[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"doc-detail-69461-es":3,"doc-seo-69461-110":31,"detail-sidebar-cat-0-es-110":85},{"code":4,"msg":5,"data":6},0,"success",{"doc_id":7,"user_id":8,"nickname":9,"user_avatar":10,"doc_module":4,"category_id":11,"category_name":12,"doc_title":13,"doc_description":14,"doc_content":15,"file_id":16,"file_url":17,"file_type":18,"file_size":19,"view_count":20,"is_deleted":4,"is_public":21,"is_downloadable":21,"audit_status":21,"page_count":22,"language":23,"language_code":24,"site_id":25,"html_lang":24,"table_of_contents":26,"faqs":27,"seo_title":28,"seo_description":14,"update_tm":29,"read_time":30},69461,687197100911,"Himbo","https://ap-avatar.wpscdn.com/avatar/a000239b6f1da00475?x-image-process=image/resize,m_fixed,w_180,h_180&k=1785132997149421697",38,"Examen","Problemas de Selectividad de Matemáticas II Resueltos Madrid 2011 Capítulo 12","Problemas resueltos de Matemáticas II correspondientes a la Selectividad de la Comunidad de Madrid (modelo 2011), Capítulo 12. Incluye ejercicios con sistemas lineales y discusión por parámetros, estudio de funciones racionales (máximos/mínimos relativos, asíntotas y cálculo de área acotada), y geometría analítica en el espacio (posición relativa de rectas, plano que contiene rectas, intersección de planos y planos paralelos). También aparecen matrices y operaciones para obtener expresiones de potencias e inversas, además de coplanaridad, paralelogramo, área y distancia de un punto a un plano.","Problemas de Selectividad de Matem􀀓aticas II Comunidad de Madrid  \n(Resueltos)  \nIsaac Musat Herv􀀓as  \n22 de mayo de 2013  \nCap􀀓􀀐tulo 12  \nA~no 2011  \n12.1. Modelo 2011-Opci􀀓on A  \nProblema 12.1.1 (3 puntos) Dado el sistema:  \n8  \n>  \n\u003C  \n>  \n:  \n􀀕x + 􀀕z = 2 x+ 􀀕y 􀀀 z = 1  \nx+ 3y+ z = 2􀀕  \nse pide:  \na) (1,5 puntos) . Discutir el sistema seg􀀓un los valores del par􀀓ametro 􀀕  \nb) (1,5 puntos) . Resolver el sistema para 􀀕 = 1 .  \nSoluci􀀓on:  \na)  \n  0 􀀕 0 􀀕  2 1  \nA = B 1 􀀕 􀀀1  1 C j Aj = 􀀀6􀀕 = 0 =) 􀀕 = 0 @ 1 3 1  2􀀕 A  \n Si 􀀕  0 =) jAj  0 =) Rango(A) =Rango(A) = 3 =no de inc􀀓ognitas, luego en este caso el sistema ser􀀓a compatible determinado.  \n Si 􀀕 = 0  \nA = 0B@ 011 003 1  210 1AC =) ( RangoRango((AA))  32 =)  \nSistema es Incompatible.  \nb)  \n8  \n>  \n\u003C  \n>  \n:  \nx + z = 2  \nx+ y 􀀀 z = 1  \nx+ 3y+ z = 2  \n8  \n>  \n=) \u003C  \n>  \n:  \nx = 3=2 y = 0 z = 1=2  \nProblema 12.1.2 (3 puntos) Dada la funci􀀓on:  \n x 􀀀 1   \nf (x) =  \n(x + 1)2  \nse pide:  \na) (1,5 puntos) . Obtener, si existen, los m􀀓aximos y m􀀓􀀐nimos relativos, y las as􀀓􀀐ntotas.  \nb) (1,5 puntos) . Calcular el 􀀓area del recinto acotado comprendido entre la gr􀀓a􀀌ca de f , el eje OX y las rectas x = 0, x = 3 .  \nSoluci􀀓on:  \na)  M􀀓aximos y M􀀓􀀐nimos:  \n0  3 􀀀 x   \nf (x) = = 0 =) x = 3  \n(x + 1)3  \n\n|  | ( 􀀀1 ; 􀀀1) | (􀀀1; 3) | (3 ; 1 ) |\n| --- | --- | --- | --- |\n| f0 (x) | 􀀀 | + | 􀀀 |\n| f (x) | decreciente & | creciente % | decreciente & |\n\nLa funci􀀓on presenta un M􀀓aximo en el punto 􀀒 3 ; 18􀀓 . En el puntox = 􀀀1 la funci􀀓on no es continua, en ese punto habr􀀓a una posible as􀀓􀀐ntota vertical.  \n As􀀓􀀐ntotas:  \n􀀏 Verticales: x = 􀀀1  \nx􀀀1 (xx~~ ~~11)2 = 􀀔 ~~ ~~2 􀀕 = 􀀆1  \nx 􀀀1+ (xx~~ ~~11)2 = 􀀔 ~~ ~~􀀕 = +1  \nx 􀀀1 􀀀 (xx~~ ~~11)2 = 􀀔 ~~ ~~􀀕 = +1  \n􀀏 Horizontales: y = 0  \n x 􀀀 1   \nl􀀓􀀐m = 0  \nx􀀀!1 (x + 1)2  \n􀀏 Oblicuas: No hay al haber horizontales  \n Comprobamos si hay alg􀀓un punto de corte de esta funci􀀓on con eleje de abcisas que est􀀓e dentro del intervalo [0 ; 3]:  \n x 􀀀 1   \n= 0 =) x = 1  \n(x + 1)2  \nLos l􀀓􀀐mites de integraci􀀓on ser􀀓an de 0 a 1 y de 1 a 3 . Calculamos la integral inde􀀌nida de la funci􀀓on por descomposici􀀓on polin􀀓omica:  \n x 􀀀 1   A   B   A (x + 1) + B (x + 1)2 = x + 1 + (x + 1)2 = (x + 1)2  \nx 􀀀 1 = A(x + 1) + B =) ( F (x) = Z (xx11)2 dx = Z  \nx = 􀀀1 =) B = 􀀀2  \nx = 0 =) 􀀀 1 = A + B =) A = 1  \nx~~ ~~~~ ~~1 dx􀀀2 Z (x~~ ~~~~ ~~1)2 dx = ln jx+1j+x~~ ~~~~ ~~1  \nS1 = Z01 (xx11)2 dx = F (1) 􀀀 F (0) = ln 2 􀀀 1 S2 = Z13 (xx11)2 dx = F (3) 􀀀 F (1) = ln 2 􀀀 12 S = jS1 j + jS2 j = 1 􀀀 ln 2 + ln 2 􀀀 12 = 12 u2  \nProblema 12.1.3 (2 puntos) Dadas las rectas:  \nx + 1  y   z + 1  x 􀀀 5  y 􀀀 4  z  \nr 􀀑 2 = 1 = 1 ; s 􀀑 2 = 1 = 1 se pide:  \na) (1 punto) . Estudiar la posici􀀓on relativa de la rectas r y s.  \nb) (1 punto) . Determinar la ecuaci􀀓on del plano 􀀙 que contiene a las rectasr y s.  \nSoluci􀀓on:  \nr : ( uP!􀀀rr ( 1(2; 0; 1; 􀀀; 11)) s : ( uP!􀀀ss(=5; 4(2; ;01); 1) P!s = (6 ; 4 ; 1)  \na) 􀀌 622 411 111 􀀌 = 0 y Rango u!ss ! = 2 =) las rectas r y s son  \nparalelas.  \nb)  \n>8 u!􀀀r = (2 ; 1 ; 1) 􀀌  \n􀀙 : \u003C P!s = (6 ; 4 ; 1) =) 􀀌:> Pr (􀀀1; 0 ; 􀀀1) 􀀌  \n2 1  \n1  \n6 4  \n1  \nx + 1  \ny  \nz + 1  \n􀀌􀀌  \n􀀌  \n􀀌 = 0 =) 3x􀀀4y􀀀2z+1 = 0 􀀌  \n􀀌  \nProblema 12.1.4 (2 puntos) Dados los planos 􀀋 􀀑 2x + y + 2z + 1 = 0 y 􀀌 􀀑 x 􀀀 2y + 6z = 0, se pide:  \na) (1 punto) . Obtener las ecuaciones param􀀓etricas de la recta r determinada por la intersecci􀀓on de 􀀋 con 􀀌 .  \nb) (1 punto) . Determinar el plano 􀀍 que es paralelo al plano 􀀋 y pasa porel punto ( p 2; 1 ; 0)  \nSoluci􀀓on:  \na)  \nr : (  \n2x + y + 2z + 1 = 0 x 􀀀 2y + 6z = 0  \n8  \n>>  \n>>  \n>>  \n>>  \n=) \u003C  \n>>  \n>>  \n>>  \n>>  \n:  \nx = 0+ 2􀀕  \n3  \ny = 􀀀 􀀀 2􀀕 5  \n1  \nz = 􀀀 􀀀 􀀕 5  \nUn punto de r puede ser: 􀀒 0 ; 􀀀 35 ; 􀀀 15􀀓 y  \n􀀌  \n􀀌  \nu!