[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"doc-detail-72283-es":3,"doc-seo-72283-110":31,"detail-sidebar-cat-0-es-110":93},{"code":4,"msg":5,"data":6},0,"success",{"doc_id":7,"user_id":8,"nickname":9,"user_avatar":10,"doc_module":4,"category_id":11,"category_name":12,"doc_title":13,"doc_description":14,"doc_content":15,"file_id":16,"file_url":17,"file_type":18,"file_size":19,"view_count":20,"is_deleted":4,"is_public":21,"is_downloadable":21,"audit_status":21,"page_count":22,"language":23,"language_code":24,"site_id":25,"html_lang":24,"table_of_contents":26,"faqs":27,"seo_title":28,"seo_description":14,"update_tm":29,"read_time":30},72283,962084926284,"Aurora","https://ap-avatar.wpscdn.com/davatar_29158cc5080c5b710cf443261637dec0",38,"Examen","Matemáticas II 2005 Tema 1: Matrices y determinantes - Problemas Resueltos","Problemas resueltos de Matemáticas II (Selectividad Andalucía 2005) centrados en el Tema 1: matrices y determinantes. Incluye ejercicios de junio y septiembre, así como reservas 1, 2 y 4, con apartados que piden estudiar la invertibilidad de matrices, calcular inversas y resolver ecuaciones matriciales con productos y transpuestas. También aborda parámetros que anulan determinantes, ecuaciones matriciales tipo A2 + aA + bI = 0 y propiedades para simplificar y evaluar determinantes mediante filas/columnas.","PROBLEMAS RESUELTOSSELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2005  \nMATEMÁTICAS II  \nTEMA 1: MATRICES Y DETERMINANTES  \n􀁸 Junio, Ejercicio 3 , Opción A  \n􀁸 Reserva 1 , Ejercicio 3 , Opción B  \n􀁸 Reserva 2 , Ejercicio 3 , Opción B  \n􀁸 Reserva 4 , Ejercicio 3 , Opción A  \n􀁸 Septiembre, Ejercicio 3, Opción B  \n[http://emestrada. wordpress.com](http://emestrada. wordpress.com)  \n􀀄2 1􀀅 􀀄0 1 0 􀀅 􀀄 1 2 0 􀀅  \nSean las matrices: A = 􀀆 􀀇 , B = 􀀆 􀀇 y C = 􀀆 􀀇  \n􀀈3 −2 􀀉 􀀈3 −1 2 􀀉 􀀈 −1 1 4 􀀉  \na) ¿Tiene A inversa?. En caso afirmativo, calcúlala.  \nb) Determina la matrizX que cumple que A⋅X + C ⋅Bt = B ⋅Bt , siendo Bt la matriz transpuestade B.  \nMATEMÁTICAS II. 2005. JUNIO. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.  \nR E S O L U C I Ó N  \na) Para que la matriz A tenga inversa su determinante tiene que ser distinto de cero.  \n2 1  \n A  =   = −4 − 3 = −7 ⇒ La matriz A tiene inversa  \n3 −2  \n􀀄􀀆 −2 −3 􀀅􀀇 t 􀀄􀀆 −2 −1 􀀅􀀇 􀀄  2   1  􀀅  \nA−1 =  ( Ad )t  = 􀀈−1 2 􀀉  =  􀀈−3 2 􀀉 = 􀀆 7 7 􀀇 A  −7 −7 􀀆 3 2 􀀇  \n􀀆 ~~ ~~ − ~~ ~~ 􀀇  \n􀀈 7 7 􀀉  \nb)  \nA⋅ X + C ⋅ Bt = B ⋅ Bt ⇒ A⋅ X = B ⋅ Bt − C ⋅ Bt = (B − C) ⋅ Bt ⇒  \n⇒ A−1 ⋅ A⋅ X = A−1 ⋅ (B − C) ⋅ Bt ⇒ X = A−1 ⋅ (B − C) ⋅ Bt  \n􀀄  2   1  􀀅 X = 􀀆 7 7 􀀇 ⋅ 􀀌􀀎 􀀄􀀆 0  \n􀀆 3  −  2 􀀇 􀀐􀀈3  \n􀀈 7 7 􀀉  \n1  \n−1  \n0 􀀅 􀀄 1  \n􀀇− 􀀆 2 􀀉 􀀈−1  \n2 1  \n􀀄0 3 􀀅 􀀄 4   6 􀀅 04􀀅􀀉􀀇 􀀍􀀑􀀏 ⋅ 􀀆􀀈􀀆 10 −12􀀉 = 􀀈 − ~~ ~~717~~ − ~~7267~~ ~~ 􀀉  \n􀀂 0 0􀀃 􀀂 3 1􀀃 􀀂 5 −− 2􀀃  \nHalla la matriz X que cumple que: A ⋅ X ⋅ A − B = 􀀊􀀈􀀊􀀈 0 0􀀋􀀉 siendo A = 􀀈􀀊􀀊􀀈 −2 − 1􀀋􀀉 y B = 􀀈􀀊􀀈􀀊 1 3􀀋􀀉 MATEMÁTICAS II. 2005. RESERVA 1. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.  \nR E S O L U C I Ó N  \nA⋅ X ⋅ A = B + 􀀂􀀊􀀈 00 00􀀃􀀋􀀉 = B ⇒ A−1 ⋅ A⋅ X ⋅ A = A−1 ⋅ B ⇒ X ⋅ A = A−1 ⋅ B ⇒  \n⇒ X ⋅ A⋅ A−1 = A−1 ⋅ B ⋅ A−1 ⇒ X = A−1 ⋅ B ⋅ A−1 Vamos a calcular la matriz inversa de A.  \nA−1 = ~~ ~~(~~ ~~AdA~~ ~~)t~~ ~~ =  􀀂􀀊􀀈 −11−123􀀃􀀋􀀉 t  = 􀀂􀀊􀀈 −12−1−13􀀃􀀋􀀉 =  − 12 − 13􀀃􀀋􀀉 Por lo tanto, la matriz X será:  \nX = A−1 ⋅ B ⋅ A−1 = 􀀂􀀊􀀈 − 12 − 13􀀃􀀋􀀉⋅ 􀀈􀀂􀀊51 −23􀀃􀀋􀀉⋅ 􀀈􀀂􀀊 −12 − 13􀀃􀀋􀀉 = 􀀈􀀂􀀊 −43 32􀀃􀀋􀀉  \n􀀂 0 0 −− 1􀀃  \nSea I la matriz identidad de orden 3 y sea A = 􀀄 − 1 1 − 1 􀀅  \n􀀉􀀄􀀉 1 0 b􀀊􀀅  \na) Determina el valor de b para el que A 2 − 2A + I = 0.  \nb) Para b = 2 halla la matriz X que cumple que A ⋅X − 2At = 0 , donde At denota la matriz transpuesta de A.  \nMATEMÁTICAS II. 2005. RESERVA 2. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.  \nR E S O L U C I Ó N  \n􀀂 0 0 −1 􀀃 􀀂 0 0 −1 􀀃 􀀂 0 0 −1 􀀃 􀀂1 0 0 􀀃 􀀂0 0 0 􀀃 a) 􀀄 −1 1 −1 􀀅 ⋅ 􀀄 −1 1 −1 􀀅 − 2 ⋅ 􀀄 −1 1 −1 􀀅 + 􀀄 0 1 0 􀀅 = 􀀄 0 0 0 􀀅􀀄􀀉 1 0 b 􀀊􀀅 􀀄􀀉 1 0 b 􀀊􀀅 􀀄􀀉 1 0 b 􀀊􀀅 􀀄􀀉0 0 1 􀀊􀀅 􀀄􀀉0 0 0 􀀊􀀅  \n􀀂 0 0 2 − b 􀀃 􀀂0 0 0 􀀃  \n􀀄 􀀅 􀀄 􀀅  \n􀀄 0 0 2 − b 􀀅 = 􀀄 0 0 0 􀀅 ⇒ b = 2  \n􀀉􀀄 b − 2 0 b2 − 2b 􀀊􀀅 􀀄􀀉0 0 0 􀀊􀀅  \n􀀂 2 0 1 􀀃 􀀂 0 −1 1 􀀃 􀀂−2  \nb) A⋅ X = 2 ⋅ At ⇒ X = 2 ⋅ A−1 ⋅ At ; X = 2 ⋅ 􀀄 1 1 1 􀀅 ⋅ 􀀄 0 1 0 􀀅 = 􀀄 −2  \n􀀉􀀄 −1 0 0 􀀊􀀅 􀀉􀀄 −1 −1 2 􀀊􀀅 􀀉􀀄 0  \n−6  \n−2  \n2  \n8 􀀃􀀅  \n6 􀀅−2 􀀊􀀅  \n􀀂 2 1􀀃 Sea I la matriz identidad de orden 2 y sea A = 􀀆􀀈􀀈􀀆 1 2􀀉􀀇  \na) Halla los valores de x para los que la matriz A − x ⋅I no tiene inversa.  \nb) Halla los valores de a y b para los que A2 + a ⋅A + b ⋅I = 0 . MATEMÁTICAS II. 2005. RESERVA 4. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.  \nR E S O L U C I Ó N  \na) Calculamos la matriz A − xI  \n􀀂2 1 􀀃 􀀂1 0 􀀃 􀀂2 A − xI = 􀀆 􀀇− x ⋅ 􀀆 􀀇 = 􀀆  \n􀀈1 2 􀀉 􀀈0 1 􀀉 􀀈  \n− x  \n1 2  \n1 􀀃  \n􀀇  \n− x 􀀉  \nDicha matriz no tendrá inversa para aquellos valores que anulen su determinante, luego:  \n2 − x 1  \n1 2 − x  \n= x2 − 4x + 3 = 0 ⇒ 􀀍􀀊x 􀀎x  \n= 1  \n= 3  \n􀀂2 b) 􀀆  \n􀀈1  \n1 􀀃 􀀂2  \n􀀇⋅ 􀀆  \n2 􀀉 􀀈1  \n1 􀀃 􀀂2 􀀇 + a ⋅ 􀀆 2 􀀉 􀀈1  \n1 􀀃 􀀂1 􀀇 + b ⋅ 􀀆 2 􀀉 􀀈0  \n0 􀀃 􀀂0  \n􀀇 = 􀀆  \n1 􀀉 􀀈0  \n0 􀀃 􀀊a  \n􀀇 ⇒ 􀀍  \n0 􀀉 􀀎b  \n= −4  \n= 3  \n\n| Sabiendo que A =\u003Cbr>determinantes: |  | a\u003Cbr>d\u003Cbr>g | b\u003Cbr>e\u003Cbr>h | c\u003Cbr>f\u003Cbr>i |  | = 2 , calcula, indicando las propiedades que utilices, los siguientes |  |  |  |  |  |\n| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |\n| a)  −− 3A y | A −− 1  ; b) | c\u003Cbr>f\u003Cbr>2i | b\u003Cbr>e\u003Cbr>2h |  | a\u003Cbr>d\u003Cbr>2g |  | ; c) | a\u003Cbr>d\u003Cbr>g | b\u003Cbr>e\u003Cbr>h | a −− c\u003Cbr>d −− f\u003Cbr>g −− i |  |\n| MATEMÁTICAS II. 2005. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 3. OPCIÓN B. |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |\n\nR E S O L U C I Ó N  \na) Si An es una matriz cuadrada de orden n, sabemos que se cumple que  k ","cbCait836Orxs3Mf","https://ap.wps.com/l/cbCait836Orxs3Mf","pdf",337991,8,1,6,"Spanish","es",110,"# Matrices y determinantes (Tema 1)\n## Junio 2005: ejercicio 3\n## Reserva 1: ejercicio 3\n## Reserva 2: ejercicio 3\n## Reserva 4: ejercicio 3","[{\"question\":\"¿Qué condición garantiza que una matriz A tenga inversa y cómo se aplica en el ejercicio de junio 2005?\",\"answer\":\"Una matriz cuadrada A tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero. En el ejercicio se calcula el determinante y, al no ser nulo, se obtiene la inversa.\"},{\"question\":\"¿Cómo se determina la matriz X en la ecuación A⋅X + C⋅Bt = B⋅Bt usando transpuestas?\",\"answer\":\"Se despeja primero A⋅X = (B−C)⋅Bt. 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