[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"doc-detail-72333-es":3,"doc-seo-72333-110":31,"detail-sidebar-cat-0-es-110":93},{"code":4,"msg":5,"data":6},0,"success",{"doc_id":7,"user_id":8,"nickname":9,"user_avatar":10,"doc_module":4,"category_id":11,"category_name":12,"doc_title":13,"doc_description":14,"doc_content":15,"file_id":16,"file_url":17,"file_type":18,"file_size":19,"view_count":20,"is_deleted":4,"is_public":21,"is_downloadable":21,"audit_status":21,"page_count":22,"language":23,"language_code":24,"site_id":25,"html_lang":24,"table_of_contents":26,"faqs":27,"seo_title":28,"seo_description":14,"update_tm":29,"read_time":30},72333,1099523885074,"Ivy","https://ap-avatar.wpscdn.com/davatar_9964176cb1d06d4a9deccf72a44ae3dc",38,"Examen","Matemáticas II 2004 Tema 3 Espacio Afín y Euclídeo Ejercicio 4","Conjunto de ejercicios resueltos de Matemáticas II (Selectividad Andalucía 2004) centrados en el espacio afín y euclídeo. Incluye problemas de coplanaridad y ecuación de un plano a partir de puntos, demostración de que una figura de vértices consecutivos es un rectángulo y cálculo de su área, obtención de vectores unitarios con restricciones de coplanaridad y ortogonalidad, y el planteamiento/uso de distancias entre rectas, además de intersecciones entre una recta y un plano para determinar un parámetro.","PROBLEMAS RESUELTOSSELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2004  \nMATEMÁTICAS II  \nTEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO  \n• Junio, Ejercicio 4, Opción A  \n• Junio, Ejercicio 4, Opción B  \n• Reserva 1, Ejercicio 4, Opción A  \n• Reserva 1, Ejercicio 4, Opción B  \n• Reserva 2, Ejercicio 4, Opción A  \n• Reserva 2, Ejercicio 4, Opción B  \n• Reserva 3, Ejercicio 4, Opción A  \n• Reserva 3, Ejercicio 4, Opción B  \n• Reserva 4, Ejercicio 4, Opción A  \n• Reserva 4, Ejercicio 4, Opción B  \n• Septiembre, Ejercicio 4, Opción A  \n• Septiembre, Ejercicio 4, Opción B  \n[http://emestrada.wordpress.com](http://emestrada.wordpress.com)  \nSean los puntos A (1,2,1); B (2,3,1); C (0,5,3) y D (―1,4,3)  \na) Prueba que los 4 puntos están en el mismo plano. Halla la ecuación de dicho plano.  \nb) Demuestra que el polígono de vértices consecutivos ABCD es un rectángulo.  \nc) Calcula el área de dicho rectángulo.  \nMATEMÁTICAS II. 2004. JUNIO. EJERCICIO 4. OPCIÓN A.  \nR E S O L U C I Ó N  \n→ → →  \na) Si los cuatro puntos están en el mismo plano eso quiere decir que los vectores AB, AC y AD tienen que ser coplanarios, es decir, tienen que ser linealmente dependientes, luego su determinante tiene que valer 0.  \n→ → →  \nLos vectores son: AB = (1,1, 0) ; AC = (−1, 3, 2) y AD = (−2, 2, 2)  \n\n| 1 | 1 | 0 |\n| --- | --- | --- |\n| −1 | 3 | 2 |\n| −2 | 2 | 2 |\n\n= 0 ⇒  \nLa ecuación del plano es:  \nLos 4 puntos están en un mismo plano.  \nx −1 1  \ny − 2 1  \nz −1 0  \n−1  \n3  \n2  \n= 0 ⇒ x −y + 2z −1 = 0  \nb) Si los cuatro puntos forman un rectángulo  \nC  \nD  \n→ → → →  \nLos vectores AB y AD tienen que ser perpendiculares ⇒ AB⋅ AD = 0 ⇒ −2 + 2 = 0 ⇒ Cierto  \n→ → → →  \nLos vectores AB y BC tienen que ser perpendiculares ⇒ AB⋅ BC = 0 ⇒ −2 + 2 = 0 ⇒ Cierto  \n→ →  \nLos vectores AB y DC tienen que tener el mismo módulo ⇒  \nLuego forman un rectángulo.  \nc) Área =  \n\n| →\u003Cbr>AB | ⋅ |\n| --- | --- |\n\n→  \nAD = 2 ⋅ 12 = 4 '89 u 2  \n→  \nAB  \n=  \n→  \nDC = 2 ⇒ Cierto  \n[http://emestrada.wordpress.com](http://emestrada.wordpress.com)  \n→ → →  \nDados los vectores u = (2,1, 0) y v = (−1, 0,1) , halla un vector unitario w que sea coplanario con → → →  \nu y v y ortogonal a v .  \nMATEMÁTICAS II. 2004. JUNIO. EJERCICIO 4. OPCIÓN B.  \nR E S O L U C I Ó N  \n→  \nLlamamos w = (a, b, c) y vamos aplicando las condiciones del problema.  \n→  \n1. w unitario ⇒ a 2 + b2 + c2 = 1  \n2 1 0  \n→ → →  \n2. u , v y w coplanarios ⇒ −1 0 1 = 0 ⇒ a + c − 2b = 0  \na b c  \n→ → → →  \n3. w ortogonal a v ⇒ w ⋅ u = 0 ⇒ −a + c = 0 Resolvemos el sistema formado por las tres ecuaciones:  \na 2 + b2 + c 2 = a + c − 2b =− a + c =  \n1 ⎫  \n⎪  \n0 ⎬ ⇒ a = b = c = ± 0 ⎭⎪  \n1  \n3  \nLuego el vector →w será: ⎛⎜⎝  \n1 1 1  \n, ,  \n3 3 3  \n⎞ ⎛  \n⎠⎟ ; ⎜⎝ −  \n1 1 1 ⎞, − , − ⎟ 3 3 3 ⎠  \n[http://emestrada.wordpress.com](http://emestrada.wordpress.com)  \n⎧ x = y ⎧ x + y = 1  \nConsidera las rectas: r ≡ ⎨ y s ≡ ⎨  \n⎩ z = 2 ⎩ z = 3  \nHalla la ecuación de una recta que corte a r y s y sea perpendicular al plano z = 0. MATEMÁTICAS II. 2004. RESERVA 1. EJERCICIO 4. OPCIÓN A.  \nR E S O L U C I Ó N  \nCualquier punto de la recta r tendrá de coordenadas A = ( t , t , 2) y cualquier punto de la recta s tendrá de coordenadas B = ( 1− s , s , 3) .  \nEl vector →AB tendrá de coordenadas: →AB = ( 1− s − t , s − t ,1)  \nComo el vector →AB tiene que ser perpendicular al plazo z = 0, este vector y el vector →n = ( 0, 0,1) tienen que ser paralelos, luego:  \n1 − s − t s − t 1 1 1  \n 0  =  0  =  1 ⇒ s =  2 ; t =  2  \nLuego, la recta que nos piden pasa por el punto A = ⎛⎜⎝ ~~ ~~12~~ ~~,~~ ~~12 , 2⎟ y su vector director es el →AB = (1,1,1)  \nLa recta tiene de ecuación:  \n1  \nx − ~~ ~~  \n 2  \n0  \n=  \n1  \ny − ~~ ~~  \n 2  \n0  \n=  \nz − 2  \n1  \n[http://emestrada.wordpress.com](http://emestrada.wordpress.com)  \nSean los puntos A(1, 0, −1) y B(2, −1, 3) .  \na) Calcula la distancia del origen de coordenadas a la recta que pasa porA y por B.  \nb) Calcula el área del paralelogramo de vértices consecutivos ABCD sabiendo que la rectadeterminada por los vértices Cy D pasa por el origen de coordenadas.  ","cbCaivGRBSO64Xtm","https://ap.wps.com/l/cbCaivGRBSO64Xtm","pdf",80619,6,1,13,"Spanish","es",110,"# Junio Ejercicio 4\n## Opción A\n## Opción B\n# Reserva 1 Ejercicio 4\n## Opción A\n## Opción B\n# Reserva 2 Ejercicio 4\n## Opción A\n## Opción B","[{\"question\":\"¿Cómo se prueba que cuatro puntos están en el mismo plano y cómo se halla su ecuación?\",\"answer\":\"Se verifica la coplanaridad mediante la dependencia lineal de los vectores AB, AC y AD, imponiendo que el determinante sea 0. 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