􀀀r = 􀀌  \n􀀌  \n􀀌  \ni 2  \n1  \nj 1  \n􀀀2  \nk 2  \n6  \n􀀌􀀌  \n􀀌  \n􀀌 = 5(2 ; 􀀀2; 􀀀1)􀀌  \n􀀌  \nb) 􀀍 : 2x + y + 2z + 􀀕 = 0 y contiene al punto ( p 2 ; 1 ; 0), luego:  \n2 p2 + 1 + 􀀕 = 0 =) 􀀕 = 􀀀(1 + 2 p2) =)  \n􀀍 : 2x + y + 2z 􀀀 (1 + 2 p2) = 0  \n12.2. Modelo 2011-Opci􀀓on BProblema 12.2.1 (3 puntos) Dadas las matrices:  \n0 2 􀀀1 􀀀1 1 0 1 0 0 1 A = B 1","cbCairs6BpD6RCTF","https://ap.wps.com/l/cbCairs6BpD6RCTF","pdf",3469774,6,1,23,"Spanish","es",110,"# 12.1 Modelo 2011- Opción A\n## Problema 12.1.1\n## Problema 12.1.2\n## Problema 12.1.3\n## Problema 12.1.4\n# 12.2 Modelo 2011- Opción B\n## Problema 12.2.1\n## Problema 12.2.2\n## Problema 12.2.3","[{\"question\":\"Qué conclusiones geométricas se obtienen en el Problema 12.1.3 y cómo se halla el plano común?\",\"answer\":\"Se estudia la posición relativa de dos rectas r y s mediante vectores y rangos, para decidir si son paralelas. Después se determina el plano que contiene ambas rectas mediante ecuaciones que satisfacen los puntos o direcciones comunes.\"}]","Problemas de Selectividad de Matemáticas II Resueltos Madrid 2011 Capítulo 12 | PDF",1784014271,35,{"code":4,"msg":32,"data":33},"ok",{"site_id":25,"language":24,"slug":34,"title":13,"keywords":35,"description":14,"schema_data":36,"social_meta":80,"head_meta":82,"extra_data":84,"updated_unix":29},"math-ii-selectividad-exam-problems-solved-madrid-2011-chapter-12","",{"@graph":37,"@context":79},[38,55,70],{"@type":39,"itemListElement":40},"BreadcrumbList",[41,45,49,52],{"item":42,"name":43,"@type":44,"position":21},"https://docshare.wps.com","Home","ListItem",{"item":46,"name":47,"@type":44,"position":48},"https://docshare.wps.com/es/document/","Document",2,{"item":50,"name":12,"@type":44,"position":51},"https://docshare.wps.com/es/document/examen/",3,{"item":53,"name":13,"@type":44,"position":54},"https://docshare.wps.com/es/document/math-ii-selectividad-exam-problems-solved-madrid-2011-chapter-12/69461/",4,{"url":53,"name":13,"@type":56,"author":57,"headline":13,"publisher":59,"fileFormat":62,"inLanguage":24,"description":14,"dateModified":63,"datePublished":64,"encodingFormat":62,"isAccessibleForFree":65,"interactionStatistic":66},"DigitalDocument",{"name":9,"@type":58},"Person",{"url":42,"name":60,"@type":61},"DocShare","Organization","application/pdf","2026-08-07","2026-07-14",true,{"@type":67,"interactionType":68,"userInteractionCount":20},"InteractionCounter",{"@type":69},"ViewAction",{"@type":71,"mainEntity":72},"FAQPage",[73],{"name":74,"@type":75,"acceptedAnswer":76},"Qué conclusiones geométricas se obtienen en el Problema 12.1.3 y cómo se halla el plano común?","Question",{"text":77,"@type":78},"Se estudia la posición relativa de dos rectas r y s mediante vectores y rangos, para decidir si son paralelas. 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