[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"doc-detail-72385-es":3,"doc-seo-72385-110":31,"detail-sidebar-cat-0-es-110":92},{"code":4,"msg":5,"data":6},0,"success",{"doc_id":7,"user_id":8,"nickname":9,"user_avatar":10,"doc_module":4,"category_id":11,"category_name":12,"doc_title":13,"doc_description":14,"doc_content":15,"file_id":16,"file_url":17,"file_type":18,"file_size":19,"view_count":20,"is_deleted":4,"is_public":21,"is_downloadable":21,"audit_status":21,"page_count":22,"language":23,"language_code":24,"site_id":25,"html_lang":24,"table_of_contents":26,"faqs":27,"seo_title":28,"seo_description":14,"update_tm":29,"read_time":30},72385,1099523885336,"Violet","https://ap-avatar.wpscdn.com/davatar_276721f389ce27ea32af1340a28f341c",38,"Examen","Matemáticas II 2006 Tema 5 Integrales (Problemas resueltos)","Conjunto de problemas resueltos de Matemáticas II (Selectividad Andalucía 2006) centrados en el cálculo integral. Incluye ejercicios sobre cambios de variable en integrales definidas, determinación de parámetros a partir de áreas entre curvas y ejes, estudio de continuidad y derivabilidad en puntos de empalme, y cálculo de áreas limitadas por gráficas, rectas y ejes mediante integrales. También aparecen tareas de ajuste de funciones polinómicas usando condiciones de integral definida y pendiente de la tangente, además de integrales por partes con funciones exponenciales.","PROBLEMAS RESUELTOSSELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2006  \nMATEMÁTICAS II  \nTEMA 5 : INTEGRALES  \n􀁸 Junio, Ejercicio 2 , Opción A  \n􀁸 Junio, Ejercicio 2 , Opción B  \n􀁸 Reserva 1, Ejercicio 2 , Opción A  \n􀁸 Reserva 1 , Ejercicio 2 , Opción B  \n􀁸 Reserva 2 , Ejercicio 1 , Opción A  \n􀁸 Reserva 2, Ejercicio 2 , Opción A  \n􀁸 Reserva 2, Ejercicio 2 , Opción B  \n􀁸 Reserva 3, Ejercicio 2 , Opción A  \n􀁸 Reserva 3, Ejercicio 2 , Opción B  \n􀁸 Reserva 4, Ejercicio 2 , Opción A  \n􀁸 Reserva 4, Ejercicio 2 , Opción B  \n􀁸 Septiembre, Ejercicio 2 , Opción B  \n[http://emestrada. wordpress.com](http://emestrada. wordpress.com)  \n2 x 3 Sea I = ∫0 1  dx .  \na) Expresa I aplicando el cambio de variables t = 1 + x 2 .  \nb) Calcula el valor de I.  \nMATEMÁTICAS II. 2006. JUNIO. EJERCICIO 2. OPCIÓN A.  \nR E S O L U C I Ó N  \na) Calculamos los nuevos límites de integración:  \nSi x = 0 ⇒ t = 1 + x 2 = 1  \nSi x = 2 ⇒ t = 1 + x 2 = 5  \nt = 1 + x 2 ; dt = 2x dx  \nb) I = 12 ∫15 (t 12 − t − ~~ ~~12 ) dt  \nx 2 = t −1 􀀅􀀇 2 x 2 ⋅ x dx  5 (t −1) ⋅ ~~ ~~dt2~~ ~~ 1  5 ~~ ~~12~~ ~~ − ~~ ~~12; x dx = ~~ ~~dt2~~ ~~ 􀀉􀀇􀀈I = ∫0 1 = ∫1  = 2 ∫1 (t − t ) dt  \n􀀋 3   1 􀀌  \n 1 􀀍 t 2   t 2 􀀎= 2 􀀍 3 − 1 􀀎􀀏 2 2 􀀐  \n5  \n1  \n=  \n2  5 + 2 3  \nEl área del recinto limitado por las curvas de ecuaciones y = ~~ ~~xa2 e y = ax , con a > 0 , vale 3. Calcula el valor de a.  \nMATEMÁTICAS II. 2006. JUNIO. EJERCICIO 2. OPCIÓN B.  \nR E S O L U C I Ó N  \n1) Calculamos los puntos de corte de las dos funciones  \n2) Vamos a ver en el intervalo (0,a), que función va por encima y cuál por debajo  \nSix =  a ⇒ y =  x 2 = a42 = a ⇒ Debajo  \n2 a a 4  \nSix =  a ⇒ y =  ax =  =  a  ⇒ Encima  \n2  2 2  \n3) Calculamos el área  \n􀀋 3 􀀌 a  \n3 = ∫ 0a ( ax − ~~ ~~xa2~~ ~~) dx = 􀀍  ~~ ~~x~~3~~2~~ ~~ − ~~ ~~1a ⋅ ~~ ~~x33 􀀎 = ~~ ~~a32~~ ~~  \n􀀐 2 􀀑 0  \n3 = ~~ ~~a32~~ ~~ ⇒ a 2 = 9 ⇒ a = ± 3  \nComo el enunciado nos dice que a > 0 , entonces a = 3.  \n| 􀀋􀀇􀀇􀀋􀀇 e x\u003Cbr>Sea f la función definida por f ( x) = 􀀍\u003Cbr>􀀇􀀏􀀇􀀏x ⋅\u003Cbr>a) Estudia la derivabilidad de f en x = 0 | − 1 si x ≥ 0\u003Cbr>e −− x2 si x \u003C 0\u003Cbr>y, si es posible, calcula la derivada de f en dicho punto. |\n| --- | --- |\n| b) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica def, el eje de abscisas y la recta x = −− 1 . MATEMÁTICAS II. 2006. RESERVA 1. EJERCICIO 2. OPCIÓN A. |  |\n\nR E S O L U C I Ó N  \na) Estudiamos primero la continuidad  \nex −1 es continua y derivable en todo 􀀁 por ser suma de funciones continuas. x ⋅ e − x2 es continua y derivable en todo 􀀁 por ser producto de funciones continuas.  \nNos falta ver la continuidad en x = 0  \nlim e x −1 = 0 􀀅  \nx→0 + 2 􀀉􀀇 ⇒ lim+ ex −1 = lim− x ⋅ e − x2 = 0 , luego, es continua en x = 0 lx0 − x ⋅ e −x = 0􀀊􀀇 x→0 x→0  \nCalculamos  \n􀀋􀀇 f '(x) = 􀀍 2  \n􀀇􀀏1 ⋅ e −x  \nex (1− 2x2 )  \nVeamos si existef '(0) ,es decir, si f  \nsi x > 0  \nsi x \u003C 0  \n'(0 + ) = f '(0 − )  \nf '(0 + ) = 1  \nf '(0 − ) = 1  \nComo f '(0 + ) = f '(0 − ) = 1 , existe f '(0) = 1  \nb) Como nos piden el área del recinto limitado por la gráfica def , el eje de abscisas y la recta x =−1 solo interviene la rama x ⋅ e − x2 puesto que f(0) = 0 y para x > 0 la función e x −1 sube a + ∞ . La función x ⋅ e − x2 solo corta al eje OX en x = 0, y para x \u003C 0 está siempre debajo del eje OX, luego:  \nÁrea = ∫ − 01 −x ⋅ e − x2 dx  \nHacemos el cambio −x2 = t ⇒ −2x dx = dt  \nPara x = − 1 ⇒ t = − 1  \nPara x = 0 ⇒ t = 0 Área = ∫  \n− 01 −x ⋅ e − x2 dx = ~~ ~~12 ∫  \n− 01 et dt = ~~ ~~12 e t   \n0  \n−1  \n=  \ne −1  \n2e  \nu  \n2  \nSea f : 􀀁 → 􀀁 la función definida por f ( x) = 􀀕􀀆􀀓􀀆􀀓􀀓 − ~~ ~~ax~~ ~~ si x ≤ − 1  \n􀀗􀀆􀀗􀀆􀀗􀀆x 2 + 1 si x > − 1  \na) Halla el valor de a sabiendo que f es continua.  \nb) Esboza la gráfica def.  \nc) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica def, el eje de abscisas y las rectas x + 2 = 0 y x − 2 = 0.  \nMATEMÁTICAS II. 2006. RESERVA 1. EJERCICIO 2. OPCIÓN B.  \nR E S O L U C I Ó N  \na) Como f es continua se tiene que cumplir que los limites laterales en x = − 1 sean iguales.  \nx1 − f (x) = x1 − − ~~ ~~ax = a 􀀅􀀆􀀈 ⇒ a = 2  \nlim f (x) = lim x 2 + 1 = 2􀀆  \nx→− 1 + x→− 1 − 􀀉 ","cbCaisIIY3qiBUDg","https://ap.wps.com/l/cbCaisIIY3qiBUDg","pdf",846565,3,1,13,"Spanish","es",110,"# Tema 5: Integrales\n## Junio, Ejercicio 2 (Opción A)\n## Junio, Ejercicio 2 (Opción B)\n## Reserva 1, Ejercicio 2 (Opción A)\n## Reserva 1, Ejercicio 2 (Opción B)\n## Reserva 2, Ejercicio 1 (Opción A)\n## Reserva 2, Ejercicio 2 (Opción A)","[{\"question\":\"¿Cómo se aplica el cambio de variables en el ejercicio de la integral I?\",\"answer\":\"Se sustituyen los límites de integración con t = 1 + x^2 y se transforma dx a partir de dt = 2x dx. Luego la integral se reescribe completamente en función de t y se evalúa con los nuevos límites.\"},{\"question\":\"¿Cómo se calcula el valor de a cuando el área entre y = ax y y = x/a^2 (a\\u003e0) vale 3?\",\"answer\":\"Primero se hallan los puntos de corte de las dos funciones y se determina cuál queda por encima en el intervalo relevante. Después se calcula el área como integral de (función superior − función inferior) y se impone que el resultado sea 3 para obtener a.\"},{\"question\":\"¿Qué pasos se siguen para estudiar la derivabilidad y calcular la derivada en x=0 de la función definida a trozos?\",\"answer\":\"Se comprueba la continuidad en x=0 calculando los límites laterales. 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