[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"doc-detail-72282-es":3,"doc-seo-72282-110":31,"detail-sidebar-cat-0-es-110":96},{"code":4,"msg":5,"data":6},0,"success",{"doc_id":7,"user_id":8,"nickname":9,"user_avatar":10,"doc_module":4,"category_id":11,"category_name":12,"doc_title":13,"doc_description":14,"doc_content":15,"file_id":16,"file_url":17,"file_type":18,"file_size":19,"view_count":20,"is_deleted":4,"is_public":21,"is_downloadable":21,"audit_status":21,"page_count":22,"language":23,"language_code":24,"site_id":25,"html_lang":24,"table_of_contents":26,"faqs":27,"seo_title":28,"seo_description":14,"update_tm":29,"read_time":30},72282,962084926284,"Aurora","https://ap-avatar.wpscdn.com/davatar_29158cc5080c5b710cf443261637dec0",38,"Examen","Matemáticas II. Tema 1: Matrices y Determinantes (2004) - Problemas Resueltos","Conjunto de problemas resueltos de Matemáticas II para Andalucía 2004, centrado en el Tema 1: matrices y determinantes. Incluye operaciones con matrices y sus transpuestas, cálculo de productos como A·B, A·C y combinaciones con transposición, y análisis de cuándo existen inversas mediante forma cuadrada y determinante no nulo. También aborda ejercicios de evaluación de determinantes usando propiedades: sacar factores comunes, cambiar el signo al permutar filas/columnas, descomponer por suma en filas/columnas y anular cuando hay filas o columnas iguales, además de casos con potencias y condiciones sobre matrices.","PROBLEMAS RESUELTOSSELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2004  \nMATEMÁTICAS II  \nTEMA 1: MATRICES Y DETERMINANTES  \n􀁸 Junio, Ejercicio 3 , Opción B  \n􀁸 Reserva 2 , Ejercicio 3 , Opción A  \n􀁸 Reserva 3 , Ejercicio 3 , Opción B  \n􀁸 Reserva 4 , Ejercicio 3 , Opción B  \n[http://emestrada. wordpress.com](http://emestrada. wordpress.com)  \n\n| 􀀁 1\u003Cbr>Considera las matrices: A = 􀀃\u003Cbr>􀀇 0 | 0 1 | 􀀁 1 0􀀂\u003Cbr>1 􀀂 􀀃 􀀄\u003Cbr>2􀀈􀀄 ; B = 􀀇􀀃􀀃 00 10􀀈􀀄 y | 􀀁 1 0􀀂 C = 􀀃 0 2 􀀄\u003Cbr>􀀇􀀃􀀇 1 0􀀈􀀄\u003Cbr>las matrices transpuestas de A, B y C, |\n| --- | --- | --- | --- |\n| a) Calcula A ⋅B ; A ⋅ C ; At ⋅Bt y Ct ⋅ At , siendo At ; Bt y Ct |  |  |  |\n| respectivamente.\u003Cbr>b) Razona cuáles de las matrices A, B, C y A·B tienen inversa y en los casos en que la respuesta sea afirmativa, halla la correspondiente matriz inversa.\u003Cbr>MATEMÁTICAS II. 2004. JUNIO. EJERCICIO 3. OPCIÓN B. |  |  |  |\n\nR E S O L U C I Ó N  \na)  \n􀀁1 0 􀀂  \nA⋅ B = 􀀁􀀃􀀇 10 01 12􀀂􀀈􀀄 ⋅ 􀀃􀀇􀀃 00 10􀀈 = 􀀁􀀇􀀃 10 01􀀂􀀈􀀄  \n􀀁1 0 􀀂  \nA⋅C = 􀀁􀀃􀀇 10 01 12􀀂􀀈􀀄 ⋅ 􀀃􀀇􀀃 01 20􀀈 = 􀀁􀀇􀀃 22 02􀀂􀀈􀀄  \n􀀁1 0 􀀂 􀀁1 0 0 􀀂  \n􀀃 􀀄 􀀁1 0 0 􀀂 􀀃 􀀄 At ⋅ B t = 􀀇􀀃 01 12􀀈􀀄 ⋅ 􀀃􀀇0 1 0 􀀈􀀄 = 􀀃􀀇 01 12 00􀀈􀀄  \n􀀁1 0 􀀂 C t ⋅ At = 􀀁􀀇􀀃 10 02 10􀀂􀀈􀀄 ⋅ 􀀇 01 12􀀈 = 􀀁􀀇􀀃 20 22􀀂􀀈􀀄  \nb) Solamente la matriz A⋅ B tiene inversa ya que es cuadrada y su determinante es distinto de cero.  \n1 0  \n A⋅ B  =   = 1  \n0 1  \n(A⋅ B)−1 = ~~ ~~((AA⋅~~ ~~BB)d~~ ~~)t~~ ~~ =  􀀁􀀃􀀇 10 101􀀂􀀈􀀄 t  =  10 1 01􀀂􀀈􀀄 = 􀀇􀀃􀀁 10 01􀀂􀀈􀀄  \nDenotamos por M t a la matriz transpuesta de una matriz M.  \n􀀅a b 􀀆  \na) Sabiendo que A = 􀀉􀀇􀀉􀀇􀀇􀀉c d 􀀊􀀈 y que det(A) = 4; calcula los siguientes determinantes:  \ndet ( −−3At ) y  \n2b  \n−3d  \n2a  \n−3c  \nb) Sea Ila matriz identidad de orden 3 y sea B una matriz cuadrada tal que B 3 = I . Calcula det(B).  \nc) Sea C una matriz cuadrada tal que C −− 1 = C t . ¿Puede ser det(C) = 3? Razona la respuesta. MATEMÁTICAS II. 2004. RESERVA 2. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.  \nR E S O L U C I Ó N  \na) Si An es una matriz cuadrada de orden n, sabemos que se cumple que  k ⋅ A  = kn ⋅  A  ; en nuestro caso como A es una matriz de orden 2, tenemos que:  − 3At  = (−3)2 ⋅  At  = 9 ⋅ 4 = 36 , ya que  \ntambién se cumple que:  A  =  At   \n2b  \n−3d  \n2a  \n−3c  \n= 2 ⋅ (−3) ⋅  \nb  \nd  \na  \n= −6 ⋅ (−1) c  \na  \nc  \nb  \nd  \n= 6 ⋅ 4 = 24  \nb)  B 3  = I  ⇒  B  ⋅  B  ⋅  B  = I  ⇒  B 3 = 1 ⇒  B  = 1 = 1  \nc) Sabemos que: C ⋅ C −1 = I ⇒  C  ⋅  C −1  =  I  = 1  \n\n|  |  |  |  |\n| --- | --- | --- | --- |\n\nSi  C  = 3 ⇒  C −1  =  1 ⇒  C t  =  1 , lo cual es falso, ya que:  C  =  C t  \n3 3  \n\n| Se sabe que |  | a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 | = −− 2 : Calcula, indicando las propiedades que utilices, los siguientes |  |  |  |  |\n| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |\n| determinantes: |  |  |  |  |  |  |  |\n| a) | 3a11\u003Cbr>a\u003Cbr>21\u003Cbr>a31 3a12\u003Cbr>a\u003Cbr>22\u003Cbr>a32 15a13\u003Cbr>5a23\u003Cbr>5a33 ; b) 3a21\u003Cbr>a\u003Cbr>11\u003Cbr>a31 3a22\u003Cbr>a\u003Cbr>12\u003Cbr>a32 3a23\u003Cbr>a\u003Cbr>13\u003Cbr>a33 ; c) |  |  | a 11\u003Cbr>a21 − a31\u003Cbr>a 31 | a 12\u003Cbr>a22 − a32\u003Cbr>a 32 | a 13\u003Cbr>a23 − a33\u003Cbr>a 33 |  |\n| MATEMÁTICAS II. 2004. RESERVA 3. EJERCICIO 3. OPCIÓN B. |  |  |  |  |  |  |  |\n\nR E S O L U C I Ó N  \na)  \n\n| 3a11\u003Cbr>a\u003Cbr>21\u003Cbr>a31 | 3a12\u003Cbr>a\u003Cbr>22\u003Cbr>a32 | 15a13\u003Cbr>5a23\u003Cbr>5a33 | = 3⋅5 ⋅ | a11\u003Cbr>a21\u003Cbr>a31 | a12\u003Cbr>a22\u003Cbr>a32 | a13\u003Cbr>a23\u003Cbr>a33 |\n| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |\n\n= 15 ⋅ (−2) = −30  \nEn el primer paso hemos aplicado la propiedad de los determinantes que dice: “Si una fila ocolumna de un determinante está multiplicada por un mismo número, dicho número podemos sacarlo fuera del determinante multiplicándolo”.  \nb)  \n\n| 3a21\u003Cbr>a11\u003Cbr>a31 | 3a22\u003Cbr>a12\u003Cbr>a32 | 3a23\u003Cbr>a13\u003Cbr>a33 | = 3⋅ | a21\u003Cbr>a11\u003Cbr>a31 | a22\u003Cbr>a12\u003Cbr>a32 | a23\u003Cbr>a13\u003Cbr>a33 | = − 3⋅ | a11\u003Cbr>a21\u003Cbr>a31 | a12\u003Cbr>a22\u003Cbr>a32 | a13\u003Cbr>a23\u003Cbr>a33 |\n| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |\n\n= −3⋅ (−2) = 6  \nEn el primer paso hemos aplicado la propiedad de los determinantes que dice: “Si una fila ocolumna de un determinante está multiplicada por un mismo número, dicho número podemos sacarlo fuera del determinante multiplicándolo”. En el segundo pa","cbCaitNmJgY2huu7","https://ap.wps.com/l/cbCaitNmJgY2huu7","pdf",281937,4,1,5,"Spanish","es",110,"# Tema 1: Matrices y determinantes\n## Junio: Ejercicio 3 (Opción B)\n## Reserva 2: Ejercicio 3 (Opción A)\n## Reserva 3: Ejercicio 3 (Opción B)\n## Reserva 4: Ejercicio 3 (Opción B)","[{\"question\":\"¿Cómo se calculan los productos de matrices y sus transpuestas (A·B, A·C, At·Bt y Ct·At) en el ejercicio de junio 2004?\",\"answer\":\"Se sustituyen las matrices dadas por sus valores y se efectúan los productos indicados. Para las transpuestas, primero se obtienen At, Bt y Ct y después se calculan los productos correspondientes según el orden solicitado.\"},{\"question\":\"¿Qué criterio determina si A, B, C y A·B tienen inversa?\",\"answer\":\"Una matriz tiene inversa si es cuadrada y su determinante es distinto de cero. 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