[{"data":1,"prerenderedAt":-1},["ShallowReactive",2],{"doc-detail-72389-es":3,"doc-seo-72389-110":31,"detail-sidebar-cat-0-es-110":93},{"code":4,"msg":5,"data":6},0,"success",{"doc_id":7,"user_id":8,"nickname":9,"user_avatar":10,"doc_module":4,"category_id":11,"category_name":12,"doc_title":13,"doc_description":14,"doc_content":15,"file_id":16,"file_url":17,"file_type":18,"file_size":19,"view_count":20,"is_deleted":4,"is_public":21,"is_downloadable":21,"audit_status":21,"page_count":22,"language":23,"language_code":24,"site_id":25,"html_lang":24,"table_of_contents":26,"faqs":27,"seo_title":28,"seo_description":14,"update_tm":29,"read_time":30},72389,1099523885336,"Violet","https://ap-avatar.wpscdn.com/davatar_276721f389ce27ea32af1340a28f341c",38,"Examen","Integrales - Matemáticas II 2010 Tema 5 (Problemas Resueltos)","Problemas resueltos de Matemáticas II (Andalucía 2010), Tema 5: Integrales, con varios ejercicios propuestos en distintas convocatorias (junio y reservas). Las soluciones desarrollan cambios de variable y el cálculo de integrales definidas, integraciones por partes y tratamiento de funciones con distintas formas (rectas, parábolas, hipérbolas y logaritmos). También se determinan áreas de recintos limitados por curvas y rectas, se localizan puntos de corte y se calcula una constante para fijar el área. Incluye además el hallazgo de primitivas y la ecuación de una recta normal.","PROBLEMAS RESUELTOSSELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2010  \nMATEMÁTICAS II  \nTEMA 5: INTEGRALES  \n• Junio, Ejercicio 2, Opción A  \n• Junio, Ejercicio 2, Opción B  \n• Reserva 1, Ejercicio 2, Opción A  \n• Reserva 1, Ejercicio 2, Opción B  \n• Reserva 2, Ejercicio 2, Opción A  \n• Reserva 2, Ejercicio 2, Opción B  \n• Reserva 3, Ejercicio 2, Opción A  \n• Reserva 3, Ejercicio 2, Opción B  \n• Reserva 4, Ejercicio 2, Opción A  \n• Reserva 4, Ejercicio 2, Opción B  \n• Septiembre, Ejercicio 2, Opción A  \n• Septiembre, Ejercicio 2, Opción B  \n[http://emestrada.wordpress.com](http://emestrada.wordpress.com)  \nCalcula ∫ π0 2 sen( x ) dx .  \nSugerencia: Efectúa el cambio x = t  \nMATEMÁTICAS II. 2010. JUNIO. EJERCICIO 2. OPCIÓN A  \nR E S O L U C I Ó N  \nComo el cambio es x = t , vamos a calcular los nuevos límites de integración.  \nSi x =π 2 ⇒ π 2 = t ⇒ t =π  \nSi x = 0 ⇒ 0 = t ⇒ t = 0  \nVamos a calcular cuanto vale dx:  \n1 x = t ⇒  \n2  \ndx = dt ⇒ dx = 2tdtx  \nHacemos la integral por partes. Sustituyendo, nos queda:  \n∫ π0 2t ⋅ sent dt = ⎢−2t cost + 2∫ cost dt⎥ = [− 2t cost + 2 sent] π0 = (− 2π cos π + 2senπ)− (2sen 0) = 2π  \nu = 2t; du = 2 dt  \ndv = sent dt; v = − cost  \n[http://emestrada.wordpress.com](http://emestrada.wordpress.com)  \nConsidera la funciónf dada por f ( x) = 5 − x y la funcióng definida como g( x ) = ~~ ~~4x para x ≠ 0 .  \na) Esboza el recinto limitado por las gráficas def y g indicando sus puntos de corte.  \nb) Calcula el área de dicho recinto.  \nMATEMÁTICAS II. 2010. JUNIO. EJERCICIO 2. OPCIÓN B.  \nR E S O L U C I Ó N  \na) La función f (x) = 5 − x es una recta, luego podemos dibujarla fácilmente con una tabla devalores. La función g (x) = ~~ ~~4x es una hipérbola, la podemos dibujar dando 3 ó 4 valores a la derechay a la izquierda de 0.  \nVemos que las dos funciones se cortan en los puntos (1, 4) y (4,1)  \nb) El área de la región pedida es:  \nA = ∫  \n4 − x − ~~ ~~4x) dx = ⎣⎢⎡5x − ~~ ~~x22~~ ~~ − 4 ln x ⎥  \n(5  \n1  \n4  \n1  \n= ( 20 − 8 − 4 ln 4 ) − ⎛⎜⎝ 5 − ~~ ~~12⎟ = 152 − 4 ln 4 u 2  \n[http://emestrada.wordpress.com](http://emestrada.wordpress.com)  \n\n| Considera las funciones f , g : \\ → \\ definidas por: f ( x ) = 2 − x 2 y g( x ) =  x\u003Cbr>a) Esboza sus gráficas en unos mismos ejes coordenados.\u003Cbr>b) Calcula el área del recinto limitado por las gráficas def y g.\u003Cbr>MATEMÁTICAS II. 2010. RESERVA 1. EJERCICIO 2. OPCIÓN A. |  |\n| --- | --- |\n\nR E S O L U C I Ó N  \na) La función f (x) = 2 − x 2 es una parábola cuyo vértice está en el punto (0, 2) y corta al eje X en los puntos ( 2 , 0 ) y ( − 2 , 0 ) .  \nLa función g (x) =  x  = ⎨⎧ x ⎩− x  \nsi  \nsi  \nx ≥ 0  \nx \u003C 0  \nson dos rectas, que son la bisectriz del 1º y 3er cuadrante.  \nb)  \nA = 2 ⋅ ∫  \n1  \n0  \n2 ⎡ x 3 x 2 ⎤ (2 − x ) − x  dx = 2 ⋅ ⎣⎢2x − ~~ ~~3~~ ~~ − ~~ ~~2~~ ~~⎦⎥  \n1  \n0  \n= 2 ⎛⎜⎝ 2 − ~~ ~~13 − ~~ ~~12⎟ = ~~ ~~73 u 2  \n[http://emestrada.wordpress.com](http://emestrada.wordpress.com)  \nDada la función f : (0, + ∞) → \\ definida porf ( x) = ln x , donde ln es la función logaritmo neperiano, se pide:  \na) Comprueba que la recta de ecuación y = − e x + 1+ e 2 es la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x = e .  \nb) Calcula el área de la región limitada por la gráfica def, el eje de abscisas y la recta normal del apartado (a).  \nMATEMÁTICAS II. 2010. RESERVA 1. EJERCICIO 2. OPCIÓN B  \nR E S O L U C I Ó N  \na) Calculamos la derivada de la función: f '(x) = ~~ ~~1x La ecuación de la recta normal es:  \ny − f (e) = − ~~ ~~f~~ ~~'1(e) (x − e) ⇒ y − ln e = − ~~  ~~11~~ ~~ (x − e) ⇒ y −1 = −e(x− e) ⇒ y = − ex+ e 2 +1  \ne  \nb) Calculamos el punto de corte de la normal con el eje X.  \n2 e 2 +1 1  \n0 =− ex + e +1⇒ x = ~~ ~~ = e+ ~~ ~~  \ne e  \nEl área que nos piden es:  \nA = ∫  \ne  \n1  \n(ln x) dx + ∫  \nee+ ~~ ~~1e (1 + e 2 − ex) dx = [ xln x − x ] e1 + ⎡⎢⎣x + e 2 x − ~~ ~~ex22~~ ~~⎥  \n⎡⎛ ⎛  1 ⎞ 2 ⎞ ⎤  \n= [(e− e) − (−1) ] + ⎢⎜ e+ ~~ ~~1e + e 2 ⎝⎜⎛ e+ ~~ ~~1e⎟ − ~~ ~~e~~ ⎝~~⎜e~~ ~~+2~~ ~~e~~ ⎠~~⎟~~ ~~ ⎟ − ⎝⎜⎛ e+ e 3 − ~~ ~~e23~~ ~~ ⎟ ⎥ =  \n⎣⎝ ⎠ ⎦  \ne+ ~~ ~~1e  \ne  \n1 +  \n=  \n1  \n2e ","cbCairpsQFSE5191","https://ap.wps.com/l/cbCairpsQFSE5191","pdf",158803,7,1,13,"Spanish","es",110,"# Junio. Ejercicio 2\n## Opción A\n## Opción B\n# Reserva 1. Ejercicio 2\n## Opción A\n## Opción B\n# Reserva 2. Ejercicio 2\n## Opción A\n## Opción B\n# Reserva 3. Ejercicio 2\n## Opción A","[{\"question\":\"Cómo se calcula ∫0^π/2 2·sen(x) dx en la solución del Junio, Ejercicio 2, Opción A?\",\"answer\":\"Se aplica el cambio x=t, transformando los límites y reescribiendo la integral. Luego se integra por partes, obteniendo finalmente el valor 2π.\"},{\"question\":\"En el Junio, Ejercicio 2, Opción B, qué funciones se cortan y cómo se usa eso para hallar el área?\",\"answer\":\"Se consideran f(x)=5−x y g(x)=4x como hipérbola/curva dada; se identifican los puntos de corte (1,4) y (4,1). Con esos límites se plantea la integral del área entre las dos curvas y se evalúa con logaritmos.\"},{\"question\":\"Qué se pide y cómo se halla la primitiva en la Reserva 2, Ejercicio 2, Opción A?\",\"answer\":\"Se pide una primitiva F de f(x)=ln(x+2) que cumpla F(0)=0. 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