[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"doc-detail-72363-es":3,"doc-seo-72363-110":31,"detail-sidebar-cat-0-es-110":93},{"code":4,"msg":5,"data":6},0,"success",{"doc_id":7,"user_id":8,"nickname":9,"user_avatar":10,"doc_module":4,"category_id":11,"category_name":12,"doc_title":13,"doc_description":14,"doc_content":15,"file_id":16,"file_url":17,"file_type":18,"file_size":19,"view_count":20,"is_deleted":4,"is_public":21,"is_downloadable":21,"audit_status":21,"page_count":22,"language":23,"language_code":24,"site_id":25,"html_lang":24,"table_of_contents":26,"faqs":27,"seo_title":28,"seo_description":14,"update_tm":29,"read_time":30},72363,1099523882367,"Hazel","https://ap-avatar.wpscdn.com/davatar_9964176cb1d06d4a9deccf72a44ae3dc",38,"Examen","Matemáticas II Tema 4: Funciones 2009 (Problemas Resueltos)","Conjunto de problemas resueltos de Matemáticas II (Andalucía, 2009) centrados en el tema de funciones. Incluye planteamientos y soluciones para estudiar continuidad y derivabilidad por tramos, calcular asíntotas y determinar extremos relativos mediante derivadas. También aborda el análisis de crecimiento/decrecimiento y la obtención de parámetros en funciones polinómicas a partir de condiciones de inflexión, mínimos locales y pendientes de tangente. Se complementa con problemas de optimización vinculados a áreas de figuras geométricas.","PROBLEMAS RESUELTOSSELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2009  \nMATEMÁTICAS II  \nTEMA 4: FUNCIONES  \n􀁸 Junio, Ejercicio 1 , Opción A  \n􀁸 Junio, Ejercicio 1 , Opción B  \n􀁸 Reserva 1 , Ejercicio 1 , Opción A  \n􀁸 Reserva 1, Ejercicio 1 , Opción B  \n􀁸 Reserva 2, Ejercicio 1 , Opción A  \n􀁸 Reserva 2, Ejercicio 1 , Opción B  \n􀁸 Reserva 3, Ejercicio 1 , Opción A  \n􀁸 Reserva 3, Ejercicio 1 , Opción B  \n􀁸 Reserva 4 , Ejercicio 1 , Opción A  \n􀁸 Reserva 4 , Ejercicio 1 , Opción B  \n􀁸 Septiembre, Ejercicio 1 , Opción B  \n[http://emestrada. wordpress.com](http://emestrada. wordpress.com)  \n⎛ 1 2  ⎞  \nCalcula 1 ⎝⎜ ln x − x 2 − 1⎠⎟ siendo ln la función logaritmo neperiano. MATEMÁTICAS II. 2009. JUNIO. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.  \nR E S O L U C I Ó N  \n1 ⎛⎜⎝  \n1 2  \n− ln x x 2 −  \n1⎟ = ∞ − ∞ = 1  \nx 2 −1− 2 ln x 0  \n=(x 2 −1) ⋅ln x 0  \n2  \n2 +  \n= lim x 2 2 = 2 + 2 = 1 x→1 2ln x + 2x + 2x − x −21 0 + 2 + 2 − 0  \nx x x  \n2x − 2  1 = 1 ~~ ~~2x~~ ~~1  \n2x ⋅ln x + (x −1) ⋅ ~~ ~~x  \n0  \n=  =  \n0  \n\n| ⎧ 1\u003Cbr>⎪ ~~ ~~\u003Cbr>Sea la función f : \\ → \\ definida por f ( x ) = ⎨ x − 1\u003Cbr>⎩⎪x 2 − 3x − 1\u003Cbr>a) Estudia su continuidad y derivabilidad.\u003Cbr>b) Determina sus asíntotas y sus extremos relativos.\u003Cbr>c) Esboza la gráfica def. | si\u003Cbr>si | x \u003C 0\u003Cbr>x ≥ 0 |\n| --- | --- | --- |\n| MATEMÁTICAS II. 2009. JUNIO. EJERCICIO 1. OPCIÓN B. |  |  |\n\nR E S O L U C I Ó N  \na) La función x~~ ~~~~ ~~1 es continua y derivable en \\ − { 1 } , luego, lo es parax \u003C 0 . La funciónx 2 − 3x −1 es continua y derivable en \\ , luego, lo es para x ≥ 0 .  \nVamos a estudiar, por tanto, la continuidad y derivabilidad en x = 0 .  \n1) f (0) = − 1 lim ~~ ~~~~ ~~ = − 1 ⎫⎪  \n2) x→0 − x 2 1 ⎬ ⇒ lim0 f (x) = − 1 xl0 + x − 3x −1 = − 1⎭⎪ x→  \n3) f (0) = limf (x) = − 1  \nx→0  \nLa función es continua en x = 0 .  \nLa función derivada es: f '(x) = ⎨⎧⎪~~ (~~x−11~~) ~~2 si x \u003C 0  \n⎪⎩ 2x − 3 si x ≥ 0  \nff ''((00))  −13⎬ ⇒ f '(0 − ) ≠ f '(0 + ) ⇒ No derivable en x = 0  \nb) La función x~~ ~~~~ ~~1 no tiene asíntota vertical para x \u003C 0 .  \nlim  1  = 1  = 0 ⇒ y = 0 es una asíntota horizontal.  \nx→−∞ x −1 − ∞  \nLa función x 2 − 3x −1 como es polinómica, no tiene asíntotas.  \nIgualamos la derivada a cero para calcular los máximos y mínimos.  \n~~(~~x−11~~) ~~2~~ ~~ = 0 ⇒ No tiene solución. 2x − 3 = 0 ⇒ x = ~~ ~~32  \n\n| Función | D | C |\n| --- | --- | --- |\n\n\n|  | ⎛⎜⎝ 0, ~~ ~~32⎟ | ⎛ 3 ⎞\u003Cbr>⎜⎝  2 , ∞ ⎠⎟ |\n| --- | --- | --- |\n| Signoy ' | ― | + |\n\nLuego, tiene un mínimo en ⎛⎜⎝ ~~ ~~32 , − ~~ ~~134⎟ c) Hacemos un esbozo de la función.  \nSea f : \\ → \\ la función definida por f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d . Calcula los valores de a, b, c y  \nd sabiendo que f verifica:  \n-El punto (0,1) es un punto de inflexión de la gráfica def.  \n-f tiene un mínimo local en el punto de abscisa x = 1 .  \n-La recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 2 tiene de pendiente 1. MATEMÁTICAS II. 2009. RESERVA 1. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.  \nR E S O L U C I Ó N  \nLa función será: f (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d . Calculamos su derivada primera y segunda:  \nf '(x) = 3ax2 + 2bx + c ; f ''(x) = 6ax + 2b  \n-El punto (0,1) es un punto de inflexión de la gráfica def  \n⎧Pasa por ⇒ ⎨⎩f ''(0) = 0  \n(0,1) ⇒ a ⋅ 0 3 + b ⋅ 0 2 + c ⋅ 0 + d = 1 ⇒ 6a ⋅ 0 + 2b = 0  \n-f tiene un mínimo local en el punto de abscisa x = 1 ⇒ f '(1) = 0 ⇒ 3a ⋅12 + 2b ⋅1+ c = 0 .  \n-La recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 2 tiene de pendiente 1  \n⇒ f '(2) = 1 ⇒ 3a ⋅ 2 2 + 2b ⋅ 2 + c = 1  \nResolviendo el sistema resulta: a =  1 ; b = 0 ; c = −  1 ; d = 1 ⇒ f (x) =  1 x 3 −  1 x +1  \n9 3 9 3  \nSe divide el segmento de longitud L = 20 cm en dos trozos. Con uno de los trozos se forma un cuadrado y con el otro un rectángulo en el que la base es el doble de la altura. Calcula lalongitud de cada uno de los trozos para que la suma de las áreas del cuadrado y del rectángulosea mínima.  \nMATEMÁTICAS II. 2009. RESERVA 1. EJERCICIO 1. OPCIÓN B.  \nR E S O L U C I Ó N  \n2y  \ny  \na) Función que queremos que sea mínimo: S min = x 2 + 2y 2  \nb) Relación entre las variables: 4x","cbCaiooEcGeT69qR","https://ap.wps.com/l/cbCaiooEcGeT69qR","pdf",96197,7,1,14,"Spanish","es",110,"# Tema 4: Funciones\n## Junio, Ejercicio 1 (Opción A)\n## Junio, Ejercicio 1 (Opción B)\n## Reserva 1, Ejercicio 1 (Opción A)\n## Reserva 1, Ejercicio 1 (Opción B)\n## Reserva 2, Ejercicio 1 (Opción A)\n## Reserva 2, Ejercicio 1 (Opción B)","[{\"question\":\"¿Cómo se determina la continuidad y derivabilidad en funciones definidas por tramos?\",\"answer\":\"Se comprueba la continuidad evaluando el límite en los puntos de cambio del dominio. Para derivabilidad se comparan las derivadas laterales en esos puntos y se contrasta si coinciden.\"},{\"question\":\"¿Qué pasos se siguen para hallar asíntotas y extremos relativos?\",\"answer\":\"Para asíntotas se estudian límites que permitan identificar valores horizontales o verticales. 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