[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"doc-detail-69450-es":3,"doc-seo-69450-110":31,"detail-sidebar-cat-0-es-110":85},{"code":4,"msg":5,"data":6},0,"success",{"doc_id":7,"user_id":8,"nickname":9,"user_avatar":10,"doc_module":4,"category_id":11,"category_name":12,"doc_title":13,"doc_description":14,"doc_content":15,"file_id":16,"file_url":17,"file_type":18,"file_size":19,"view_count":20,"is_deleted":4,"is_public":21,"is_downloadable":21,"audit_status":21,"page_count":22,"language":23,"language_code":24,"site_id":25,"html_lang":24,"table_of_contents":26,"faqs":27,"seo_title":28,"seo_description":14,"update_tm":29,"read_time":30},69450,1099513958762,"Logic","https://ap-avatar.wpscdn.com/avatar/1000023916a998db790?x-image-process=image/resize,m_fixed,w_180,h_180&k=1784791008015729253",38,"Examen","Examenes selectividad resueltos matematicas II Comunidad de Madrid 2001","Conjunto de problemas resueltos de Matemáticas II de la Selectividad de la Comunidad de Madrid, edición 2001 (opción A y opción B). Incluye ejercicios de determinantes y cálculo de inversas y sistemas lineales, así como aplicaciones en geometría analítica: parábola, rectas tangentes, perpendicularidad y directriz. También aborda funciones racionales, dominio, asíntotas, extremos, concavidad/convexidad y análisis de circunferencias y parámetros en sistemas con discusión según k.","Problemas de Selectividad de Matem􀀓aticas II Comunidad de Madrid  \n(Resueltos)  \nIsaac Musat Herv􀀓as  \n22 de mayo de 2013  \nCap􀀓􀀐tulo 2 A~no 2001  \n2.1. Modelo 2001-Opci􀀓on A  \nProblema 2.1.1 (2 puntos) Comprobar que las siguientes matrices tienen el mismo determinante  \n0 1 + a 1 1 1 1 0B 􀀌 1 +1 a 1  a 􀀌 􀀌 11 11 􀀌 1CA = B 11 1  a 1  b 11 C y B = B 􀀌 􀀌 􀀌 􀀌 C  \n@ 1 1 1 1 􀀀 b A B@ 􀀌 11 11 􀀌 􀀌 1 +1 b 1  b 􀀌 AC  \nSoluci􀀓on:  \nj Bj = 􀀌 􀀀a02 1  b2 􀀌 = a2 b2  \n2  \n6  \njA j = 6  \n4  \nF1 􀀀 F2 F2 F3 􀀀 F4 F4  \n3 􀀌 a a 0 0 􀀌 􀀌 1 1 0 0 􀀌 2 7 􀀌 1 1 􀀀 a 1 1 􀀌 􀀌 1 1 􀀀 a 1 1 􀀌 6  \n7 = 􀀌 􀀌 = ab 􀀌 􀀌 = 6  \n7 􀀌 0 0 b b 􀀌 􀀌 0 0 1 1 􀀌 6 5 􀀌 1 1 1 1 􀀀 b 􀀌 􀀌 1 1 1 1 􀀀 b 􀀌 4  \nF1 F2 􀀀 F3 F3 F4 􀀀 F1  \n3  \n7  \n7 =  \n7  \n5  \n􀀌 11 1  a 00 00 􀀌 26   \nab 􀀌 􀀌 = 6 􀀌 0 0 1 1 􀀌 6  \n􀀌 0 0 1 1 􀀀 b 􀀌 4  \nF1 F2 􀀀 F1 F3 F4 􀀀 F3  \n3 􀀌  \n7 􀀌 7 = ab 􀀌 7 􀀌  \n5 􀀌  \n1 0  \n0 0  \n1  \n􀀀a  \n0 0  \n0 0  \n1 0  \n0 0  \n1  \n􀀀b  \n􀀌  \n􀀌  \n􀀌  \n􀀌  \n􀀌 =  \n􀀌  \n􀀌  \n􀀌  \n􀀌  \n􀀌  \n􀀌  \n= 􀀀a2 b 􀀌􀀌  \n􀀌  \n1 0  \n0  \n0 1  \n0  \n0 1  \n􀀀b  \n􀀌 􀀌  \n􀀌 􀀌  \n􀀌 = a2 b2 􀀌  \n􀀌 􀀌  \n􀀌 􀀌  \n1 0  \n0  \n0 1  \n0  \n0 1  \n1  \n􀀌  \n􀀌  \n􀀌 = a2 b2 􀀌  \n􀀌  \n􀀌  \nProblema 2.1.2 (2 puntos)Sea la matriz A =  \na) calcular A􀀀1  \n1 1  \n3 4  \n!  \nb) Resolver el sistema A 􀀁 \"  \n5  \n􀀀1  \n! +  \nx y  \n!\\# = 2124 !  \nSoluci􀀓on:  \na) A􀀀1 =  \n4 􀀀3  \n􀀀1 1  \n!  \nb) A (B + X) = C =) X = A􀀀1C 􀀀 B  \nx y  \n! = 1 3 ! 􀀁 2124 ! 􀀀 􀀀 51 ! = 72 !  \nProblema 2.1.3 (3 puntos) Sea la par􀀓abola x2 = 4y. Sean u y v las rectas tangentes a la par􀀓abola en los puntos P de abcisa a y Q de abcisa b, (a1 ; b),(a1 ; 0), (b1 ; 0) .  \na) (1,5 puntos) Hallar las coordenadas del punto R de intersecci􀀓on de u y v.  \nb) (1 punto) Hallar la relaci􀀓on entre a y b para que las rectas u y v sean perpendiculares.  \nc) (0,5 puntos) Probar que en el caso del apartado anterior, el punto Rest􀀓a en la directriz de la par􀀓abola.  \nSoluci􀀓on:  \na) Sean u tangente en el punto P (a; 0) y v tangente en el punto Q (b; 0) .  \n0 1 Tenemos f (x) = 2 x:  \n0 1 0 1  \nm 1 : f (a) = 2 a; m2 = f (b) = 2 b  \n8  \n>>  \n>  \n\u003C  \n>>  \n>  \n:  \nu : y = 12a (x 􀀀 a)  \n1  \nu : y = b (x 􀀀 b) 2  \n8  \n=) \u003C  \n:  \nxy   b =) R 􀀒 a + b; ab2􀀓  \nb)  \nm 1 = 12 =) ab = 􀀀4  \nc) Se trata de una par􀀓abola vertical cuya directriz es la recta d : y = 􀀀2. Si ab = 􀀀4 =) R 􀀒 a + b; 4 􀀓 = R (a + b; 􀀀2) 2 d  \nProblema 2.1.4 (3 puntos) Se considera la funci􀀓on  \n 1   \nf (x) =  \n4 􀀀 x2  \na) (1 punto) Indicar el dominio de de􀀌nici􀀓on de la funci􀀓on f y hallar sus as􀀓􀀐ntotas.  \nb) (1 punto) Hallar los extremos relativos de la funci􀀓on f y sus intervalos de concavidad y convexidad.  \nc) (1 punto) Dibujar la gr􀀓a􀀌ca de f y hallar su m􀀓aximo y su m􀀓􀀐nimoabsolutos en el intervalo [􀀀1; 1] .  \nSoluci􀀓on:  \na) Dom (f ) = R 􀀀 f􀀀2; 2g. Sus as􀀓􀀐ntotas:  \n Verticales:  \nEn x = 2:  \nx􀀓􀀐m! 2 􀀀 4~~ ~~x2 = 􀀔 0 􀀕 = +1  \nx􀀓􀀐m! 2+ 4~~ ~~x2 = 􀀔 0~~ ~~ 􀀕 = 􀀀1 En x = 􀀀2:  \nx 􀀀2 􀀀 4~~ ~~~~ ~~x2 = 􀀔 0~~ ~~ 􀀕 = 􀀀1  \nx 􀀀2+ 4~~ ~~x2 = 􀀔 0 􀀕 = +1  \n Horizontales:  \nEn y = 0:  \n 1   \nl􀀓􀀐m = 0  \nx􀀀!1 4 􀀀 x2  \n Oblicuas: No hay al haber horizontales.  \nb)  \nf0 (x) = (4~~ ~~xx2~~ ~~)2 ; f00 (x) = 2((34+x2)43) La segunda derivada no se anula nunca y, por tanto, no hay puntos de in􀀍exi􀀓on, y adem􀀓as 2(3x2 + 4) > 0 siempre. Por otro lado, por el denominador:  \n\n|  | ( 􀀀1 ; 􀀀2) | (􀀀2; 2) | (2 ; 1 ) |\n| --- | --- | --- | --- |\n| f00 (x) | 􀀀 | + | 􀀀 |\n| f (x) | Convexa | C􀀓oncava | Convexa |\n\nc)  \n0  2x   \nf (x) = = 0 =) x = 0  \n(4 􀀀 x2 )2  \n\n|  | ( 􀀀1 ; 0) | (0 ; 1 ) |\n| --- | --- | --- |\n| f00 (x) | 􀀀 | + |\n| f (x) | Decrece | Crece |\n\nLuego en el punto (0 ; 1=4) la funci􀀓on presenta un m􀀓􀀐nimo.  \n2.2. Modelo 2001-Opci􀀓on B  \nProblema 2.2.1 (2 puntos) Los v􀀓ertices de un tri􀀓angulo son A (􀀀2; 􀀀1), B(7; 5) y C (x; y) .  \na) Calcular el 􀀓area del tri􀀓angulo en funci􀀓on de x e y.  \nb) Encontrar el lugar geom􀀓etrico de los puntos (x; y) tales que la anterior  \n􀀓area es 36 .  \nSoluci􀀓on:  \na)  \n( !C!B  ((x9;+6; 20;)y + 1; 0)  \n1 􀀀! 􀀀! 1 􀀌 i j k 􀀌 S = ~~ ~~ jAC 􀀂 AC j = ~~ ~~ j 􀀌 x + 2 y + 1 0 􀀌 j =  \n2 2 􀀌 9 6 0 􀀌  \n1 3  \n= ~~ ~~ j(0; 0 ; 6x 􀀀 9y + 3)j = ~~ ~~ (2x 􀀀 3y ","cbCaigUAOeVUL3B8","https://ap.wps.com/l/cbCaigUAOeVUL3B8","pdf",3469930,5,1,25,"Spanish","es",110,"# Modelo 2001 - Opción A\n## Problemas 2.1.1 a 2.1.4\n# Modelo 2001 - Opción B\n## Problemas 2.2.1 a 2.2.3","[{\"question\":\"Qué temas aparecen en la opción B respecto a la geometría?\",\"answer\":\"Se estudian áreas de triángulos en función de coordenadas, familias de circunferencias por dos puntos y condiciones de tangencia, además de discusión de sistemas lineales dependientes de un parámetro k.