[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"doc-detail-72391-es":3,"doc-seo-72391-110":31,"detail-sidebar-cat-0-es-110":93},{"code":4,"msg":5,"data":6},0,"success",{"doc_id":7,"user_id":8,"nickname":9,"user_avatar":10,"doc_module":4,"category_id":11,"category_name":12,"doc_title":13,"doc_description":14,"doc_content":15,"file_id":16,"file_url":17,"file_type":18,"file_size":19,"view_count":20,"is_deleted":4,"is_public":21,"is_downloadable":21,"audit_status":21,"page_count":22,"language":23,"language_code":24,"site_id":25,"html_lang":24,"table_of_contents":26,"faqs":27,"seo_title":28,"seo_description":14,"update_tm":29,"read_time":30},72391,1099523885336,"Violet","https://ap-avatar.wpscdn.com/davatar_276721f389ce27ea32af1340a28f341c",38,"Examen","Integrales - Matemáticas II - Andalucía 2011 (Tema 5)","Conjunto de soluciones de Matemáticas II para el Tema 5: Integrales, correspondiente a ejercicios de las pruebas de Andalucía de 2011 (Junio y Reservas). El contenido aborda el planteamiento y resolución de integrales definidas y primitivas mediante técnicas como integración por partes, cambio de variable y descomposición en fracciones simples. Incluye el esbozo de recintos delimitados por curvas y rectas, cálculo de puntos de corte y determinación de parámetros para áreas dadas, además de fijar constantes usando condiciones de tangencia y puntos concretos.","PROBLEMAS RESUELTOSSELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2011  \nMATEMÁTICAS II  \nTEMA 5: INTEGRALES  \n• Junio, Ejercicio 2, Opción A  \n• Junio, Ejercicio 2, Opción B  \n• Reserva 1, Ejercicio 2, Opción A  \n• Reserva 1, Ejercicio 2, Opción B  \n• Reserva 2, Ejercicio 2, Opción A  \n• Reserva 2, Ejercicio 2, Opción B  \n• Reserva 3, Ejercicio 2, Opción A  \n• Reserva 3, Ejercicio 2, Opción B  \n• Reserva 4, Ejercicio 2, Opción A  \n• Reserva 4, Ejercicio 2, Opción B  \n• Septiembre, Ejercicio 2, Opción A  \n• Septiembre, Ejercicio 2, Opción B  \n[http://emestrada.wordpress.com](http://emestrada.wordpress.com)  \nSea f : (− 1,+ ∞ ) → \\ la función definida porf ( x ) = ln ( x + 1) , donde ln denota la funciónlogaritmo neperiano.  \na) Esboza el recinto limitado por la gráfica def, el eje OY y la recta y = 1 . Calcula los puntos de corte de las gráficas.  \nb) Halla el área del recinto anterior  \nMATEMÁTICAS II. 2011. JUNIO. EJERCICIO 2. OPCIÓN A.  \nR E S O L U C I Ó N  \na)  \nCalculamos los puntos de corte de las dos funciones:  \nyy  1ln (x + 1)⎬ ⇒ ln (x + 1) = 1 ⇒ e 1 = x +1 ⇒ x = e −1 ⇒ A = (e −1,1)  \nx =  \ny =  \nb) Vamos a calcular la integral I 1  \n0ln (x + 1)⎬ ⇒ y = ln1 = 0 ⇒ B = (0 , 0)  \n= ∫ ln (x + 1) dx , que es una integral por partes.  \nu = ln (x + 1); du = ~~ ~~x~~ ~~~~ ~~1 dx dv = dx ; v = x  \nI 1 = ∫ ln (x + 1) dx = x ⋅ln (x + 1) − ∫ ~~ ~~x~~ ~~~~ ~~1 dx = x ⋅ln (x + 1) − I2  \nLa integral I 2 = ∫ ~~ ~~x~~ ~~~~ ~~1 dx es una integral racional  \nI 2 = ∫ ~~ ~~x~~ ~~~~ ~~1 dx = ∫ ⎜ 1 + ~~ ~~x1⎟ dx = x − ln(x + 1) Sustituyendo, nos queda: I 1 = ∫ ln (x + 1) dx = x ⋅ln (x + 1) − ∫ ~~ ~~x~~ ~~~~ ~~1 dx = x ⋅ ln (x + 1) − x + ln(x + 1)  \nUna vez que hemos calculado la integral indefinida, ahora resolvemos la que nos proponía el problema.  \nA = ∫  \ne−1  \n0  \n( 1− ln (x + 1) )dx = [ x − x ⋅ln (x + 1) + x − ln(x + 1) ] e0−1 = e − 2 u 2  \n[http://emestrada.wordpress.com](http://emestrada.wordpress.com)  \nHalla: ∫ ~~ ~~(e~~ ~~2~~ ~~x~~ ~~−~~ ~~e1)x(e~~ ~~x~~ ~~+~~ ~~1) dx  \nSugerencia: efectúa el cambio de variable t = e x  \nMATEMÁTICAS II. 2011. JUNIO. EJERCICIO 2. OPCIÓN B.  \nR E S O L U C I Ó N  \ne x = t ⇒ e x dx = dt  \n∫ ~~ (~~e~~ ~~2~~ ~~x~~ ~~−~~ ~~e1~~)~~x~~(~~e~~ ~~x~~ ~~+~~ ~~1~~)~~ dx = ∫ ~~ (~~t~~ ~~2~~ ~~−11~~)(~~t~~ ~~+~~ ~~1~~)~~ dt =∫ ~~ (~~t~~ ~~−1~~)~~1~~(~~t~~ ~~+~~ ~~1~~) ~~2~~ ~~ dt Descomponemos en fracciones simples:  \n 1 A B C A(t + 1) 2 + B(t −1)(t + 1) + C(t −1)  \n= + + =  \n(t −1)(t + 1)2 t −1 t + 1 (t + 1) 2 (t −1)(t + 1)2  \nComo los denominadores son iguales, los numeradores también tienen que serlo. Para calcularA, By Csustituimos los valores de las raíces en los dos numeradores.  \nt = 1 ⇒ 1 = 4 A ⇒ A = ~~ ~~14  \nt = − 1 ⇒1 = − 2C ⇒ C = − ~~ ~~12  \n1 1 1 t = 0 ⇒1 =  − B +  ⇒ B = − ~~ ~~  \n4 2 4  \nCon lo cual:  \n∫ ~~ (~~t~~ ~~−1~~)~~1~~(~~t~~ ~~+~~ ~~1~~) ~~2~~ ~~ dt = ∫  t  1 dt + ∫  dt +∫ ~~ (~~t~~ ~~121~~) ~~2~~ ~~ dt = ~~ ~~14 ln(t −1) − ~~ ~~14 ln(t + 1) +  \n 1 ln(e x −1) −  1  ln(e x + 1) +  1  + C  \n=  \n4 4 2(e x + 1)  \n 1  + C = 2(t + 1)  \n[http://emestrada.wordpress.com](http://emestrada.wordpress.com)  \nDetermina la función f : (0, +∞ ) → \\ tal que f ''( x ) = ~~ ~~1x y su gráfica tiene tangente horizontal en el punto P(1,1) .  \nMATEMÁTICAS II. 2011. RESERVA 1. EJERCICIO 2. OPCIÓN A.  \nR E S O L U C I Ó N  \nIntegramos dos veces para calcular la expresión de f (x) .  \nf '(x) = ∫ ~~ ~~1x dx = ln x + Cf (x) = ∫ (ln x + C) dx = x ln x − x + Cx + D  \nCalculamos los valores de C y D.  \n-Pasa por (1,1) ⇒ 1 = 1⋅ ln1−1+ C + D ⇒ D = 2  \n-Tangente horizontal ⇒ f '(1) = 0 ⇒ 0 = ln1 + C ⇒ C = 0 Luego, la función es: f (x) = x ln x − x + 2  \n[http://emestrada.wordpress.com](http://emestrada.wordpress.com)  \nCalcula ∫ ~~ ~~xx2~~ ~~3++xx−22 dx  \nMATEMÁTICAS II. 2011. RESERVA 1. EJERCICIO 2. OPCIÓN B  \nR E S O L U C I Ó N  \nDividimos los dos polinomios, con lo cual la integral se descompone en:  \n∫ xx222 dx = ∫ x dx + ∫  \nx2  \n2x  \n+ x − 2  \ndx =  \nx 2  \n2  \n+  \n∫  \nCalculamos las raíces del denominador: x 2 + x − 2 = 0 ⇒ x = 1 ; x = − 2 ","cbCaiebwrDbN8uk5","https://ap.wps.com/l/cbCaiebwrDbN8uk5","pdf",88993,5,1,13,"Spanish","es",110,"# Junio, Ejercicio 2\n## Opción A\n## Opción B\n# Reserva 1, Ejercicio 2\n## Opción A\n## Opción B\n# Reserva 2, Ejercicio 2\n## Opción A\n## Opción B","[{\"question\":\"¿Cómo se calcula el área del recinto delimitado por y=ln(x+1), el eje OY y la recta y=1?\",\"answer\":\"Se determinan los puntos de corte para fijar los límites de integración y luego se integra la diferencia entre la recta y la función logarítmica en el intervalo correspondiente.\"},{\"question\":\"¿Qué método se usa para hallar la integral de ln(x+1)?\",\"answer\":\"Se aplica integración por partes, tomando u=ln(x+1) y dv=dx, lo que conduce a una integral racional adicional para completar el resultado.\"},{\"question\":\"¿Cómo se determina una primitiva de una función del tipo x(1-ln x) que pase por P(1,1)?\",\"answer\":\"Se calcula la primitiva mediante integración por partes, se obtiene la familia con constante C y se sustituye el punto P(1,1) para determinar C.