[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"doc-detail-72365-es":3,"doc-seo-72365-110":31,"detail-sidebar-cat-0-es-110":92},{"code":4,"msg":5,"data":6},0,"success",{"doc_id":7,"user_id":8,"nickname":9,"user_avatar":10,"doc_module":4,"category_id":11,"category_name":12,"doc_title":13,"doc_description":14,"doc_content":15,"file_id":16,"file_url":17,"file_type":18,"file_size":19,"view_count":20,"is_deleted":4,"is_public":21,"is_downloadable":21,"audit_status":21,"page_count":22,"language":23,"language_code":24,"site_id":25,"html_lang":24,"table_of_contents":26,"faqs":27,"seo_title":28,"seo_description":14,"update_tm":29,"read_time":30},72365,1099523882367,"Hazel","https://ap-avatar.wpscdn.com/davatar_9964176cb1d06d4a9deccf72a44ae3dc",38,"Examen","Matemáticas II 2011 Tema 4 Funciones Soluciones","Documento de resolución de ejercicios de Matemáticas II (selectividad Andalucía 2011) centrados en el tema “Funciones”. Incluye planteamientos y desarrollos de cálculo de máximos y mínimos mediante funciones objetivo y derivadas, optimización geométrica con restricciones (cilindro de área total fija, división de un alambre en figuras con área mínima, ventana normanda de perímetro dado) y problemas de distancia mínima y recta tangente/normal. También aparecen cuestiones de derivabilidad y parámetros en funciones por tramos, determinando extremos absolutos.","PROBLEMAS RESUELTOSSELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2011  \nMATEMÁTICAS II  \nTEMA 4: FUNCIONES  \n• Junio, Ejercicio 1, Opción A  \n• Junio, Ejercicio 1, Opción B  \n• Reserva 1, Ejercicio 1, Opción A  \n• Reserva 1, Ejercicio 1, Opción B  \n• Reserva 2, Ejercicio 1, Opción A  \n• Reserva 2, Ejercicio 1, Opción B  \n• Reserva 3, Ejercicio 1, Opción A  \n• Reserva 3, Ejercicio 1, Opción B  \n• Reserva 4, Ejercicio 1, Opción A  \n• Reserva 4, Ejercicio 1, Opción B  \n• Septiembre, Ejercicio 1, Opción A  \n• Septiembre, Ejercicio 1, Opción B  \n[http://emestrada.wordpress.com](http://emestrada.wordpress.com)  \nSe desea construir un depósito cilíndrico cerrado de área total a 54 m 2 . Determina el radio dela base y la altura del cilindro para que éste tenga volumen máximo.  \nMATEMÁTICAS II. 2011. JUNIO. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.  \nR E S O L U C I Ó N  \na) Función que queremos que sea máximo es: V = π r 2 h  \nb) Relación entre las variables: 54 = 2π r 2 + 2π r h ⇒ h = ~~ ~~54~~ ~~−22ππr~~ ~~r~~ ~~2~~ ~~ = ~~ ~~27~~ ~~πr~~ ~~r~~ ~~2  \nc) Expresamos la función que queremos que sea máximo con una sola variable.  \n2 2 27 −π r 2 3 V = π r h = π r ⋅ = 27 r − π r  \nπ r  \nd) Derivamos e igualamos a cero  \nV ' = 27 − 3 π r 2 = 0 ⇒ r = ± 27 = ±1'69 m  \n3π  \nSolo vale la solución positiva ya que estamos calculando dimensiones, luego:  \nr = 1'69 m ; h = 3'39 m  \n[http://emestrada.wordpress.com](http://emestrada.wordpress.com)  \nSea f : [ 1, +∞ ) → \\ la función definida porf ( x ) = x − 1 . Determina el punto P de la gráfica def que se encuentra a menor distancia del punto A(2, 0).¿Cuál es esa distancia?. MATEMÁTICAS II. 2011. JUNIO. EJERCICIO 1. OPCIÓN B  \nR E S O L U C I Ó N  \nFunción que queremos que sea mínimo: La distancia entre los puntos (2, 0) y (x, x −1) .  \nd = (x − 2) 2 + ( x −1− 0) 2 = − 3x + 3  \nDerivamos e igualamos a cero  \nd ' = 2  \n2x − 3  \n= 0 ⇒ x = x 2 − 3x + 3  \n3  \n2  \n⎛  \nLuego el punto es: P = ⎜⎝  \n3  \n2  \n,  \n22  \n⎞  \n⎠⎟ .  \nLa distancia mínima es: d =  \n9  \n−  \n4  \n9  \n2  \n+ 3 =  \n32  \nu  \n[http://emestrada.wordpress.com](http://emestrada.wordpress.com)  \nUn alambre de longitud 100 metros se divide en dos trozos. Con uno de los trozos se construyeun cuadrado y con el otro un rectángulo cuya base es doble que su altura. Calcula las longitudes de cada uno de los trozos con la condición de que la suma de las áreas de estas dos figuras sea mínima.  \nMATEMÁTICAS II. 2011. RESERVA 1. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.  \nR E S O L U C I Ó N  \na) Función que queremos que sea mínima: S min = ⎝⎜⎛ ~~ ~~x4⎟ 2 + 2y 2  \nb) Relación entre las variables: 100 − x = 2y + 2y + y + y = 6y ⇒ y = 1006−~~ ~~x  \nc) Expresamos la función que queremos que sea mínima con una sola variable.  \nS min = ⎜ ~~ ~~x4⎟ 2 + 2y 2 = ⎜ ~~ ~~x4⎟ 2 + 2⎜ ~~ ~~1006−~~ ~~x~~ ~~ ⎟ 2 = 17x~~ ~~2~~ ~~−~~ ~~1600x144~~ ~~+80000  \nd) Derivamos e igualamos a cero  \nS ' = ~~ ~~34x116004 = 0 ⇒ x = ~~ ~~81007  \ne) Comprobamos que corresponde a un mínimo  \nS '' = ~~ ~~13444 > 0 ⇒ mínimo  \nLuego, las dimensiones son: x = ~~ ~~81007 m ; 100 − x = 91007 m  \n[http://emestrada.wordpress.com](http://emestrada.wordpress.com)  \nSea f : \\ → \\ la función definida por f ( x ) = 4 − x 2  \na) Halla la ecuación de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 2 .  \nb) Determina el punto de la gráfica en el que la recta tangente es perpendicular a la rectax + 2y − 2 = 0 .  \nMATEMÁTICAS II. 2011. RESERVA 1. EJERCICIO 1. OPCIÓN B  \nR E S O L U C I Ó N  \na) La ecuación de la recta normal en el punto de abscisa x = 2 es:  \ny − f (2) = − ~~ ~~f~~ ~~'1~~(~~2~~)~~ (x − 2)  \nCalculamos: f (2) = 4 − 2 2 = 0  \nf '(x) = − 2x ⇒ f '(2) = − 4  \nSustituyendo, tenemos: y − f (2) =− ~~ ~~f~~ ~~'1~~(~~2~~)~~ (x − 2) ⇒ y − 0 = − ~~ ~~−14 (x − 2) ⇒ x − 4y − 2 = 0  \na) La pendiente de la recta que nos dan es: x + 2y − 2 = 0 ⇒ y = ~~ ~~−~~ ~~x2+~~ ~~2 ⇒ m = − ~~ ~~12 . La recta perpendicular tendrá de pendiente m = 2 .  \nf '(x) =− 2x = 2 ⇒ x =− 1 ; f (−1) = 4 − (−1) 2 = 3  \nLuego, el punto que nos piden es: (−1,3)  \n[http://emestrada.","cbCaibVlgiX48tAB","https://ap.wps.com/l/cbCaibVlgiX48tAB","pdf",104235,3,1,13,"Spanish","es",110,"# Tema 4: Funciones\n## Junio, Ejercicio 1\n## Opción A\n## Opción B\n## Reserva 1, Ejercicio 1\n## Opción A\n## Opción B\n## Reserva 2, Ejercicio 1\n## Opción A\n## Opción B","[{\"question\":\"¿Cómo se halla el radio y la altura del cilindro para que el volumen sea máximo con área total fija?\",\"answer\":\"Se plantea V=πr²h y se usa la restricción del área total para expresar h en función de r; luego se sustituye y se deriva la función resultante respecto a r, igualando a cero para obtener r y finalmente h.\"},{\"question\":\"¿Qué método permite encontrar el punto de la gráfica de f(x)=x−1 más cercano a A(2,0)?\",\"answer\":\"Se expresa la distancia d entre A y un punto genérico (x, x−1) y se obtiene d como función de x; 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