n−1  \n0  \n1⎞  \n4 ⎟  \n⎟  \n−3⎠⎟  \n0⎞  \n0 ⎟  \n−1⎠⎟  \nb) Calculamos  A  =  \n\n| 0 | 3 | 4 |\n| --- | --- | --- |\n| 1 | − 4 | − 5 |\n| −1 | 3 | 4 |\n\n= 15 +12 −16 −12 = −1≠ 0 ⇒ Tiene inversa  \nCalculamos la inversa  \n⎛−1 1 −1⎞ t ⎛−1 0 1⎞  \n⎜ 0 4 − 3 ⎟ ⎜ 1 4 4 ⎟  \n⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛ 1 0 −1⎞  \n( A) −1 = (AdA)t = ~~⎝ ~~1~~ ~~1~~ ~~−~~ ~~3~~⎠ ~~ = ~~⎝~~−1~~ ~~31~~ ~~−~~ ~~3~~⎠~~ = ⎜ −1 − 4 − 4 ⎟⎜⎝ 1 3 3⎠⎟  \nc)  \n⎛ 0 − 3 − 4⎞  \nA 100 = A 99 ⋅ A = (A 3 ) 33 ⋅ A = (−I) 33 ⋅ A = − A = ⎜ −1 4 5 ⎟⎜⎝ 1 − 3 − 4⎠⎟  \n[http://emestrada.wordpress.com](http://emestrada.wordpress.com)  \nConsidera las matrices  \n⎛ 1  \n⎜  \nA = ⎜ 0  \n⎜⎝0  \n0  \nλ  \n− 1  \n0 ⎞  \n1 ⎟  \nλ ⎠⎟ y  \n⎛ 0  \nB = ⎜ 1  \n⎜⎝0  \n0  \n0  \n1  \n1⎞  \n0 ⎟  \n⎟  \n0⎠⎟  \na) ¿Hay algún valor de λ para el que A no tiene inversa?.  \nb) Para λ = 1 , resuelve la ecuación matricial A −1 ⋅ X ⋅ A = BMATEMÁTICAS II. 2011. RESERVA 2. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.  \nR","cbCaims2p1O6fgCf","https://ap.wps.com/l/cbCaims2p1O6fgCf","pdf",101770,6,1,10,"Spanish","es",110,"# TEMA 1: Matrices y determinantes\n## Junio 2011 - Ejercicio 3 (Opción B)\n## Reserva 1 - Ejercicio 3 (Opción A)\n## Reserva 1 - Ejercicio 3 (Opción B)\n## Septiembre 2011 - Ejercicio 3 (Opción A y B)\n## Reserva 2 - Ejercicio 3 (Opción A)\n## Reserva 3 - Ejercicio 3 (Opción A)","[{\"question\":\"¿Cómo se determina para qué valores de λ la matriz A^2 + 3A no tiene inversa?\",\"answer\":\"Se calcula el determinante de A^2 + 3A y se iguala a cero. Los valores de λ que anulan el determinante son los que hacen que no exista inversa.\"},{\"question\":\"Para λ = 0, ¿cómo se halla la matriz X que verifica A·X + A = 2I?\",\"answer\":\"Se reescribe la ecuación matricial como un sistema usando las expresiones de A, X y la identidad I. 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