\"}]","Integrales - Matemáticas II - Andalucía 2011 (Tema 5) | PDF",1784036533,20,{"code":4,"msg":32,"data":33},"ok",{"site_id":25,"language":24,"slug":34,"title":13,"keywords":35,"description":14,"schema_data":36,"social_meta":88,"head_meta":90,"extra_data":92,"updated_unix":29},"integrals-mathematics-ii-andalusia-2011-topic-5","",{"@graph":37,"@context":87},[38,55,70],{"@type":39,"itemListElement":40},"BreadcrumbList",[41,45,49,52],{"item":42,"name":43,"@type":44,"position":21},"https://docshare.wps.com","Home","ListItem",{"item":46,"name":47,"@type":44,"position":48},"https://docshare.wps.com/es/document/","Document",2,{"item":50,"name":12,"@type":44,"position":51},"https://docshare.wps.com/es/document/examen/",3,{"item":53,"name":13,"@type":44,"position":54},"https://docshare.wps.com/es/document/integrals-mathematics-ii-andalusia-2011-topic-5/72391/",4,{"url":53,"name":13,"@type":56,"author":57,"headline":13,"publisher":59,"fileFormat":62,"inLanguage":24,"description":14,"dateModified":63,"datePublished":64,"encodingFormat":62,"isAccessibleForFree":65,"interactionStatistic":66},"DigitalDocument",{"name":9,"@type":58},"Person",{"url":42,"name":60,"@type":61},"DocShare","Organization","application/pdf","2026-07-29","2026-07-14",true,{"@type":67,"interactionType":68,"userInteractionCount":20},"InteractionCounter",{"@type":69},"ViewAction",{"@type":71,"mainEntity":72},"FAQPage",[73,79,83],{"name":74,"@type":75,"acceptedAnswer":76},"¿Cómo se calcula el área del recinto delimitado por y=ln(x+1), el eje OY y la recta y=1?","Question",{"text":77,"@type":78},"Se determinan los puntos de corte para fijar los límites de integración y luego se integra la diferencia entre la recta y la función logarítmica en el intervalo correspondiente.","Answer",{"name":80,"@type":75,"acceptedAnswer":81},"¿Qué método se usa para hallar la integral de ln(x+1)?",{"text":82,"@type":78},"Se aplica integración por partes, tomando u=ln(x+1) y dv=dx, lo que conduce a una integral racional adicional para completar el resultado.",{"name":84,"@type":75,"acceptedAnswer":85},"¿Cómo se determina una primitiva de una función del tipo x(1-ln x) que pase por P(1,1)?",{"text":86,"@type":78},"Se calcula la primitiva mediante integración por partes, se obtiene la familia con constante C y se sustituye el punto P(1,1) para determinar C.","https://schema.org",{"og:url":53,"og:type":89,"og:title":13,"og:site_name":60,"og:description":14},"article",{"robots":91,"canonical":53},"index,follow",{"doc_id":7,"site_id":25},{"code":4,"msg":5,"data":94},[95,100,104,106,110,114,118,122,126,130],{"id":96,"doc_module":4,"doc_module_name":47,"category_name":97,"show_sort_weight":98,"slug":99},39,"Cómic",60,"comic",{"id":101,"doc_module":4,"doc_module_name":47,"category_name":102,"show_sort_weight":98,"slug":103},43,"Estilo de Vida","lifestyle",{"id":11,"doc_module":4,"doc_module_name":47,"category_name":12,"show_sort_weight":98,"slug":105},"exam",{"id":107,"doc_module":4,"doc_module_name":47,"category_name":108,"show_sort_weight":98,"slug":109},44,"General","general",{"id":111,"doc_module":4,"doc_module_name":47,"category_name":112,"show_sort_weight":98,"slug":113},41,"Investigación e Informes","research-report",{"id":115,"doc_module":4,"doc_module_name":47,"category_name":116,"show_sort_weight":98,"slug":117},37,"Literatura","literature",{"id":119,"doc_module":4,"doc_module_name":47,"category_name":120,"show_sort_weight":98,"slug":121},22,"Relatos y Novelas","story-novel",{"id":123,"doc_module":4,"doc_module_name":47,"category_name":124,"show_sort_weight":98,"slug":125},42,"Religión y Espiritualidad","religion-spirituality",{"id":127,"doc_module":4,"doc_module_name":47,"category_name":128,"show_sort_weight":98,"slug":129},40,"Salud y Atención Médica","healthcare",{"id":131,"doc_module":4,"doc_module_name":47,"category_name":132,"show_sort_weight":98,"slug":133},24,"Tecnología","technology"]