[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"doc-detail-72329-es":3,"doc-seo-72329-110":31,"detail-sidebar-cat-0-es-110":93},{"code":4,"msg":5,"data":6},0,"success",{"doc_id":7,"user_id":8,"nickname":9,"user_avatar":10,"doc_module":4,"category_id":11,"category_name":12,"doc_title":13,"doc_description":14,"doc_content":15,"file_id":16,"file_url":17,"file_type":18,"file_size":19,"view_count":20,"is_deleted":4,"is_public":21,"is_downloadable":21,"audit_status":21,"page_count":22,"language":23,"language_code":24,"site_id":25,"html_lang":24,"table_of_contents":26,"faqs":27,"seo_title":28,"seo_description":14,"update_tm":29,"read_time":30},72329,1099523885074,"Ivy","https://ap-avatar.wpscdn.com/davatar_9964176cb1d06d4a9deccf72a44ae3dc",38,"Examen","Matemáticas II 2001 Tema 3 Espacio Afín y Euclídeo","Resoluciones de problemas de Matemáticas II (Selectividad Andalucía 2001) del Tema 3: Espacio afín y euclídeo. Incluye ejercicios de planos y rectas en el espacio, obtención de ecuaciones mediante puntos, vectores directores y normales, cálculo de parámetros para condiciones geométricas (paralelismo, perpendicularidad) y verificación de pertenencia a puntos dados. También aborda ángulos entre planos, ángulos de dos planos y simetrías respecto a rectas, determinando coordenadas y constantes necesarias.","PROBLEMAS RESUELTOSSELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2001  \nMATEMÁTICAS II  \nTEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO  \n• Junio, Ejercicio 4, Opción A  \n• Junio, Ejercicio 3, Opción B  \n• Reserva 1, Ejercicio 4, Opción B  \n• Reserva 2, Ejercicio 4, Opción A  \n• Reserva 2, Ejercicio 4, Opción B  \n• Reserva 3, Ejercicio 4, Opción A  \n• Reserva 3, Ejercicio 4, Opción B  \n• Reserva 4, Ejercicio 4, Opción A  \n• Reserva 4, Ejercicio 3, Opción B  \n• Septiembre, Ejercicio 4, Opción A  \n• Septiembre, Ejercicio 4, Opción B  \nHalla la ecuación del plano que pasa por el puntoA(1, 0, −1) , es perpendicular al plano  \n⎧ x − 2y = 0  \nx − y + 2z + 1 = 0 y es paralelo a la recta ⎨ .  \n⎩ z = 0  \nMATEMÁTICAS II. 2001. JUNIO. EJERCICIO 4. OPCIÓN A.  \nR E S O L U C I Ó N  \nEl plano que nos piden viene determinado por el puntoA(1, 0, −1) , el vector director de la recta (2,1, 0) y el vector normal del plano (1, −1, 2) . Por lo tanto, la ecuación del plano pedido será:  \n\n| x −1 | 2 | 1 |\n| --- | --- | --- |\n| y | 1 | −1 |\n| z +1 | 0 | 2 |\n\n= 0 ⇒ −2x + 4y + 3z + 5 = 0  \nCalcula a sabiendo que los planos ax + y − 7z = −5 y x + 2y + a 2 z = 8 se cortan en una recta que pasa por el punto A(0, 2,1) pero que no pasa por el punto B(6, −3, 2) .  \nMATEMÁTICAS II. 2001. JUNIO. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.  \nR E S O L U C I Ó N  \nSi la recta pasa por el punto A (0, 2,1) , este punto debe verificar la ecuación de dicha recta, luego:  \nx + 2y + a 2 z = 8 ⇒ 0 + 2 ⋅ 2 + a 2 ⋅1 = 8 ⇒ a = ± 2  \nSi a = 2 , entonces:  \n⎧x = 6z − 6  \n2xyy 7z4z  −58⎬ ⇒ ⎨⎩yz7z− 5z ⇒ pasa por B(6, −3, 2) Si a =− 2 , entonces:  \n⎧  18 −18z  \n⎪x = 5  \n− 2xyy7z4z  −58⎬ ⇒ ⎨y = 11~~ ~~z~~ ~~ ⇒ No pasa por B(6, −3, 2)  \n⎪z = z  \n⎪⎩  \nLuego, a =− 2  \nConsidera los puntos: A(1, 0, 3); B(3, −1, 0);C (0, −1, 2) y D (a, b, −1) . Halla a y b sabiendo que la recta que pasa porA y B corta perpendicularmente a la recta que pasa por CyD.  \nMATEMÁTICAS II. 2001. RESERVA 1. EJERCICIO 4. OPCIÓN B.  \nR E S O L U C I Ó N  \n→ → → →  \nCalculamos los vectores: AB = (2, −1, −3) ; CD = (a, b + 1, −3) , AC = (−1, −1, −1) ; AD = (a −1, b, −4) .  \nPor ser  \nPor ser  \nperpendiculares ⇒ 2  \ncoplanarios ⇒  −1  \n−3  \n→ → AB⋅CD = 0  \n−1  \n−1  \n−1  \na −1  \nb  \n−4  \n⇒ 2a − b = −8 ⎫⎪  \n⎪ 27 11 ⎬ ⇒ a = − ~~ ~~ ; b = − ~~ ~~  \n= 0 ⇒ −2a + 5b = − 14 ⎪ 4 2 ⎪  \n⎭  \nConsidera los planos: π 1 ≡ 2x + 5 = 0 y π 2 ≡ 3x + 3y − 4 = 0 .  \na) ¿Qué ángulo determinan ambos planos?.  \nb) Halla el plano que pasa por el origen de coordenadas y es perpendicular a los dos planos dados. MATEMÁTICAS II. 2001. RESERVA 2. EJERCICIO 4. OPCIÓN A.  \nR E S O L U C I Ó N  \na) Los vectores normales de los planos son: →n 1 = (2,0,0) y →n 2 = (3, 3, 0) . Aplicando la fórmula del ángulo de dos planos, tenemos:  \n6 2  \ncos α = = ⇒ α = 45º  \n4 ⋅ 18 2  \nb) El plano que nos piden viene definido por el punto (0, 0, 0) y los vectores →n 1 = (2, 0, 0) y →  \nn 2 = (3,3, 0) , luego, su ecuación será:  \nomo las rectas r y s son paralelas, sus vectores directores son paralelos, luego sus componentes tienen que ser proporcionales. Vamos a calcular los vectores directores.  \n\n| x − 0 | 2 | 3 |\n| --- | --- | --- |\n| y − 0 | 0 | 3 |\n| z − 0 | 0 | 0 |\n\n= 6z = 0 ⇒ z = 0  \n⎧ 3 x + 2y = 0  \nSea r la recta de ecuaciones r ≡ ⎨ .  \n⎩ 3 x + z = 0  \na) Halla los puntos de r cuya distancia al origen de coordenadas es de 7 unidades. b) Halla la ecuación del plano perpendicular a r que pasa por el puntoP = (1, 2, −1) . MATEMÁTICAS II. 2001. RESERVA 2. EJERCICIO 4. OPCIÓN B.  \nR E S O L U C I Ó N  \n⎧x = t  \na) Pasamos la recta r a paramétricas r ≡ ⎨3x3+x yz00 ⇒ r ≡ ⎨y = − 32 t  \n⎪⎩z = −3t  \nCualquier punto de la recta, tendrá de coordenadasA = ⎛⎜⎝ t, − 32 t, −3t⎟ . Sabemos que la distancia del punto A al punto B = (0,0,0) tiene que valer 7, luego:  \nJJJG 2 9t 2 2 49t 2 7t  \nAB = t + + 9t = = = 7 ⇒ t = ± 2  \n4 4 2  \nLuego, el punto A puede ser: A = ( 2, −3, −6 ) ó A = (−2, 3, 6)  \nb) El plano tiene como vector normal el vector director de la recta ⎜1, − 32 , −3⎟ , luego, su ecuaciónserá:  \n3  \nx − y − 3z + D = ","cbCaic7K515idGZb","https://ap.wps.com/l/cbCaic7K515idGZb","pdf",113616,6,1,12,"Spanish","es",110,"# Junio, Ejercicio 4 (Opción A)\n# Junio, Ejercicio 3 (Opción B)\n# Reserva 1, Ejercicio 4 (Opción B)\n# Reserva 2, Ejercicio 4 (Opción A)\n# Reserva 2, Ejercicio 4 (Opción B)\n# Reserva 3, Ejercicio 4 (Opción A)\n# Reserva 3, Ejercicio 4 (Opción B)","[{\"question\":\"¿Cómo se obtiene la ecuación de un plano en el espacio a partir de un punto y condiciones sobre rectas/planos?\",\"answer\":\"Se emplea la información dada para construir el vector normal o relacionarlo con un vector director. 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