[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"doc-detail-72388-es":3,"doc-seo-72388-110":31,"detail-sidebar-cat-0-es-110":93},{"code":4,"msg":5,"data":6},0,"success",{"doc_id":7,"user_id":8,"nickname":9,"user_avatar":10,"doc_module":4,"category_id":11,"category_name":12,"doc_title":13,"doc_description":14,"doc_content":15,"file_id":16,"file_url":17,"file_type":18,"file_size":19,"view_count":20,"is_deleted":4,"is_public":21,"is_downloadable":21,"audit_status":21,"page_count":22,"language":23,"language_code":24,"site_id":25,"html_lang":24,"table_of_contents":26,"faqs":27,"seo_title":28,"seo_description":14,"update_tm":29,"read_time":30},72388,1099523885336,"Violet","https://ap-avatar.wpscdn.com/davatar_276721f389ce27ea32af1340a28f341c",38,"Examen","Integrales - Matemáticas II Tema 5 (Selectividad Andalucía 2009)","Recopilación de enunciados y soluciones de ejercicios de Matemáticas II del bloque de Selectividad Andalucía 2009, correspondientes al Tema 5 “Integrales”. Incluye apartados sobre esbozo de curvas, verificación de tangencias y cálculo de áreas de recintos limitados por funciones, rectas tangentes y ejes. Se desarrollan casos con funciones a trozos, polinomios, funciones logarítmicas y derivadas para obtener ecuaciones de tangentes y resolver integrales definidas con límites determinados.","PROBLEMAS RESUELTOSSELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2009  \nMATEMÁTICAS II  \nTEMA 5 : INTEGRALES  \n􀁸 Junio, Ejercicio 2 , Opción A  \n􀁸 Junio, Ejercicio 2 , Opción B  \n􀁸 Reserva 1, Ejercicio 2 , Opción A  \n􀁸 Reserva 1 , Ejercicio 2 , Opción B  \n􀁸 Reserva 2, Ejercicio 2 , Opción A  \n􀁸 Reserva 2, Ejercicio 2 , Opción B  \n􀁸 Reserva 3, Ejercicio 2 , Opción A  \n􀁸 Reserva 3, Ejercicio 2 , Opción B  \n􀁸 Reserva 4, Ejercicio 2 , Opción A  \n􀁸 Reserva 4, Ejercicio 2 , Opción B  \n􀁸 Septiembre, Ejercicio 2 , Opción A  \n􀁸 Septiembre, Ejercicio 2 , Opción B  \n[http://emestrada. wordpress.com](http://emestrada. wordpress.com)  \nSea f : \\ → \\ la función definida porf ( x ) = x  x − 1  .  \na) Esboza la gráfica def.  \nb) Comprueba que la recta de ecuación y = x es la recta tangente a la gráfica de f en el puntode abscisa x = 0 .  \nc) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica def y la de dicha tangente.  \nMATEMÁTICAS II. 2009. JUNIO. EJERCICIO 2. OPCIÓN A.  \nR E S O L U C I Ó N  \na) Lo primero que hacemos es abrir la función y dibujarla  \nf (x) = x  x −1 = ⎨⎪⎧− x22 + x si x \u003C 1  \n⎪⎩ x − x si x ≥ 1  \nb) La ecuación de la recta tangente será: y − f (0) = f '(0) ⋅ (x − 0)  \nf (0) = 0  \nf '(0) = 1  \nluego, sustituyendo, tenemos que la recta tangente es: y − 0 = 1⋅ (x − 0) ⇒ y = xc)  \nÁrea = ∫ 10( x) − (− x 2 + x) dx + ∫ 21( x) − ( x 2 − x) dx = ∫ 10 x 2 dx+ ∫ 21 (− x 2 + 2x)dx =  \nConsidera la curva de ecuación y = x 3 − 3x .  \na) Halla la recta tangente a la curva en el punto de abscisa x = − 1 .  \nb) Calcula el área del recinto limitado por la curva dada y la recta y = 2. MATEMÁTICAS II. 1997. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 1. OPCIÓN BMATEMÁTICAS II. 2009. JUNIO. EJERCICIO 2. OPCIÓN B  \nR E S O L U C I Ó N  \na)  \nx = − 1 ⇒ y = 2 ⎫  \ny ' = 3x 2 − 3 ⇒ m = y '(−1) = 0⎭⎬ ⇒ y − 2 = 0 ⋅ (x + 1) ⇒ y = 2  \nb)  \nPor lo tanto, el área pedida será:  \nA = ∫  \n2 ( 2 − x 3 + 3x) dx = ⎢⎡2x −  x4  +  3x 2 ⎤⎥−1 ⎣ 4 2 ⎦  \n2  \n−1  \n1 3 27 2 = 4 − 4 + 6 + 2 +  −  = ~~ ~~ u  \n4 2 4  \nConsidera las funciones f , g : \\ → \\ definidas por f ( x ) =  x  , g( x ) = 6 − x 2  \na) Esboza el recinto limitado por sus gráficas.  \nb) Calcula el área de dicho recinto.  \nMATEMÁTICAS II. 2009. RESERVA 1. EJERCICIO 2. OPCIÓN A.  \nMATEMÁTICAS II. 2003. RESERVA 1. EJERCICIO 2. OPCIÓN B.  \nR E S O L U C I Ó N  \na)  \nb)  \nLa recta tangente a la gráfica de la función f : \\ → \\ , definida por f ( x ) = mx 2 + nx − 3 , en el punto (1, − 6) , es paralela a la recta de ecuación y = − x  \na) Determina las constantes m y n. Halla la ecuación de dicha recta tangente.  \nb) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de la función, la recta tangente anterior yel eje de ordenadas.  \nMATEMÁTICAS II. 2009. RESERVA 1. EJERCICIO 2. OPCIÓN B.  \nR E S O L U C I Ó N  \na) Calculamos la función derivada: f '(x) = 2mx + n  \n-Pasa por (1, − 6) ⇒ f (1) = − 6 ⇒ m⋅12 + n⋅1− 3 = − 6  \n-Tangente paralela a y = − x ⇒ f '(1) = − 1 ⇒ 2m⋅1 + n = − 1 Resolviendo el sistema, tenemos que: m = 2 ; n = − 5 ⇒ f (x) = 2x 2 − 5x − 3 La ecuación de la tangente será: y + 6 = − 1⋅ (x −1) ⇒ x + y + 5 = 0  \nb) El área de la región pedida es:  \nA = ∫  \n1  \n0  \n((2x 2 − 5x − 3) − (−x − 5) )dx =∫  \n1 ( 2x 2 − 4x + 2) )dx = ⎡⎢2x 3  − 2x 2 + 2x⎤⎥ 0 ⎣ 3 ⎦  \n1  \n0  \n2  \n= ~~ ~~ u  \n3  \n2  \nSea f : (0, +∞ ) → \\ la función definida por f ( x ) = 1 + ln( x ) , siendo ln la función logaritmo neperiano.  \na) Comprueba que la recta de ecuación y = 1 + ~~ ~~1e x es la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = e .  \nb) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica def, el eje de abscisas y la recta tangente obtenida en el apartado anterior.  \nMATEMÁTICAS II. 2009. RESERVA 2. EJERCICIO 2. OPCIÓN A.  \nR E S O L U C I Ó N  \na) La recta tangente en x = e es y − f (e) = f '(e) ⋅ (x − e) f (e) = 2  \nf '(x) = ~~ ~~1e ⇒ f '(e) = ~~ ~~1e  \nSustituyendo en la ecuación, tenemos, y − 2 = ~~ ~~1e ⋅ (x − e) ⇒ y = 1 + ~~ ~~1e xb) El área de la región pedida es: A = A1 − A2  \nA1  \nA2  \n∫ 1+ ln(x) dx = x(1+ ln(x)) − ∫ ~~ ~~xx~~ ~~ dx =x + x ln","cbCaihXeL6y5YQDC","https://ap.wps.com/l/cbCaihXeL6y5YQDC","pdf",112072,7,1,13,"Spanish","es",110,"# Tema 5: Integrales\n## Junio, Ejercicio 2 (Opción A)\n## Junio, Ejercicio 2 (Opción B)\n## Reserva 1, Ejercicio 2 (Opción A)\n## Reserva 1, Ejercicio 2 (Opción B)\n## Reserva 2, Ejercicio 2 (Opción A)\n## Reserva 2, Ejercicio 2 (Opción B)\n## Reserva 3, Ejercicio 2 (Opción A)","[{\"question\":\"Qué tipo de tareas incluye el Tema 5: Integrales en estos ejercicios?\",\"answer\":\"Incluye esbozar gráficas, comprobar ecuaciones de rectas tangentes y calcular áreas de recintos limitados por funciones, tangentes y ejes. También se pide resolver integrales definidas mediante el uso de límites y, en algunos casos, puntos de corte.\"},{\"question\":\"Cómo se obtiene la recta tangente en los apartados que la solicitan?\",\"answer\":\"Se calcula el valor de la derivada en el punto correspondiente para obtener la pendiente y se usa la fórmula de la recta tangente con el punto de tangencia. En varios ejercicios, además, se verifica si una recta dada coincide con esa tangente.\"},{\"question\":\"De qué manera se calcula el área del recinto en estos ejercicios?\",\"answer\":\"Se determina la región limitada (mediante puntos de intersección o el tipo de curva y recta), y se plantean integrales definidas entre los límites de la región. 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