\"}]","Examenes selectividad resueltos matematicas II Comunidad de Madrid 2001 | PDF",1784014223,39,{"code":4,"msg":32,"data":33},"ok",{"site_id":25,"language":24,"slug":34,"title":13,"keywords":35,"description":14,"schema_data":36,"social_meta":80,"head_meta":82,"extra_data":84,"updated_unix":29},"madrid-selectivity-exams-solved-mathematics-ii-2001","",{"@graph":37,"@context":79},[38,55,70],{"@type":39,"itemListElement":40},"BreadcrumbList",[41,45,49,52],{"item":42,"name":43,"@type":44,"position":21},"https://docshare.wps.com","Home","ListItem",{"item":46,"name":47,"@type":44,"position":48},"https://docshare.wps.com/es/document/","Document",2,{"item":50,"name":12,"@type":44,"position":51},"https://docshare.wps.com/es/document/examen/",3,{"item":53,"name":13,"@type":44,"position":54},"https://docshare.wps.com/es/document/madrid-selectivity-exams-solved-mathematics-ii-2001/69450/",4,{"url":53,"name":13,"@type":56,"author":57,"headline":13,"publisher":59,"fileFormat":62,"inLanguage":24,"description":14,"dateModified":63,"datePublished":64,"encodingFormat":62,"isAccessibleForFree":65,"interactionStatistic":66},"DigitalDocument",{"name":9,"@type":58},"Person",{"url":42,"name":60,"@type":61},"DocShare","Organization","application/pdf","2026-08-08","2026-07-14",true,{"@type":67,"interactionType":68,"userInteractionCount":20},"InteractionCounter",{"@type":69},"ViewAction",{"@type":71,"mainEntity":72},"FAQPage",[73],{"name":74,"@type":75,"acceptedAnswer":76},"Qué temas aparecen en la opción B respecto a la geometría?","Question",{"text":77,"@type":78},"Se estudian áreas de triángulos en función de coordenadas, familias de circunferencias por dos puntos y condiciones de tangencia, además de discusión de sistemas lineales dependientes de un parámetro k.","Answer","https://schema.org",{"og:url":53,"og:type":81,"og:title":13,"og:site_name":60,"og:description":14},"article",{"robots":83,"canonical":53},"index,follow",{"doc_id":7,"site_id":25},{"code":4,"msg":5,"data":86},[87,91,95,97,101,105,109,113,117,121],{"id":30,"doc_module":4,"doc_module_name":47,"category_name":88,"show_sort_weight":89,"slug":90},"Cómic",60,"comic",{"id":92,"doc_module":4,"doc_module_name":47,"category_name":93,"show_sort_weight":89,"slug":94},43,"Estilo de Vida","lifestyle",{"id":11,"doc_module":4,"doc_module_name":47,"category_name":12,"show_sort_weight":89,"slug":96},"exam",{"id":98,"doc_module":4,"doc_module_name":47,"category_name":99,"show_sort_weight":89,"slug":100},44,"General","general",{"id":102,"doc_module":4,"doc_module_name":47,"category_name":103,"show_sort_weight":89,"slug":104},41,"Investigación e Informes","research-report",{"id":106,"doc_module":4,"doc_module_name":47,"category_name":107,"show_sort_weight":89,"slug":108},37,"Literatura","literature",{"id":110,"doc_module":4,"doc_module_name":47,"category_name":111,"show_sort_weight":89,"slug":112},22,"Relatos y Novelas","story-novel",{"id":114,"doc_module":4,"doc_module_name":47,"category_name":115,"show_sort_weight":89,"slug":116},42,"Religión y Espiritualidad","religion-spirituality",{"id":118,"doc_module":4,"doc_module_name":47,"category_name":119,"show_sort_weight":89,"slug":120},40,"Salud y Atención Médica","healthcare",{"id":122,"doc_module":4,"doc_module_name":47,"category_name":123,"show_sort_weight":89,"slug":124},24,"Tecnología","technology"]