[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"doc-detail-72358-es":3,"doc-seo-72358-110":31,"detail-sidebar-cat-0-es-110":93},{"code":4,"msg":5,"data":6},0,"success",{"doc_id":7,"user_id":8,"nickname":9,"user_avatar":10,"doc_module":4,"category_id":11,"category_name":12,"doc_title":13,"doc_description":14,"doc_content":15,"file_id":16,"file_url":17,"file_type":18,"file_size":19,"view_count":20,"is_deleted":4,"is_public":21,"is_downloadable":21,"audit_status":21,"page_count":22,"language":23,"language_code":24,"site_id":25,"html_lang":24,"table_of_contents":26,"faqs":27,"seo_title":28,"seo_description":14,"update_tm":29,"read_time":30},72358,1099523882367,"Hazel","https://ap-avatar.wpscdn.com/davatar_9964176cb1d06d4a9deccf72a44ae3dc",38,"Examen","Matemáticas II 2004 Tema 4 Funciones - Problemas Resueltos","Problemas resueltos de Matemáticas II (selectividad Andalucía 2004) centrados en el Tema 4: funciones. Incluye ejercicios sobre determinación de parámetros para garantizar continuidad y derivabilidad en puntos concretos, estudio del signo de la derivada para hallar intervalos de crecimiento y decrecimiento, y análisis de rectas tangente y normal. También trata extremos relativos y absolutos de funciones, concavidad/convexidad mediante la segunda derivada, puntos de inflexión y construcción de modelos de optimización con función objetivo para minimizar o maximizar superficies o materiales.","PROBLEMAS RESUELTOSSELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2004  \nMATEMÁTICAS II  \nTEMA 4: FUNCIONES  \n􀁸 Junio, Ejercicio 2 , Opción A  \n􀁸 Junio, Ejercicio 1 , Opción B  \n􀁸 Reserva 1 , Ejercicio 2 , Opción A  \n􀁸 Reserva 1, Ejercicio 1 , Opción B  \n􀁸 Reserva 2, Ejercicio 1 , Opción A  \n􀁸 Reserva 2, Ejercicio 2 , Opción B  \n􀁸 Reserva 3, Ejercicio 1 , Opción A  \n􀁸 Reserva 3, Ejercicio 1 , Opción B  \n􀁸 Reserva 4 , Ejercicio 1 , Opción A  \n􀁸 Reserva 4 , Ejercicio 1 , Opción B  \n􀁸 Septiembre, Ejercicio 1 , Opción A  \n􀁸 Septiembre , Ejercicio 1 , Opción B  \n[http://emestrada. wordpress.com](http://emestrada. wordpress.com)  \n\n| 􀀌x 2 − 4x + 3 Se sabe que la función f : ( − 1, +∞) → 􀀁 definida por f ( x) = 􀀇􀀇  x 2 + a\u003Cbr>􀀏􀀇􀀏􀀇􀀏􀀇 x + 1 continua en ( − 1, +∞) .\u003Cbr>a) Halla el valor de a. ¿Esf derivable en x = 0 ? | si − 1 \u003C x \u003C 0 si x ≥ 0 | es |\n| --- | --- | --- |\n| b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento def. MATEMÁTICAS II. 2004. JUNIO. EJERCICIO 1. OPCIÓN B. |  |  |\n\nR E S O L U C I Ó N  \na) Como la función es continua en (−1, +∞) debe serlo en x = 0 , luego:  \nlim x2 − 4x + 3 = 3􀀆  \nx→0 − 􀀇  \nlim x 2 + a = a = a 􀀉􀀇 ⇒ a = 3 x→0 + x + 1 1 􀀊  \nVamos a ver si es derivable en x = 0 . Calculamos la función derivada:  \n􀀌 2x − 4 􀀇  \nf '(x) = 􀀍 x 2 + 2x − 3  \n􀀏􀀇 (x + 1) 2  \nsi  \nsi  \n−1\u003C x \u003C 0 x > 0  \nff ''((00))  − 43􀀆􀀊􀀉 ⇒ f '(0 − ) ≠ f '(0 + ) ⇒ No derivable  \nb) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero.  \n􀀌 2x − 4 􀀇  \nf '(x) = 􀀍 x 2 + 2x − 3  \n􀀏􀀇 (x + 1) 2  \nsi  \nsi  \n−1\u003C x \u003C 0 x > 0  \n\n|  | (−1, 0 ) | (0,1) | (1, ∞ ) |\n| --- | --- | --- | --- |\n| Signo f ' | − | − | + |\n| Función | D | D | C |\n\nConsidera la función f : 􀀁 → 􀀁 definida por f ( x) = ( x + 1)( x − 1)( x − 2) .  \na) Halla las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de f en el punto de abscisax = 1.  \nb) Determina los intervalos de concavidad y de convexidad def. ¿Tiene puntos de inflexión la gráfica def?.  \nMATEMÁTICAS II. 2004. JUNIO. EJERCICIO 2. OPCIÓN A.  \nR E S O L U C I Ó N  \na) La ecuación de la recta tangente será: y − f (x0 ) = f '(x0 ) ⋅ (x − x0 )  \nf (x) = (x + 1)(x −1)(x − 2) = x 3 − 2x2 − x + 2 f (1) = 13 − 2 ⋅12 −1+ 2 = 0  \nf '(x) = 3x2 − 4x −1⇒ f '(1) = − 2  \nluego, sustituyendo, tenemos que la recta tangente es: y − 0 = − 2 ⋅ (x −1) ⇒ y = −2x + 2  \nLa ecuación de la normal será: y − 0 = ~~ ~~12 ⋅ (x −1) ⇒ y = ~~ ~~x~~ ~~−21  \nb) Calculamos la segunda derivada.  \nf ''(x) = 6x − 4 = 0 ⇒ x = ~~ ~~23  \n\n| Función | Cn | Cx |\n| --- | --- | --- |\n\n↓  \n􀀆  2 20  􀀇 P.I. 􀀋􀀉 3 , 27 􀀌􀀊  \n\n|  | 􀀆􀀉􀀋 −∞, ~~ ~~23~~ ~~ 􀀇􀀌􀀊 | 􀀆􀀉􀀋 ~~ ~~23 , ∞ 􀀇􀀌􀀊 |\n| --- | --- | --- |\n| Signo f '' | − | + |\n\nSea f :[0, 2π] → 􀀁 la función definida por f ( x) = ex (cos x + senx) . a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento def. b) Halla los extremos relativos (locales) y absolutos (globales) def. MATEMÁTICAS II. 2004. RESERVA 1. EJERCICIO 1. OPCIÓN B.  \nR E S O L U C I Ó N  \na y b) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero: y ' = 2ex cos x = 0 ⇒ x = ~~ ~~ ; x = ~~ ~~3π2  \n\n|  | 􀀄􀀆􀀈 0, ~~ ~~~~ ~~ 􀀅􀀉􀀇 | 􀀄  π 3π  􀀅􀀈􀀆 2 , 2 􀀉􀀇 | 􀀄􀀆􀀈 ~~ ~~3π2 , 2π􀀅􀀉􀀇 |\n| --- | --- | --- | --- |\n| Signoy ' | + | ― | + |\n| Función | C | D | C |\n\n↓ ↓  \nMáximo 􀀄􀀆􀀈 ~~ ~~ , e ~~ ~~ 􀀅􀀉􀀇 mínimo 􀀈􀀄􀀆 3π2 , − e ~~ ~~32π 􀀅􀀉􀀇 El máximo absoluto es ( 2π, e 2π ) y el mínimo absoluto es 􀀄􀀈􀀆 3π2 , − e ~~ ~~32π 􀀅􀀉􀀇  \n\n| Se sabe que la función f : ( − 1,1) → 􀀁 definida por: |  |  |\n| --- | --- | --- |\n| 􀀊􀀆􀀊􀀆􀀊􀀆 2x2 −  1 x + cf ( x) = 􀀌 2\u003Cbr>􀀎􀀆􀀎􀀆􀀎􀀆 1 x | si\u003Cbr>si | − 1 \u003C x \u003C 0 0 ≤ x \u003C 1 |\n| es derivable en el intervalo ( −− 1,1) .\u003Cbr>a) Determina el valor de la constante c.\u003Cbr>b) Calcula la función derivadaf’.\u003Cbr>c) Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica def que son paralelas a la recta deecuación y = −− x .\u003Cbr>MATEMÁTICAS II. 2004. RESERVA 1. EJERCICIO 2. OPCIÓN A. |  |  |\n\nR E S O L U C I Ó N  \na) Si la función es derivable en x = 0 , primero tiene que ser continua en dicho punto, luego:  \nlim  \nx→0 −  \nlim  \nx→0 +  \n2x2 − ~~ ~~12 x + c = c 􀀅􀀆􀀈 ⇒ c = 1  1 − ","cbCaihf8BtD4iEeB","https://ap.wps.com/l/cbCaihf8BtD4iEeB","pdf",839124,7,1,13,"Spanish","es",110,"# Tema 4: Funciones\n## Continuidad y derivabilidad\n## Recta tangente y normal\n## Crecimiento y decrecimiento\n## Concavidad, convexidad y puntos de inflexión\n## Extremos relativos y absolutos\n## Optimización de superficies","[{\"question\":\"Cómo se determina el valor de la constante para que una función sea continua en x=0?\",\"answer\":\"Se impone la condición de continuidad usando los límites laterales y el valor en el punto. Al igualar el límite por la izquierda y por la derecha con el valor de la función en x=0 se obtiene la constante.\"},{\"question\":\"Por qué una función puede ser continua pero no derivable en un punto?\",\"answer\":\"Puede ocurrir que los límites de la función coincidan (continuidad) pero que las derivadas laterales no sean iguales. Si f'(0-) y f'(0+) difieren, la función no es derivable en x=0.\"},{\"question\":\"Cómo se hallan los intervalos de crecimiento y decrecimiento?\",\"answer\":\"Se calcula la derivada y se estudia su signo. 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