[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"doc-detail-69462-es":3,"doc-seo-69462-110":31,"detail-sidebar-cat-0-es-110":84},{"code":4,"msg":5,"data":6},0,"success",{"doc_id":7,"user_id":8,"nickname":9,"user_avatar":10,"doc_module":4,"category_id":11,"category_name":12,"doc_title":13,"doc_description":14,"doc_content":15,"file_id":16,"file_url":17,"file_type":18,"file_size":19,"view_count":20,"is_deleted":4,"is_public":21,"is_downloadable":21,"audit_status":21,"page_count":22,"language":23,"language_code":24,"site_id":25,"html_lang":24,"table_of_contents":26,"faqs":27,"seo_title":28,"seo_description":14,"update_tm":29,"read_time":30},69462,687197100911,"Himbo","https://ap-avatar.wpscdn.com/avatar/a000239b6f1da00475?x-image-process=image/resize,m_fixed,w_180,h_180&k=1785132997149421697",38,"Examen","Problemas de Selectividad de Matemáticas II (Resueltos) – Comunidad de Madrid, 2012","Conjunto de problemas resueltos de Matemáticas II de la Selectividad de la Comunidad de Madrid (modelo 2012, opción A y B). Incluye ejercicios de geometría analítica y del espacio (lugar geométrico de puntos equidistantes, planos, rectas y condiciones de continuidad con distancia), además de sistemas lineales con discusión según parámetros. Se abordan también integrales usando la relación entre funciones y primitivas, y se plantean tareas sobre continuidad de funciones definidas por expresiones distintas y determinación de polinomios mediante condiciones de extremos y rectas tangentes.","Problemas de Selectividad de Matem􀀓aticas II Comunidad de Madrid  \n(Resueltos)  \nIsaac Musat Herv􀀓as  \n22 de mayo de 2013  \nCap􀀓􀀐tulo 13  \nA~no 2012  \n13.1. Modelo 2012-Opci􀀓on A  \nProblema 13.1.1 (3 puntos) Dados los puntos A(1; 􀀀1; 2), B(2; 0 ; 􀀀1), C(0; 1 ; 3), se pide:  \na) (2 puntos) . Hallar todos los puntos que equidistan de A, B y C. >Cuales de ellos pertenecen al plano 􀀙 : 2x + 2y + 2z + 1 = 0?  \nb) (1 punto) . Hallar la ecuacion del plano que pasa por A, B y C.  \nSoluci􀀓on:  \na) El lugar geom􀀓etrico de los puntos que equidistan de A, B y C ser􀀓a la recta en la que se cortan los planos mediadores de􀀌nidos entre A y B , entre A y C y entre B y C. Calculando dos de ellos ser􀀓a su􀀌ciente.  \nPlano mediador entre A y B:  \nq (x 􀀀 1)2 + (y + 1)2 + (z 􀀀 2)2 = q (x 􀀀 2)2 + y2 + (z + 1)2 =) 2x+2y􀀀6z+1 = 0 Plano mediador entre A y C:  \nq (x 􀀀 1)2 + (y + 1)2 + (z 􀀀 2)2 = qx2 + (y 􀀀 1)2 + (z 􀀀 3)2 =) x􀀀2y􀀀z+2 = 0  \nr : (  \n2x + 2y 􀀀 6z + 1 = 0 x 􀀀 2y 􀀀 z + 2 = 0  \n8  \n>>  \n>  \n8 u!􀀀r = (7 ; 2 ; 3) >=) r : \u003C: Pr 􀀒􀀀1; 12 ; 0􀀓 =) r :   \n>>  \n:  \nx = 􀀀1 + 7􀀕  \n1 y = + 2􀀕  \n2  \nz = 3􀀕  \nSustituimos en el plano 􀀙:  \n2(􀀀1 + 7􀀕) + 2 􀀒 12 + 2􀀕􀀓 + 2(3􀀕) + 1 = 0 =) 􀀕 = 0  \nEl 􀀓unico punto es el 􀀐􀀀1; ~~1~~2 ; 0􀀑 .  \nb) La ecuaci􀀓on del plano que contiene a los puntos A, B y C vendr􀀓a determinada por:  \n>8  = (1 ; 1 ; 􀀀3) 􀀌  \n􀀙0 : \u003C  = (􀀀1; 2 ; 1) =) 􀀙0 : 􀀌:> A(1; 􀀀1; 2) 􀀌  \n1 1  \n􀀀3  \n􀀀1 x 􀀀 1  \n2 y + 1  \n1 z 􀀀 2  \n􀀌􀀌  \n􀀌  \n􀀌 = 0 =) 7x+2y+3z􀀀11 = 0 􀀌  \n􀀌  \nProblema 13.1.2 (3 puntos) Dado el sistema lineal de ecuaciones:  \n8  \n>  \n\u003C  \n>  \n:  \nx+ y+ 2z = 2 􀀀3x+ 2y+ 3z = 􀀀2 2x+ my 􀀀 5z = 􀀀4  \nse pide:  \na) (2 puntos) . Discutir el sistema seg􀀓un los valores de m.  \nb) (1 punto) Resolverlo para m = 1 .  \nSoluci􀀓on:  \na)  \n  0 1 1 2  2 1  \nA = B 􀀀3 2 3  􀀀2 C =) jAj = 􀀀9m 􀀀 27 = 0 =) m = 􀀀3 @ 2 m 􀀀5  􀀀4 A  \nSi m  3 =) jAj  0 =) Rango(A) = 3 =Rango(A) = no de inc􀀓ognitas =) Sistema compatible determinado.  \nSi m = 3:  \n  0 1 1 2  2 1 􀀌 1 1 􀀌  \nA = @B 􀀀 32 23 􀀀 35  􀀀24 AC =) jAj = 0 ; 􀀌 􀀀3 2 􀀌 = 5  0 =)  \nRango(A) = 2 .  \n􀀌 1 1 2 􀀌  􀀌 􀀌  \n􀀌 􀀀3 2 􀀀2 􀀌 = 􀀀44  0 =) Rango(A) = 3 􀀌 􀀌  \n􀀌 2 3 􀀀4 􀀌  \nComo Rango(A)  Rango(A) =) el sistema es incompatible.  \nb) Para m = 1:  \n8  \n>  \n\u003C  \n>  \n:  \nx+  \n􀀀3x+  \n2x+  \ny+ 2z = 2 >8 2y+ 3z = 􀀀2 =) \u003C  \ny 􀀀 5z = 􀀀4 :>   \nx = 1  \ny = 􀀀1  \nz = 1  \nProblema 13.1.3 (2 puntos) Halla el valor de 􀀕 para que la funci􀀓on  \n8  \n>>  \n>>  \nf (x) = \u003C>  \n>>  \n>  \n:  \ne􀀕 x 2 􀀀 1  \n3x2  \nsin 2xx  \nsi x > 0  \nsi x 􀀔 0  \nsea continua. Razonar la respuesta.  \nSoluci􀀓on:  \nl􀀓􀀐mx􀀀! 0+  \nf (x) = x􀀓􀀐m! 0+ e􀀕~~ ~~x32x~~ ~~1 = 􀀔 00􀀕 = x􀀓􀀐m! 0+ 2􀀕x6ex􀀕~~ ~~x~~ ~~2 = 􀀔 00􀀕 =  \n2􀀕(e􀀕 x 2 + 2􀀕x2 e􀀕 x 2 ) 􀀕 l􀀓􀀐m ~~ ~~ = ~~ ~~  \nx􀀀! 0+ 6 3  \nx􀀓􀀐m! 0 􀀀 f (x) = x􀀓􀀐m! 0 􀀀 sinx2x = 􀀔 00􀀕 = x􀀓􀀐m! 0 􀀀 2~~ ~~co1s~~ ~~2x = 2 Para que f sea continua en x = se tiene que cumplir:  \nl􀀓􀀐m f (x) = l􀀓􀀐m f (x) = f(0) x􀀀! 0+ x􀀀! 0 􀀀  \nLuego  \n􀀕  \n= 2 =) 􀀕 = 6 3  \nProblema 13.1.4 (2 puntos) Dado el polinomio P(x) = x3 + ax2 + bx + c, obtener los valores de a, b y c de modo que se veri􀀌quen las condiciones siguientes:  \n El polinomio P (x) tenga extremos relativos en los puntos de abscisas x = 􀀀1=3, x = 􀀀1.  \n La recta tangente a la gr􀀓a􀀌ca de P (x) en el punto (0; P (0)) sea y = x + 3.  \nSoluci􀀓on:  \nP (x) = x3 + ax2 + bx + c =) P0 (x) = 3x2 + 2ax + b  \n8  \n>>  \n>>  \n>>  \n>  \n\u003C  \n>>  \n>>  \n>>  \n>  \n:  \nP0 􀀒 􀀀 13􀀓 = 0 =) 13 􀀀 2a3 + b = 0 P0 (􀀀1) = 0 =) 3 􀀀 2a + b = 0  \nP0 (0) = 1 pendiente de y = x + 3 =) b = 1  \n=) (  \na = 2  \nb = 1  \nEl punto (0; P (0)) tambi􀀓en pertenece a la recta y = x + 3 luego para x = 0 =) y = 3 =) P (0) = 3 =) c = 3 El polinomio buscado es  \nP (x) = x3 + 2x2 + x + 3  \n.  \n13.2. Modelo 2012-Opci􀀓on B  \nProblema 13.2.1 (3 puntos) Sabiendo que la funcion F (x) tiene derivadaf (x) continua en el intervalo cerrado [2 ; 5], y, ademas, que:  \nF (2) = 1; F (3) = 2; F (4) = 6; F (5) = 3; f(3) = 3 y f(4) = 􀀀1;  \nHallar:  \na) (0,5 puntos). Z25 f (x) dx b) (1 punto). Z23 (5f(x) 􀀀 7) dxc) (1,5 puntos). Z24 F (x)f (x) dx.  \nSoluci􀀓on:  \na) Z25 f (x) dx = F","cbCaikllaFZui8Uq","https://ap.wps.com/l/cbCaikllaFZui8Uq","pdf",3470049,4,1,25,"Spanish","es",110,"# Capítulo 13\n## Modelo 2012 - Opción A\n### Problemas 13.1.1 a 13.1.4\n## Modelo 2012 - Opción B\n### Problemas 13.2.1 a 13.2.4","[{\"question\":\"¿Qué condición garantiza la continuidad de una función definida a trozos en x=0?\",\"answer\":\"Se exige que el límite por la izquierda y por la derecha coincidan y además que coincidan con el valor de la función en x=0. 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