[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"doc-detail-69453-es":3,"doc-seo-69453-110":31,"detail-sidebar-cat-0-es-110":92},{"code":4,"msg":5,"data":6},0,"success",{"doc_id":7,"user_id":8,"nickname":9,"user_avatar":10,"doc_module":4,"category_id":11,"category_name":12,"doc_title":13,"doc_description":14,"doc_content":15,"file_id":16,"file_url":17,"file_type":18,"file_size":19,"view_count":20,"is_deleted":4,"is_public":21,"is_downloadable":21,"audit_status":21,"page_count":22,"language":23,"language_code":24,"site_id":25,"html_lang":24,"table_of_contents":26,"faqs":27,"seo_title":28,"seo_description":14,"update_tm":29,"read_time":30},69453,1099513958762,"Logic","https://ap-avatar.wpscdn.com/avatar/1000023916a998db790?x-image-process=image/resize,m_fixed,w_180,h_180&k=1784791008015729253",38,"Examen","Problemas de Selectividad de Matemáticas II Resueltos Comunidad de Madrid 2002 Opción A y B","Recopilación de problemas de Selectividad de Matemáticas II de la Comunidad de Madrid (año 2002), con soluciones desarrolladas para las opciones A y B. Incluye ejercicios de geometría analítica (circunferencias tangentes y lugar geométrico), rectas en el espacio (posiciones relativas y distancias), álgebra lineal (inversas, relaciones para potencias de matrices y valores de parámetros), además de una aplicación a optimización geométrica con parábola y cálculo de áreas, cerrando con sistemas y determinantes parametrizados en matrices.","Problemas de Selectividad de Matem􀀓aticas II Comunidad de Madrid  \n(Resueltos)  \nIsaac Musat Herv􀀓as  \n22 de mayo de 2013  \nCap􀀓􀀐tulo 3 A~no 2002  \n3.1. Modelo 2002-Opci􀀓on A  \nProblema 3.1.1 (2 puntos) Se considera una varilla AB de longitud 1 . El extremo A de esta varilla recorre completamente la circunferencia deecuaci􀀓on: x2 + y2 􀀀 4x 􀀀 2y + 1 = 0; la varilla se mantiene en todo momento tangente a dicha circunferencia.  \na) (1 punto) Determinar el lugar geom􀀓etrico descrito por el extremo B de la varilla.  \nb) (1 punto) Obtener la ecuaci􀀓on cartesiana de dicho lugar geom􀀓etrico.  \nSoluci􀀓on:  \na) Veamos un dibujo aproximado:  \nComo se puede ver en la 􀀌gura el segmento CA = CA0 = r radio dela circunferencia descrita por el punto A. El segmento AB = A0 B 0 , yaque la varilla suponemos que siempre es del mismo tama~no. El 􀀓angulo  =yCA0 00BC0 s= 90oon igu.aLuegles y,oploorsttrian􀀓atno,guClosB rmCBa0dosEnporconloclsupsiu􀀓onnt, oesl  \npunto B recorre una circunfenecia de centro C y radio R = CB, que ser􀀓􀀐a conc􀀓entrica con la dada en el problema.  \nb) La circunferencia x2 + y 2 􀀀 4x 􀀀 2y + 1 = 0 =) C(2; 1); r = 2 .  \nR = qAB  2 + r2 = p5  \nLa circunferencia que buscamos es de centro C(2; 1) y radio R = p5 :  \n(x 􀀀 2)2 + (y 􀀀 1)2 = 5 =) x2 + y 2 􀀀 4x 􀀀 2y = 0 Problema 3.1.2 (2 puntos) Sean las rectas:  \nr : ( x 􀀀x2  z0= 1 s : x2 = y~~ ~~~~ ~~1 = z  \na) (1 punto) Determinar la posici􀀓on relativa de r y s seg􀀓un los valores dea.  \nb) (1 punto) Calcular la distancia entre las rectas r y s cuando a = 􀀀2:  \nSoluci􀀓on:  \na)  \nr : ( uP!􀀀rr(=0; (02; ;;61)) ; s : ( uP!􀀀ss(=0; (12; ;0a); 1) ; P!s = (0 ; 1 ; 1=6)  \n0 0 1 1=6 1 a + 2  \nA = B 2 􀀀2 1 C jAj = ~~ ~~ = 0 =) a = 􀀀2 @ 2 a 1 A ; 3  \nSi a  􀀀2 =) jAj  0 =) las dos rectas se cruzan.  \nSi a = 􀀀2 =) u!􀀀r = u!􀀀s = (2 ; 􀀀2; 1) y adem􀀓as el Rango(A) = 2,  \n􀀌  \n􀀌  \nya que 􀀌􀀌  \n0 2  \n1  \n􀀀2  \n􀀌􀀌  \n􀀌 = 􀀀2  0, luego las rectas son paralelas.