[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"doc-detail-72330-es":3,"doc-seo-72330-110":31,"detail-sidebar-cat-0-es-110":92},{"code":4,"msg":5,"data":6},0,"success",{"doc_id":7,"user_id":8,"nickname":9,"user_avatar":10,"doc_module":4,"category_id":11,"category_name":12,"doc_title":13,"doc_description":14,"doc_content":15,"file_id":16,"file_url":17,"file_type":18,"file_size":19,"view_count":20,"is_deleted":4,"is_public":21,"is_downloadable":21,"audit_status":21,"page_count":22,"language":23,"language_code":24,"site_id":25,"html_lang":24,"table_of_contents":26,"faqs":27,"seo_title":28,"seo_description":14,"update_tm":29,"read_time":30},72330,1099523885074,"Ivy","https://ap-avatar.wpscdn.com/davatar_9964176cb1d06d4a9deccf72a44ae3dc",38,"Examen","Matemáticas II TEMA 3 Espacio afín y Euclídeo (Selectividad Andalucía 2000)","Conjunto de problemas resueltos de Matemáticas II (selectividad Andalucía 2000) sobre el Tema 3: espacio afín y euclídeo. Incluye apartados para hallar vértices de un rectángulo en el espacio a partir de puntos y condiciones de perpendicularidad, calcular ecuaciones y planos mediante vectores director y normales, determinar puntos medios y simétricos respecto a rectas o planos, así como encontrar distancias desde el origen a rectas definidas por intersecciones de planos. Se presentan resoluciones paso a paso con tratamiento paramétrico e interpretación geométrica.","PROBLEMAS RESUELTOSSELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2000  \nMATEMÁTICAS II  \nTEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO  \n• Junio, Ejercicio 3, Opción B  \n• Reserva 1, Ejercicio 4, Opción A  \n• Reserva 1, Ejercicio 3, Opción B  \n• Reserva 2, Ejercicio 3, Opción B  \n• Reserva 3, Ejercicio 4, Opción A  \n• Reserva 3, Ejercicio 4, Opción B  \n• Reserva 4, Ejercicio 3, Opción A  \n• Septiembre, Ejercicio 3, Opción A  \n• Septiembre, Ejercicio 3, Opción B  \nLos puntos A(3, 3, 5) y B(3, 3, 2) son vértices consecutivos de un rectángulo ABCD. El vértice  \ny − 6 z + 1  \nC consecutivo de B está en la recta de ecuaciones x = = .  \n−1 2  \na) Determina el vértice C.  \nb) Determina el vértice D.  \nMATEMÁTICAS II. 2000. JUNIO. EJERCICIO 3. OPCIÓN B  \nR E S O L U C I Ó N  \n→  \na) Calculamos el vector AB = (0, 0, −3) . Caculamos la ecuación de un plano que pasa por B y es perpendicular a la racta que pasa poA y B.  \n−3z + D = 0 ⇒ −6 + D = 0 ⇒ D = 6 ⇒ −3z + 6 = 0 ⇒ −z + 2 = 0  \nEl vértice es el punto de corte de la recta que nos dan y el plano que hemos calculado.  \n⎧x = t  \nx =  y − 6 =  z +1 ⇒ ⎨⎪y = 6 − t  \n−1 2 ⎪⎩z = −1+ 2t 1− 2t + 2 = 0 ⇒ t = ~~ ~~32 ⇒ C = ⎜32 , ~~ ~~92 , 2⎟  \nb) Calculamos las coordenadas del punto medio de la diagonal AC.  \nM = ~~ ~~A~~ ~~+2~~ ~~C = ⎝⎜⎛ ~~ ~~94 , ~~ ~~154 , ~~ ~~72⎟  \nEste punto M también es el punto medio de la diagonal BD, luego:  \n⎧ a + 3 ⎪ 2 ⎪  \nM = B~~ ~~+2D = ⎜94 , ~~ ~~154 , ~~ ~~72⎟ ⇒ ⎨b~~ ~~+2~~ ~~3  \n⎪ c + 2 ⎪⎩ 2  \n9 3  \n= ~~ ~~ ⇒ a = ~~  ~~4 2 = 154 ⇒ b = ~~ ~~92  \n=  7 ⇒ c = 5 2  \nLuego, el vértice D es: D = ⎜ ~~ ~~32~~ ~~,~~ ~~92 , 5⎟  \nHalla la distancia entre el origen de coordenadas y la recta intersección de los planos de ecuaciones respectivas: x + y + 2z = 4 ; 2 x − y + z = 2  \nMATEMÁTICAS II. 2000. RESERVA 1. EJERCICIO 4. OPCIÓN A  \nR E S O L U C I Ó N  \nPasamos la recta a paramétricas.  \nx + y + 2z = 2x −y + z =  \n⎧x = 2 − t  \n4⎫⎬ ⇒ ⎨⎪y = 2 − t ⇒ B = (2 − t, 2 − t, t )  \n2 ⎭ ⎪⎩z = t  \nEl vector →AB = (2 − t, 2 − t, t ) y el vector director de la recta (−1, −1,1) , tienen que ser perpendiculares, luego:  \n→AB⋅ (−1, −1,1) = 0 ⇒ −2 + t − 2 + t + t = 0 ⇒ t = 43 La distancia viene dada por el módulo del vector →AB = ⎜ ~~ ~~23 , ~~ ~~23 , ~~ ~~43⎟ , luego:  \nCalculamos los vectores: d =  \n→  \nAB  \n+ +  \n= ~~ ~~ =  \n= 1'63 u  \nCalcula las coordenadas del punto simétrico del (1, −3, 7) respecto de la recta dada por las ecuaciones x − 1 = y + 3 = z~~ ~~−2~~ ~~4  \nMATEMÁTICAS II. 2000. RESERVA 1. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.  \nR E S O L U C I Ó N  \nEl punto A' simétrico del punto A respecto de una recta está situado en un plano que pasando por el punto A es perpendicular a dicha recta y además la distancia que hay desde el punto A a la recta es lamisma que la que hay desde el puntoA' hasta dicha recta.  \nA  \nM  \nA’  \nCalculamos la ecuación del plano que pasando por el punto A es perpendicular a la recta. Como la rectaes perpendicular al plano, el vector director de dicha recta y el vector normal del plano son paralelos, luego:  \nVector normal del plano = vector director de la recta = (1,1,2)  \nLa ecuación de todos los planos perpendiculares a dicha recta es: x + y + 2z + D = 0 Como nos interesa el que pasa por el punto A (1, −3, 7)  \n1− 3 + 2 ⋅ 7 + D = 0 ⇒ D = − 12  \nCalculamos las coordenadas del punto de intersección de la recta con el plano (M); para ello sustituimos la ecuación de la recta en la del plano:  \n1⋅ (1 + t) +1⋅ (−3 + t) + 2 ⋅ (4 + 2t) −12 = 0 ⇒ t = 1  \nluego las coordenadas del puntoM son: x = 1+1 = 2; y = −3 +1 = −2; z = 4 + 2 = 6  \nComo el punto M es el punto medio del segmento AA', si llamamos (a,b,c) a las coordenadas del punto A', se debe verificar que:  \n1~~ ~~a = 2; a = 3 ; −3b = −2;b = − 1 ; 7~~ ~~+2~~ ~~c = 6; c = 5  \nCalcula el punto de la recta de ecuaciones x − 1 = ~~ ~~y~~ ~~+2~~ ~~2 = z1 más cercano al punto A(1, −1,1) . MATEMÁTICAS II. 2000. RESERVA 2. EJERCICIO 3. OPCIÓN B  \nR E S O L U C I Ó N  \nPasamos la recta a paramétricas.  \n⎧x = 1+ t  \nx −1 =  y + 2 =  z +1 ⇒ ⎨⎪y = −2 + 2t ⇒ B = (1 + t, ","cbCaiix2g0CnL4dv","https://ap.wps.com/l/cbCaiix2g0CnL4dv","pdf",81997,3,1,10,"Spanish","es",110,"# Junio. Ejercicio 3. Opción B\n# Reserva 1. Ejercicio 4. Opción A\n# Reserva 1. Ejercicio 3. Opción B\n# Reserva 2. Ejercicio 3. Opción B\n# Reserva 3. Ejercicio 4. Opción A\n# Septiembre. Ejercicio 3. Opción A\n# Septiembre. Ejercicio 3. Opción B","[{\"question\":\"¿Cómo se determina el vértice C y luego el vértice D del rectángulo ABCD?\",\"answer\":\"Se calcula el vector AB a partir de A y B y se obtiene un plano que pasa por B y es perpendicular a la recta AB. 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