􀀌  \n􀀌  \nb) Cuando a = 􀀀2 hemos visto que las rectas son paralelas, luego  \nd (r; s)  \n􀀌􀀌  \nj P!s 􀀂 u!􀀀s j = j 􀀌􀀌􀀌  \n= d (Pr; s) =  \ni j k 0 1 1=6 2 􀀀2 1 ju!􀀀s j  \nj P!s 􀀂 u!􀀀s j ju!􀀀s j  \n=  \np53  \n9  \n􀀌    \n􀀌 p 53  \n􀀌 j = j(4=3 1=3 􀀀2)j = ~~ ~~ u 􀀌 ; ; 3  \n􀀌  \n= 3  \nProblema 3.1.3 (3 puntos) Sea A una matriz cuadrada que veri􀀌ca A2 + 2A = I, donde I denota la matriz identidad.  \na) (1 punto) Demostrar que A es no singular (det(A)  0) y expresa A􀀀1 en funci􀀓on de A e I.  \nb) (1 punto) Calcular dos n􀀓umeros p y q tales que A3 = pI + qA  \nc) (1 punto) Si  \nA = 01 1k !  \ncumple la relaci􀀓on de partida, calcular el valor de k.  \nSoluci􀀓on:  \na) Aplicamos la propiedad jA 􀀁 Bj = jAj 􀀁 j Bj :  \nA2 + 2A = I =) (A + 2I)A = I =) jA + 2Ij jAj = jIj = 1  \nSi jAj = 0 =) 0 = 1, lo que es imposible y, por tanto, la matriz A noes singular (jAj  0) . Esto quiere decir que siempre tiene inversa:  \nA2 + 2A = I =) (A + 2I)A = I =) A􀀀1 = A + 2I  \nb) A2 = I 􀀀 2A  \nA3 = A2 􀀁 A = A 􀀀 2A2 = A 􀀀 2I + 4A = 􀀀2I + 5ALuego p = 􀀀2 y q = 5 .  \nc)  \nA2 = 1k k 2  ! =) A2 +2A = k  2 (kk21)2 ! = 10 01 !  \n=) k = 􀀀2  \nProblema 3.1.4 (3 puntos) Dada la par􀀓abola y = 4 􀀀 x2 , se considera el tri􀀓angulo rect􀀓angulo T(r) formado por los ejes de coordenadas y la tangentea la par􀀓abola en el punto de abcisa x = r > 0.  \na) (2 puntos) Hallar r para que T (r) tenga 􀀓area m􀀓􀀐nima.  \nb) (1 punto) Calcular el 􀀓area de la regi􀀓on delimitada por la par􀀓abola, su tangente en el punto de abcisa x = 1, y el eje vertical.  \nSoluci􀀓on:  \na) La pendiente de la recta tangente en x = r es m = 􀀀2r, y la ecuaci􀀓on de esta recta ser􀀓a:  \ny 􀀀 (4 􀀀 r2 ) = 􀀀2r(x 􀀀 r) =) 2rx + y 􀀀 (4 + r2 ) = 0  \nLa base del tri􀀓angulo que buscamos ser􀀓a el corte de esta recta con eleje de abcisas, haciendo y = 0 =) x = 4~~ ~~+2rr2  \nLa altura del tri􀀓angulo que buscamos ser􀀓a el corte de esta recta con eleje de ordenadas, haciendo x = 0 =) y = 4 + r2 .  \nLa funci􀀓on a minimizar ser􀀓a:  \nS (r) = 4~~ ~~+~~2r~~r2~~ ~~(4~~ ~~+2~~ ~~r2~~ ~~)~~ = ~~(4~~ ~~+4rr2~~ ~~)2  \nS0 (r) = (4~~ ~~+~~ ~~r24)~~ ~~r(32r2~~ ~~􀀀~~ ~~4) = 0 =) r = 􀀆 ~~ ~~2p3","cbCaiagtxmCbn7xx","https://ap.wps.com/l/cbCaiagtxmCbn7xx","pdf",3474906,3,1,65,"Spanish","es",110,"# Capítulo 3 Año 2002\n## 3.1 Modelo 2002 - Opción A\n### Problema 3.1.1\n### Problema 3.1.2\n### Problema 3.1.3\n### Problema 3.1.4\n## 3.2 Modelo 2002 - Opción B\n### Problema 3.2.1\n### Problema 3.2.2","[{\"question\":\"¿Cómo se obtiene el lugar geométrico del extremo B cuando la varilla AB es tangente a la circunferencia dada?\",\"answer\":\"Se usa la geometría de tangencia para deducir el centro y el radio del recorrido de B. Luego se expresa la ecuación cartesiana de la circunferencia resultante a partir de esos parámetros.\"},{\"question\":\"En el Problema 3.1.2, ¿qué condición determina si las rectas son cruzadas, paralelas o coincidentes?\",\"answer\":\"Se analiza el parámetro a comparando direcciones y el rango relacionado con la estructura de las rectas. El valor a = -2 lleva a paralelismo, mientras que para a ≠ -2 las rectas se cruzan.\"},{\"question\":\"En el Problema 3.1.3, si A^2 + 2A = I, ¿cómo se calcula A^-1 y los valores p y q de A^3 = pI + qA?\",\"answer\":\"De A^2 + 2A = I se obtiene (A+2I)A = I, por lo que A^-1 = A + 2I. 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